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Question Answering
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Dataset Viewer
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ID
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6
10
Year
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1.98k
2.02k
Problem Number
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1
15
Answer
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1
31
Part
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2 values
Question
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37
2.66k
1989-1
1,989
1
869
null
Calcule $\sqrt{(31)(30)(29)(28)+1}$ .
2001-I-1
2,001
1
630
I
Encontre a soma de todos os números inteiros positivos de dois dígitos que são divisíveis por cada um dos seus dígitos.
1989-2
1,989
2
968
null
Dez pontos são marcados num círculo. Quantos polígonos convexos distintos de três ou mais lados podem ser desenhados utilizando alguns (ou todos) os dez pontos como vértices?
1996-3
1,996
3
44
null
Encontre o menor número inteiro positivo $n$ para o qual a expansão de $(xy-3x+7y-21)^n$, após a recolha de termos semelhantes, tenha pelo menos 1996 termos.
2024-II-13
2,024
13
321
II
Seja $\omega\neq 1$ uma raiz 13ª da unidade. Encontre o resto quando \[\prod_{k=0}^{12}(2-2\omega^k+\omega^{2k})\] é dividido por 1000.
2009-II-11
2,009
11
125
II
Para certos pares $(m,n)$ de inteiros positivos com $m\geq n$, existem exatamente $50$ inteiros positivos distintos $k$ tais que $|\log m - \log k| < \log n$. Determine a soma de todos os valores possíveis do produto $m \cdot n$.
1989-4
1,989
4
675
null
Se $a<b<c<d<e^{}_{}$ são inteiros positivos consecutivos tais que $b+c+d$ é um quadrado perfeito e $a+b+c+d+e^{}_{}$ é um cubo perfeito, qual é o menor valor possível de $c^{}_{}$ ?
1996-2
1,996
2
340
null
Para cada número real $x$, seja $\lfloor x \rfloor$ o maior número inteiro que não excede $x$. Para quantos números inteiros positivos $n$ é verdade que $n<1000$ e que $\lfloor \log_{2} n \rfloor$ é um número inteiro positivo par?
2003-II-12
2,003
12
134
II
Os membros de um comité distinto estavam a escolher um presidente, e cada membro deu um voto a um dos $27$ candidatos. Para cada candidato, a percentagem exata de votos que o candidato obteve era menor, em pelo menos $1$, do que o número de votos para esse candidato. Qual é o menor número possível de membros do comité?
2021-I-9
2,021
9
567
I
Seja $ABCD$ um trapézio isósceles com $AD=BC$ e $AB<CD.$ Suponha que as distâncias de $A$ às retas $BC,CD,$ e $BD$ sejam $15,18,$ e $10,$ respetivamente. Seja $K$ a área de $ABCD.$ Determine $\sqrt2 \cdot K.$
2001-I-2
2,001
2
651
I
Um conjunto finito $\mathcal{S}$ de números reais distintos tem as seguintes propriedades: a média de $\mathcal{S}\cup\{1\}$ é $13$ menor que a média de $\mathcal{S}$, e a média de $\mathcal{S}\cup\{2001\}$ é $27$ maior que a média de $\mathcal{S}$. Determine a média de $\mathcal{S}$.
1996-4
1,996
4
166
null
Um cubo de madeira, cujas arestas têm um centímetro de comprimento, repousa sobre uma superfície horizontal. Iluminado por uma fonte de luz pontual que está a $x$ centímetros diretamente acima de um vértice superior, o cubo projeta uma sombra na superfície horizontal. A área da sombra, que não inclui a área por baixo d...
2023-II-11
2,023
11
81
II
Determine o número de coleções de $16$ subconjuntos distintos de $\{1,2,3,4,5\}$ com a propriedade de que, para quaisquer dois subconjuntos $X$ e $Y$ na coleção, $X \cap Y \not= \emptyset.$
2003-II-13
2,003
13
683
II
Um inseto começa num vértice de um triângulo equilátero. Em cada movimento, seleciona aleatoriamente um dos dois vértices onde não se encontra atualmente e rasteja ao longo de um lado do triângulo até esse vértice. Sabendo que a probabilidade de o inseto se deslocar para o seu vértice inicial no seu décimo movimento é ...
2009-II-12
2,009
12
803
II
Do conjunto de inteiros $\{1,2,3,\dots,2009\}$, escolha $k$ pares $\{a_i,b_i\}$ com $a_i<b_i$ de modo que dois pares quaisquer não tenham um elemento comum. Suponha que todas as somas $a_i+b_i$ sejam distintas e menores ou iguais a $2009$. Encontre o valor máximo possível de $k$.
2012-II-13
2,012
13
677
II
O $\triangle ABC$ equilátero tem comprimento de lado $\sqrt{111}$. Existem quatro triângulos distintos $AD_1E_1$, $AD_1E_2$, $AD_2E_3$ e $AD_2E_4$, cada um congruente ao $\triangle ABC$, com $BD_1 = BD_2 = \sqrt{11}$. Determine $\sum_{k=1}^4(CE_k)^2$.
2023-I-8
2,023
8
125
I
O losango $ABCD$ tem $\angle BAD < 90^\circ.$ Existe um ponto $P$ no círculo inscrito do losango tal que as distâncias de $P$ às retas $DA, AB,$ e $BC$ são $9, 5,$ e $16,$ respetivamente. Determine o perímetro de $ABCD.$
2018-II-2
2,018
2
112
II
Sejam $a_{0} = 2$ , $a_{1} = 5$ , e $a_{2} = 8$ , e para $n > 2$ define-se $a_{n}$ recursivamente como sendo o resto da divisão de $4(a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3})$ por $11$ . Determine $a_{2018} \cdot a_{2020} \cdot a_{2022}$ .
2004-I-1
2,004
1
217
I
Os dígitos de um número inteiro positivo $n$ são quatro inteiros consecutivos em ordem decrescente quando lidos da esquerda para a direita. Qual é a soma dos restos possíveis quando $n$ é dividido por 37?
2001-I-3
2,001
3
500
I
Encontre a soma das raízes, reais e não reais, da equação $x^{2001}+\left(\frac 12-x\right)^{2001}=0$ , sabendo que não existem raízes múltiplas.
2012-II-11
2,012
11
8
II
Seja $f_1(x) = \frac23 - \frac3{3x+1}$ , e para $n \ge 2$ , define-se $f_n(x) = f_1(f_{n-1}(x))$ . O valor de $x$ que satisfaz $f_{1001}(x) = x-3$ pode ser expresso na forma $\frac mn$ , onde $m$ e $n$ são inteiros positivos primos entre si. Determine $m+n$ .
2006-II-11
2,006
11
834
II
Uma sequência é definida da seguinte forma $a_1=a_2=a_3=1,$ e, para todos os inteiros positivos $n, a_{n+3}=a_{n+2}+a_{n+1}+a_n.$ Dado que $a_{28}=6090307, a_{29}=11201821,$ e $a_{30}=20603361,$ encontre o resto quando $\sum^{28}_{k=1} a_k$ é dividido por 1000.
2006-II-14
2,006
14
63
II
Seja $S_n$ a soma dos recíprocos dos dígitos não nulos dos números inteiros de $1$ a $10^n$ inclusive. Encontre o menor número inteiro positivo $n$ para o qual $S_n$ seja um número inteiro.
1989-5
1,989
5
283
null
Quando uma certa moeda viciada é lançada cinco vezes, a probabilidade de obter caras exatamente uma vez não é igual a $0$ e é a mesma de obter caras exatamente duas vezes. Seja $\frac ij^{}_{}$, na sua forma mais simplificada, a probabilidade de a moeda dar caras em exatamente $3$ de $5$ lançamentos. Determine $i+j^{}_...
2022-II-6
2,022
6
841
II
Sejam $x_1\leq x_2\leq \cdots\leq x_{100}$ números reais tais que $|x_1| + |x_2| + \cdots + |x_{100}| = 1$ e $x_1 + x_2 + \cdots + x_{100} = 0$. Entre todas as tais $100$-uplas de números, o maior valor que $x_{76} - x_{16}$ pode atingir é $\tfrac mn$, onde $m$ e $n$ são inteiros positivos primos entre si. Determine $m...
2021-I-11
2,021
11
301
I
Seja $ABCD$ um quadrilátero cíclico com $AB=4,BC=5,CD=6,$ e $DA=7.$ Sejam $A_1$ e $C_1$ os pés das perpendiculares de $A$ e $C,$ respetivamente, à reta $BD,$ e sejam $B_1$ e $D_1$ os pés das perpendiculares de $B$ e $D,$ respetivamente, à reta $AC.$ O perímetro de $A_1B_1C_1D_1$ é $\frac mn,$ onde $m$ e $n$ são inteiro...
2012-II-12
2,012
12
958
II
Para um número inteiro positivo $p$, define-se que o número inteiro positivo $n$ é $p$-seguro se $n$ difere em valor absoluto por mais de $2$ de todos os múltiplos de $p$. Por exemplo, o conjunto de números $10$-seguros é $\{ 3, 4, 5, 6, 7, 13, 14, 15, 16, 17, 23, \ldots\}$. Encontre o número de inteiros positivos meno...
2012-II-14
2,012
14
16
II
Num grupo de nove pessoas, cada pessoa aperta a mão de exatamente duas outras pessoas do grupo. Seja $N$ o número de formas como estes apertos de mão podem ocorrer. Considere dois arranjos de apertos de mão diferentes se, e somente se, pelo menos duas pessoas que apertam as mãos num arranjo não apertam as mãos no outro...
1989-7
1,989
7
925
null
Se o número inteiro $k^{}_{}$ for adicionado a cada um dos números $36^{}_{}$ , $300^{}_{}$ , e $596^{}_{}$ , obtêm-se os quadrados de três termos consecutivos de uma progressão aritmética. Determine $k^{}_{}$ .
2015-II-6
2,015
6
440
II
Steve diz ao Jon: "Estou a pensar num polinómio cujas raízes são todas números inteiros positivos. O polinómio tem a forma $P(x) = 2x^3-2ax^2+(a^2-81)x-c$ para alguns números inteiros positivos $a$ e $c$. Consegues dizer-me os valores de $a$ e $c$?" Após alguns cálculos, Jon diz: "Existe mais do que um polinómio com es...
2015-II-7
2,015
7
161
II
O triângulo $ABC$ tem comprimentos de lado $AB = 12$ , $BC = 25$ , e $CA = 17$ . O retângulo $PQRS$ tem o vértice $P$ sobre $\overline{AB}$ , o vértice $Q$ sobre $\overline{AC}$ , e os vértices $R$ e $S$ sobre $\overline{BC}$ . Em termos do comprimento do lado $PQ = w$ , a área de $PQRS$ pode ser expressa como o polinó...
2018-II-1
2,018
1
800
II
Os pontos $A$, $B$ e $C$ situam-se nessa ordem ao longo de um caminho reto onde a distância de $A$ a $C$ é de $1800$ metros. A Ina corre duas vezes mais rápido que a Eve, e o Paul corre duas vezes mais rápido que a Ina. Os três corredores começam a correr ao mesmo tempo, com a Ina a partir de $A$ e a correr em direção ...
1996-5
1,996
5
23
null
Suponha que as raízes de $x^3+3x^2+4x-11=0$ sejam $a$ , $b$ , e $c$ , e que as raízes de $x^3+rx^2+sx+t=0$ sejam $a+b$ , $b+c$ , e $c+a$ . Determine $t$ .
2015-II-8
2,015
8
36
II
Sejam $a$ e $b$ inteiros positivos que satisfazem $\frac{ab+1}{a+b} < \frac{3}{2}$ . O valor máximo possível de $\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}$ é $\frac{p}{q}$ , onde $p$ e $q$ são inteiros positivos primos entre si. Determine $p+q$ .
2004-I-2
2,004
2
201
I
O conjunto $A$ consiste em $m$ inteiros consecutivos cuja soma é $2m,$ e o conjunto $B$ consiste em $2m$ inteiros consecutivos cuja soma é $m.$ O valor absoluto da diferença entre o maior elemento de $A$ e o maior elemento de $B$ é 99. Determine $m.$
2009-II-13
2,009
13
672
II
Sejam $A$ e $B$ as extremidades de um arco semicircular de raio $2$. O arco é dividido em sete arcos congruentes por seis pontos igualmente espaçados $C_1,C_2,\dots,C_6$. Todas as cordas da forma $\overline{AC_i}$ ou $\overline{BC_i}$ são traçadas. Seja $n$ o produto dos comprimentos destas doze cordas. Determine o res...
2009-II-14
2,009
14
983
II
A sequência $(a_n)$ satisfaz $a_0=0$ e $a_{n + 1} = \frac{8}{5}a_n + \frac{6}{5}\sqrt{4^n - a_n^2}$ para $n \geq 0$ . Encontre o maior número inteiro menor ou igual a $a_{10}$ .
2003-II-14
2,003
14
51
II
Sejam $A = (0,0)$ e $B = (b,2)$ pontos no plano coordenado. Seja $ABCDEF$ um hexágono equilátero convexo tal que $\angle FAB = 120^\circ,$ $\overline{AB}\parallel \overline{DE},$ $\overline{BC}\parallel \overline{EF,}$ $\overline{CD}\parallel \overline{FA},$ e as coordenadas y dos seus vértices são elementos distintos ...
2018-I-15
2,018
15
59
I
David encontrou quatro paus de comprimentos diferentes que podem ser usados para formar três quadriláteros cíclicos convexos não congruentes, $A,\text{ }B,\text{ }C$, cada um dos quais pode ser inscrito num círculo com raio $1$. Seja $\varphi_A$ a medida do ângulo agudo formado pelas diagonais do quadrilátero $A$, e de...
2007-I-1
2,007
1
83
I
Quantos quadrados perfeitos positivos menores que $10^6$ são múltiplos de 24?
2000-II-14
2,000
14
495
II
Cada número inteiro positivo $k$ tem uma expansão única na base fatorial $(f_1,f_2,f_3,\ldots,f_m)$, o que significa que $k=1!\cdot f_1+2!\cdot f_2+3!\cdot f_3+\cdots+m!\cdot f_m$, onde cada $f_i$ é um número inteiro, $0\le f_i\le i$, e $0<f_m$. Dado que $(f_1,f_2,f_3,\ldots,f_j)$ é a expansão na base fatorial de $16!-...
1996-6
1,996
6
49
null
Num torneio de cinco equipas, cada equipa joga um jogo com todas as outras equipas. Cada equipa tem $50\%$ de probabilidade de vencer qualquer jogo que dispute. (Não há empates.) Seja $\dfrac{m}{n}$ a probabilidade de o torneio não produzir nem uma equipa invicta nem uma equipa sem vitórias, onde $m$ e $n$ são números ...
2021-I-10
2,021
10
59
I
Considere a sequência $(a_k)_{k\ge 1}$ de números racionais positivos definida por $a_1 = \frac{2020}{2021}$ e, para $k\ge 1$, se $a_k = \frac{m}{n}$ para inteiros positivos $m$ e $n$ primos entre si, então \[a_{k+1} = \frac{m + 18}{n+19}.\] Determine a soma de todos os inteiros positivos $j$ tais que o número racional...
1996-7
1,996
7
300
null
Dois quadrados de um tabuleiro de xadrez $7\times 7$ são pintados de amarelo, e o resto são pintados de verde. Dois esquemas de cores são equivalentes se um puder ser obtido a partir do outro aplicando uma rotação no plano do tabuleiro. Quantos esquemas de cores inequivalentes são possíveis?
2001-I-4
2,001
4
291
I
No triângulo $ABC$, os ângulos $A$ e $B$ medem $60$ graus e $45$ graus, respetivamente. A bissetriz do ângulo $A$ intersecta $\overline{BC}$ em $T$, e $AT=24$. A área do triângulo $ABC$ pode ser escrita na forma $a+b\sqrt{c}$, onde $a$, $b$ e $c$ são inteiros positivos, e $c$ não é divisível pelo quadrado de qualquer n...
2018-II-3
2,018
3
371
II
Encontre a soma de todos os inteiros positivos $b < 1000$ tais que o inteiro na base $b$, $36_{b}$, seja um quadrado perfeito e o inteiro na base $b$, $27_{b}$, seja um cubo perfeito.
2001-I-5
2,001
5
937
I
Um triângulo equilátero está inscrito na elipse cuja equação é $x^2+4y^2=4$. Um vértice do triângulo é $(0,1)$, uma altitude está contida no eixo y, e o comprimento de cada lado é $\sqrt{\frac mn}$, onde $m$ e $n$ são inteiros positivos primos entre si. Determine $m+n$.
2004-I-3
2,004
3
241
I
Um poliedro convexo $P$ tem 26 vértices, 60 arestas e 36 faces, das quais 24 são triangulares e 12 são quadriláteros. Uma diagonal do espaço é um segmento de reta que liga dois vértices não adjacentes que não pertencem à mesma face. Quantas diagonais do espaço tem o poliedro $P$?
2009-II-10
2,009
10
96
II
Quatro faróis estão localizados nos pontos $A$ , $B$ , $C$ , e $D$ . O farol em $A$ está a $5$ quilómetros do farol em $B$ , o farol em $B$ está a $12$ quilómetros do farol em $C$ , e o farol em $A$ está a $13$ quilómetros do farol em $C$ . Para um observador em $A$ , o ângulo determinado pelas luzes em $B$ e $D$ e o â...
2006-II-12
2,006
12
865
II
O $\triangle ABC$ equilátero está inscrito num círculo de raio 2. Prolongue-se $\overline{AB}$ através de $B$ até ao ponto $D$ de modo que $AD=13,$ e prolongue-se $\overline{AC}$ através de $C$ até ao ponto $E$ de modo que $AE = 11.$ Através de $D,$ trace-se uma reta $l_1$ paralela a $\overline{AE},$ e através de $E,$ ...
2018-II-4
2,018
4
23
II
No octógono equiangular $CAROLINE$, $CA = RO = LI = NE = \sqrt{2}$ e $AR = OL = IN = EC = 1$. O octógono auto-intersetante $CORNELIA$ encerra seis regiões triangulares não sobrepostas. Seja $K$ a área encerrada por $CORNELIA$, ou seja, a área total das seis regiões triangulares. Então $K = \frac{a}{b}$, onde $a$ e $b$ ...
1989-9
1,989
9
144
null
Uma das conjecturas de Euler foi refutada na década de 1960 por três matemáticos americanos quando demonstraram que existia um número inteiro positivo tal que \[133^5+110^5+84^5+27^5=n^{5}.\] Encontre o valor de $n$ .
2021-I-13
2,021
13
672
I
Os círculos $\omega_1$ e $\omega_2$ com raios $961$ e $625$, respetivamente, intersectam-se nos pontos distintos $A$ e $B$. Um terceiro círculo $\omega$ é exteriormente tangente a $\omega_1$ e $\omega_2$. Suponha que a reta $AB$ intersecta $\omega$ em dois pontos $P$ e $Q$ de tal modo que a medida do arco menor $\wideh...
1996-8
1,996
8
799
null
A média harmónica de dois números inteiros positivos é o recíproco da média aritmética dos seus recíprocos. Para quantos pares ordenados de números inteiros positivos $(x,y)$ com $x<y$ é a média harmónica de $x$ e $y$ igual a $6^{20}$ ?
2001-I-6
2,001
6
79
I
Um dado justo é lançado quatro vezes. A probabilidade de que cada um dos três lançamentos finais seja pelo menos tão grande quanto o lançamento que o precede pode ser expressa na forma $m/n$, onde $m$ e $n$ são inteiros positivos primos entre si. Determine $m+n$.
2012-II-15
2,012
15
919
II
O triângulo $ABC$ está inscrito no círculo $\omega$ com $AB=5$ , $BC=7$ , e $AC=3$ . A bissetriz do ângulo $A$ encontra o lado $\overline{BC}$ em $D$ e o círculo $\omega$ num segundo ponto $E$ . Seja $\gamma$ o círculo com diâmetro $\overline{DE}$ . Os círculos $\omega$ e $\gamma$ encontram-se em $E$ e num segundo pont...
2021-I-14
2,021
14
125
I
Para qualquer número inteiro positivo $a,$ $\sigma(a)$ denota a soma dos divisores inteiros positivos de $a$. Seja $n$ o menor número inteiro positivo tal que $\sigma(a^n)-1$ é divisível por $2021$ para todos os números inteiros positivos $a$. Encontre a soma dos fatores primos na fatorização prima de $n$.
2013-I-1
2,013
1
150
I
O Triatlo AIME consiste numa natação de meia milha, num passeio de bicicleta de 30 milhas e numa corrida de oito milhas. O Tom nada, anda de bicicleta e corre a velocidades constantes. Ele corre cinco vezes mais rápido do que nada, e anda de bicicleta duas vezes mais rápido do que corre. O Tom completa o Triatlo AIME e...
2021-I-12
2,021
12
19
I
Seja $A_1A_2A_3\ldots A_{12}$ um dodecágono (polígono de $12$ lados). Três rãs sentam-se inicialmente em $A_4,A_8,$ e $A_{12}$. Ao final de cada minuto, simultaneamente, cada uma das três rãs salta para um dos dois vértices adjacentes à sua posição atual, escolhido aleatória e independentemente, sendo ambas as escolhas...
2015-II-10
2,015
10
486
II
Diz-se que uma permutação $a_1, a_2, \ldots, a_n$ dos inteiros $1, 2, \ldots, n$ é quase-crescente se $a_k \leq a_{k+1} + 2$ para cada $1 \leq k \leq n-1$. Por exemplo, $53421$ e $14253$ são permutações quase-crescentes dos inteiros $1, 2, 3, 4, 5$, mas $45123$ não é. Determine o número de permutações quase-crescentes ...
2015-II-12
2,015
12
548
II
Existem $2^{10} = 1024$ sequências possíveis de $10$ letras nas quais cada letra é ou um A ou um B. Determine o número de tais sequências que não possuem mais do que $3$ letras adjacentes idênticas.
2006-II-15
2,006
15
9
II
Dado que $x, y,$ e $z$ são números reais que satisfazem: \begin{align*} x &= \sqrt{y^2-\frac{1}{16}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{16}}, \\ y &= \sqrt{z^2-\frac{1}{25}}+\sqrt{x^2-\frac{1}{25}}, \\ z &= \sqrt{x^2 - \frac 1{36}}+\sqrt{y^2-\frac 1{36}}, \end{align*} e que $x+y+z = \frac{m}{\sqrt{n}},$ onde $m$ e $n$ são inteiros pos...
2004-I-4
2,004
4
86
I
Um quadrado tem lados de comprimento 2. O conjunto $S$ é o conjunto de todos os segmentos de reta que têm comprimento 2 e cujos extremidades estão em lados adjacentes do quadrado. Os pontos médios dos segmentos de reta no conjunto $S$ delimitam uma região cuja área, arredondada para a centésima mais próxima, é $k.$ Det...
2018-II-5
2,018
5
74
II
Suponha que $x$ , $y$ , e $z$ são números complexos tais que $xy = -80 - 320i$ , $yz = 60$ , e $zx = -96 + 24i$ , onde $i$ $=$ $\sqrt{-1}$ . Então existem números reais $a$ e $b$ tais que $x + y + z = a + bi$ . Determine $a^2 + b^2$ .
2015-II-11
2,015
11
23
II
O círculo circunscrito do $\triangle ABC$ acutângulo tem centro $O$. A reta que passa pelo ponto $O$ perpendicular a $\overline{OB}$ intersecta as retas $AB$ e $BC$ em $P$ e $Q$, respetivamente. Além disso, $AB=5$, $BC=4$, $BQ=4.5$ e $BP=\frac{m}{n}$, onde $m$ e $n$ são inteiros positivos primos entre si. Determine $m+...
2010-I-1
2,010
1
107
I
Maya lista todos os divisores positivos de $2010^2$. Ela seleciona então aleatoriamente dois divisores distintos desta lista. Seja $p$ a probabilidade de que exatamente um dos divisores selecionados seja um quadrado perfeito. A probabilidade $p$ pode ser expressa na forma $\frac {m}{n}$, onde $m$ e $n$ são inteiros pos...
2021-I-15
2,021
15
285
I
Seja $S$ o conjunto de inteiros positivos $k$ tais que as duas parábolas \[y=x^2-k~~\text{e}~~x=2(y-20)^2-k\] se intersectam em quatro pontos distintos, e estes quatro pontos pertencem a um círculo com raio no máximo $21$. Determine a soma do menor elemento de $S$ e do maior elemento de $S$.
2022-II-7
2,022
7
192
II
Um círculo com raio $6$ é exteriormente tangente a um círculo com raio $24$. Determine a área da região triangular delimitada pelas três retas tangentes comuns a estes dois círculos.
2007-I-3
2,007
3
15
I
O número complexo $z$ é igual a $9+bi$, onde $b$ é um número real positivo e $i^{2}=-1$. Dado que as partes imaginárias de $z^{2}$ e $z^{3}$ são as mesmas, a quanto é igual $b$?
2024-II-14
2,024
14
211
II
Seja $b \geq 2$ um número inteiro. Dizemos que um número inteiro positivo $n$ é $b\textit{-belo}$ se ele tiver exatamente dois dígitos quando expresso na base $b$, e se a soma destes dois dígitos for igual a $\sqrt{n}$. Por exemplo, $81$ é $13$-belo porque $81=\underline{6}$ $\underline{3}_{13}$ e $6+3=\sqrt{81}$. Enco...
2018-II-6
2,018
6
37
II
Um número real $a$ é escolhido aleatória e uniformemente do intervalo $[-20, 18]$. A probabilidade de que as raízes do polinómio \[x^4 + 2ax^3 + (2a - 2)x^2 + (-4a + 3)x - 2\] sejam todas reais pode ser escrita na forma $\dfrac{m}{n}$, onde $m$ e $n$ são inteiros positivos primos entre si. Determine $m + n$.
2021-II-1
2,021
1
550
II
Encontre a média aritmética de todos os palíndromos de três dígitos. (Lembre-se que um palíndromo é um número que se lê da mesma forma de frente para trás e de trás para frente, como $777$ ou $383$ .)
2013-I-3
2,013
3
18
I
Seja $ABCD$ um quadrado, e sejam $E$ e $F$ pontos sobre $\overline{AB}$ e $\overline{BC},$ respetivamente. A reta que passa por $E$ paralela a $\overline{BC}$ e a reta que passa por $F$ paralela a $\overline{AB}$ dividem $ABCD$ em dois quadrados e dois retângulos não quadrados. A soma das áreas dos dois quadrados é $\f...
2015-II-13
2,015
13
628
II
Defina a sequência $a_1, a_2, a_3, \ldots$ por $a_n = \sum\limits_{k=1}^n \sin{k}$ , onde $k$ representa a medida em radianos. Encontre o índice do 100.º termo para o qual $a_n < 0$ .
1996-10
1,996
10
159
null
Encontre a menor solução inteira positiva para $\tan{19x^{\circ}}=\dfrac{\cos{96^{\circ}}+\sin{96^{\circ}}}{\cos{96^{\circ}}-\sin{96^{\circ}}}$ .
2007-I-2
2,007
2
52
I
Uma passadeira rolante de 100 pés de comprimento move-se a uma velocidade constante de 6 pés por segundo. Al entra no início da passadeira e fica parado. Bob entra no início da passadeira dois segundos depois e caminha para a frente ao longo da passadeira a uma velocidade constante de 4 pés por segundo. Dois segundos d...
1989-13
1,989
13
905
null
Seja $S^{}_{}$ um subconjunto de $\{1,2,3^{}_{},\ldots,1989\}$ tal que nenhum dois membros de $S^{}_{}$ difiram por $4^{}_{}$ ou $7^{}_{}$. Qual é o maior número de elementos que $S^{}_{}$ pode ter?
1989-11
1,989
11
947
null
É dada uma amostra de 121 números inteiros, cada um entre 1 e 1000 inclusive, sendo permitidas repetições. A amostra tem uma moda única (valor mais frequente). Seja $D^{}_{}$ a diferença entre a moda e a média aritmética da amostra. Qual é o maior valor possível de $\lfloor D^{}_{}\rfloor$ ? (Para um número real $x^{}_...
2001-I-7
2,001
7
923
I
O triângulo $ABC$ tem $AB=21$, $AC=22$ e $BC=20$. Os pontos $D$ e $E$ estão localizados em $\overline{AB}$ e $\overline{AC}$, respetivamente, de tal modo que $\overline{DE}$ é paralelo a $\overline{BC}$ e contém o centro do círculo inscrito do triângulo $ABC$. Então $DE=\frac{m}{n}$, onde $m$ e $n$ são inteiros positiv...
2009-II-15
2,009
15
14
II
Seja $\overline{MN}$ um diâmetro de um círculo com diâmetro $1$. Sejam $A$ e $B$ pontos num dos arcos semicirculares determinados por $\overline{MN}$ tais que $A$ é o ponto médio do semicírculo e $MB=\dfrac 35$. O ponto $C$ situa-se no outro arco semicircular. Seja $d$ o comprimento do segmento de reta cujas extremidad...
2010-I-3
2,010
3
529
I
Suponha que $y = \frac34x$ e $x^y = y^x$ . A quantidade $x + y$ pode ser expressa como um número racional $\frac {r}{s}$ , onde $r$ e $s$ são inteiros positivos primos entre si. Determine $r + s$ .
2023-I-9
2,023
9
738
I
Determine o número de polinómios cúbicos $p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c,$ onde $a, b,$ e $c$ são inteiros em $\{-20,-19,-18,\ldots,18,19,20\},$ tais que existe um único inteiro $m \not= 2$ com $p(m) = p(2).$
1989-8
1,989
8
334
null
Suponha que $x_1,x_2,\ldots,x_7$ são números reais tais que \begin{align*} x_1 + 4x_2 + 9x_3 + 16x_4 + 25x_5 + 36x_6 + 49x_7 &= 1, \\ 4x_1 + 9x_2 + 16x_3 + 25x_4 + 36x_5 + 49x_6 + 64x_7 &= 12, \\ 9x_1 + 16x_2 + 25x_3 + 36x_4 + 49x_5 + 64x_6 + 81x_7 &= 123. \end{align*} Determine o valor de $16x_1+25x_2+36x_3+49x_4+64x_...
2015-II-14
2,015
14
89
II
Sejam $x$ e $y$ números reais que satisfazem $x^4y^5+y^4x^5=810$ e $x^3y^6+y^3x^6=945$. Calcule $2x^3+(xy)^3+2y^3$ .
1996-9
1,996
9
342
null
Um estudante entediado caminha por um corredor que contém uma fila de cacifos fechados, numerados de 1 a 1024. Ele abre o cacifo número 1 e, depois, alterna entre saltar e abrir cada cacifo seguinte. Quando chega ao fim do corredor, o estudante vira-se e começa a regressar. Ele abre o primeiro cacifo fechado que encont...
2007-I-4
2,007
4
105
I
Três planetas orbitam uma estrela circularmente no mesmo plano. Cada um move-se na mesma direção e com velocidade constante. Os seus períodos são de $60$, $84$ e $140$ anos. Os três planetas e a estrela estão atualmente colineares. Qual é o menor número de anos a partir de agora para que todos voltem a estar colineares...
2013-I-5
2,013
5
98
I
A raiz real da equação $8x^3-3x^2-3x-1=0$ pode ser escrita na forma $\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+1}{c}$ , onde $a$ , $b$ , e $c$ são inteiros positivos. Determine $a+b+c$ .
2020-I-15
2,020
15
58
I
Seja $\triangle ABC$ um triângulo acutângulo com círculo circunscrito $\omega,$ e seja $H$ a interseção das alturas de $\triangle ABC.$ Suponha que a tangente ao círculo circunscrito de $\triangle HBC$ em $H$ interseta $\omega$ nos pontos $X$ e $Y$ com $HA=3,HX=2,$ e $HY=6.$ A área de $\triangle ABC$ pode ser escrita n...
2001-I-8
2,001
8
315
I
Diz-se que um número inteiro positivo $N$ é um $\textit{duplo 7-10}$ se os dígitos da representação de $N$ na base 7 formarem um número na base 10 que seja o dobro de $N$. Por exemplo, $51$ é um duplo 7-10 porque a sua representação na base 7 é $102$. Qual é o maior duplo 7-10?
1990-1
1,990
1
528
null
A sequência crescente $2,3,5,6,7,10,11,\ldots$ consiste em todos os números inteiros positivos que não são nem o quadrado nem o cubo de um número inteiro positivo. Encontre o 500.º termo desta sequência.
2004-I-6
2,004
6
882
I
Um número inteiro é chamado de 'snakelike' se a sua representação decimal $a_1a_2a_3\cdots a_k$ satisfizer $a_i<a_{i+1}$ se $i$ for ímpar e $a_i>a_{i+1}$ se $i$ for par. Quantos números inteiros 'snakelike' entre 1000 e 9999 têm quatro dígitos distintos?
2004-I-7
2,004
7
588
I
Seja $C$ o coeficiente de $x^2$ na expansão do produto $(1 - x)(1 + 2x)(1 - 3x)\cdots(1 + 14x)(1 - 15x).$ Determine $|C|.$
2020-II-1
2,020
1
231
II
Encontre o número de pares ordenados de inteiros positivos $(m,n)$ tais que ${m^2n = 20 ^{20}}$ .
2021-I-3
2,021
3
50
I
Determine o número de inteiros positivos menores que $1000$ que podem ser expressos como a diferença de duas potências inteiras de $2.$
2018-II-8
2,018
8
556
II
Um sapo está posicionado na origem do plano de coordenadas. A partir do ponto $(x, y)$, o sapo pode saltar para qualquer um dos pontos $(x + 1, y)$, $(x + 2, y)$, $(x, y + 1)$ ou $(x, y + 2)$. Determine o número de sequências distintas de saltos nas quais o sapo começa em $(0, 0)$ e termina em $(4, 4)$.
1990-2
1,990
2
828
null
Encontre o valor de $(52+6\sqrt{43})^{3/2}-(52-6\sqrt{43})^{3/2}$ .
2010-I-2
2,010
2
109
I
Encontre o resto quando $9 \times 99 \times 999 \times \cdots \times \underbrace{99\cdots9}_{\text{999 9's}}$ é dividido por $1000$ .
2023-II-12
2,023
12
247
II
No $\triangle ABC$ com comprimentos de lado $AB = 13,$ $BC = 14,$ e $CA = 15,$ seja $M$ o ponto médio de $\overline{BC}.$ Seja $P$ o ponto no círculo circunscrito do $\triangle ABC$ tal que $M$ está em $\overline{AP}.$ Existe um ponto único $Q$ no segmento $\overline{AM}$ tal que $\angle PBQ = \angle PCQ.$ Então $AQ$ p...
2019-II-14
2,019
14
71
II
Encontre a soma de todos os números inteiros positivos $n$ tais que, dado um suprimento ilimitado de selos com denominações de $5,n,$ e $n+1$ cêntimos, $91$ cêntimos seja o maior valor de postagem que não pode ser formado.
2010-I-4
2,010
4
515
I
Jackie e Phil têm duas moedas justas e uma terceira moeda que sai cara com probabilidade $\frac47$. Jackie lança as três moedas e, depois, Phil lança as três moedas. Seja $\frac {m}{n}$ a probabilidade de Jackie obter o mesmo número de caras que Phil, onde $m$ e $n$ são inteiros positivos primos entre si. Determine $m ...
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AIME-PT (1983-2024)

AMALIA Paper Data Main Repo Eval Repo

Portuguese translation of problems from the American Invitational Mathematics Examination (AIME) spanning 1983-2024.

Translated using Gemma-4 31B-It.

Original Dataset: https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/AIME_Problems_and_Solutions

Note: This dataset is machine translated and may contain translation errors or artifacts.

This dataset is provided as part of the AMALIA project and is included in AMALIA-Bench, a comprehensive benchmark suite for evaluating large language models on European Portuguese.

Citation

If you use this dataset or AMALIA in your work, please cite:

@inproceedings{simplicio-etal-2026-amalia,
    title = "{AMALIA}: A Fully Open Large Language Model for {E}uropean {P}ortuguese",
    author = "Simpl{{\'i}}cio, Afonso and Vinagre, Gon{{\c{{c}}}}alo and Ramos, Miguel Moura and Tavares, Diogo and Ferreira, Rafael and Attanasio, Giuseppe and Alves, Duarte M. and Calvo, In{{\^e}}s and Vieira, In{{\^e}}s and Guerra, Rui and Furtado, James and Canaverde, Beatriz and Paulo, Iago and Ramos, Vasco and Gl{{\'o}}ria-Silva, Diogo and Faria, Miguel and Treviso, Marcos and Gomes, Daniel and Gomes, Pedro and Semedo, David and Martins, Andr{{\'e}} and Magalh{{\~a}}es, Jo{{\~a}}o",
    booktitle = "Proceedings of the 17th International Conference on Computational Processing of {{P}}ortuguese ({{PROPOR}} 2026) - Vol. 1",
    month = apr,
    year = "2026",
    address = "Salvador, Brazil",
    publisher = "Association for Computational Linguistics",
    url = "https://aclanthology.org/2026.propor-1.38/",
    pages = "380--391",
    isbn = "979-8-89176-387-6"
}

@misc{simplicio2026amaliatechnicalreportfully,
    title = {AMALIA Technical Report: A Fully Open Source Large Language Model for European Portuguese}, 
    author = {Afonso Simplício and Gonçalo Vinagre and Miguel Moura Ramos and Diogo Tavares and Rafael Ferreira and Giuseppe Attanasio and Duarte M. Alves and Inês Calvo and Inês Vieira and Rui Guerra and James Furtado and Beatriz Canaverde and Iago Paulo and Vasco Ramos and Diogo Glória-Silva and Miguel Faria and Marcos Treviso and Daniel Gomes and Pedro Gomes and David Semedo and André Martins and João Magalhães},
    year = {2026},
    eprint = {2603.26511},
    archivePrefix = {arXiv},
    primaryClass = {cs.CL},
    url = {https://arxiv.org/abs/2603.26511}
}
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