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| question
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1.36k
| targets
dict | explanation
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⌀ | category
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values |
|---|---|---|---|---|
301
|
La trajectoire $\Gamma$ d'une particule en mouvement est donnée par les équations
$$x=t-1\quad \mbox{et} \quad y=t+1.$$
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\Gamma$ est la droite d'équation $y=2+x$.",
"La tangente à $\\Gamma$ au point $(x(0),y(0))$ est la droite d'équation $y=x$.",
"La tangente à $\\Gamma$ au point $(x(1),y(1))$ est la droite d'équation $y=2+x$.",
"$\\Gamma$ possède un point double."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
En éliminant le paramètre $t$, on obtient $y=2+x$. $\Gamma$ est la droite d'équation $y=2+x$ et elle est confondue avec sa tangente en n'importe quel point.
|
Courbes_paramétrées
|
302
|
La trajectoire $\Gamma$ d'une particule en mouvement est donnée par les équations
$$x=1+\cos (2t)\quad \mbox{et} \quad y=1+\sin (2t)\qquad 0\leq t\leq \pi.$$
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\Gamma$ est le cercle de centre $(1,1)$ et de rayon $2$.",
"$\\Gamma$ possède un point double.",
"La tangente à $\\Gamma$ au point $(x(0),y(0))$ est la droite d'équation $x=2$.",
"La tangente à $\\Gamma$ au point $(x(\\pi),y(\\pi))$ est la droite d'équation $y=x$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
En éliminant le paramètre $t$, on obtient : $(x-1)^2+(y-1)^2=1$. Donc $\Gamma$ est le cercle de centre $(1,1)$ et de rayon $1$. Les points de paramètres $0$ et $\pi$ sont confondus. Enfin, $x'(0)=0$ et $y'(0)\neq 0$, donc la tangente au point $(x(0),y(0))$ est la droite d'équation $x=x(0)$.
|
Courbes_paramétrées
|
303
|
Un avion en papier a effectué un vol suivant la trajectoire $\Gamma$ donnée par
$$x=t-2\sin t\quad \mbox{et} \quad y=4-3\cos t.$$
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"A l'instant $t=\\pi$, l'avion volait en position verticale.",
"A l'instant $t=\\pi$, l'avion volait en position horizontale.",
"A l'instant $t=\\pi/2$, l'avion volait suivant la droite d'équation $y=3x+10$.",
"A l'instant $t=\\pi/3$, l'avion volait en position verticale."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
On a : $y'(\pi)=0$ et $x'(\pi)\neq 0$. Donc la tangente au point de paramètre $\pi$ est horizontale. A l'instant $t=\pi/2$, l'avion volait suivant la tangente \`a $\Gamma$ à cet instant. C'est-à-dire suivant la droite d'équation $y=3x+10-3\pi /2$. Enfin, $x'(\pi/3)=0$ et $y'(\pi/3)\neq 0$. Donc la tangente au point de paramètre $\pi/3$ est verticale.
|
Courbes_paramétrées
|
304
|
La trajectoire $\Gamma$ d'une particule en mouvement est donnée par les équations
$$x=t^2+t^3\quad \mbox{et} \quad y=2t^2-t^3.$$
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Le point de paramètre $0$ est un point de rebroussement de seconde espèce.",
"La tangente à $\\Gamma$ au point $(x(0),y(0))$ est la droite d'équation $y=2x$.",
"La tangente à $\\Gamma$ au point $(x(1),y(1))$ est dirigée par le vecteur $(5,1)$.",
"La tangente à $\\Gamma$ au point $(x(1),y(1))$ est la droite d'équation $5x-y+3=0$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Le $DL_3(0)$ de $f(t)=(x(t),y(t))$ est
$$f(t)=t^2(1,2)+t^3(1,-1)+t^3\left(\varepsilon_1(t),\varepsilon_2(t)\right)\mbox{ avec }\lim _{t\to 0}\varepsilon_i(t)=0.$$
Donc le point de paramètre $0$ est un point de rebroussement de première espèce et la tangente en ce point est la droite d'équation $y=2x$. La tangente à $\Gamma$ au point de paramètre $1$ est dirigée par $f'(1)=(5,1)$.
|
Courbes_paramétrées
|
305
|
La trajectoire $\Gamma$ d'une particule en mouvement est donnée par les équations
$$x=2t^2-t^4\quad \mbox{et} \quad y=t^2+t^4.$$
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Le point de paramètre $0$ est un point de rebroussement de seconde espèce.",
"La tangente à $\\Gamma$ au point $(x(0),y(0))$ est la droite d'équation $y=2x$.",
"$\\Gamma$ admet la droite d'équation $y=-x$ comme asymptote quand $t$ tend vers l'infini.",
"$\\Gamma$ admet une branche parabolique de direction asymptotique la droite d'équation $y=-x$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Le $DL_4(0)$ de $f(t)=(x(t),y(t))$ est
$$f(t)=t^2(2,1)+t^4(-1,1)+t^4\left(\varepsilon_1(t),\varepsilon_2(t)\right)\mbox{ avec }\lim _{t\to 0}\varepsilon_i(t)=0.$$
Donc le point de paramètre $0$ est un point de rebroussement de seconde espèce et la tangente en ce point est la droite d'équation $2y-x=0$. Enfin $\displaystyle \lim _{t\to \pm \infty}[y(t)+x(t)]=+\infty$, donc $\Gamma$ admet une branche parabolique de direction asymptotique la droite d'équation $y=-x$.
|
Courbes_paramétrées
|
306
|
La trajectoire $\Gamma$ d'une particule en mouvement est donnée par les équations
$$x=\frac{1}{2}(t^2-2t)\quad \mbox{et} \quad y=\frac{1}{3}t^{3}-\frac{1}{2}t^2.$$
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Le point de paramètre $1$ est un point de rebroussement de seconde espèce.",
"La tangente à $\\Gamma$ au point $(x(1),y(1))$ est la droite d'équation $y=x$.",
"Le point de paramètre $0$ est un point stationnaire.",
"$\\Gamma$ admet une branche parabolique de direction asymptotique l'axe des $y$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Avec $f(t)=(x(t),(y(t))$. On a : $f'(1)=(0,0)$, $f''(1)=(1,1)$ et $f^{(3)}(1)=(0,2)$. Le point de paramètre $1$ est un point de rebroussement de première espèce et la tangente en ce point est la droite d'équation $x-y=0$. Enfin
$$\displaystyle \lim _{t\to \pm \infty}x(t)
=+\infty,\qquad \lim _{t\to \pm \infty}y(t)=\pm\infty\quad\mbox{et}\quad \lim _{t\to \pm \infty}\frac{y(t)}{x(t)}=\pm\infty .$$
Donc $\Gamma$ admet une branche parabolique de direction asymptotique l'axe des ordonnées.
|
Courbes_paramétrées
|
307
|
La trajectoire $\Gamma$ d'une particule en mouvement est donnée par les équations
$$x=2+\cos t\quad \mbox{et} \quad y=\frac{t^2}{2}+\sin t.$$
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\Gamma$ n'admet pas de point stationnaire.",
"Le point de paramètre $t=\\pi/2$ est un point d'inflexion.",
"La tangente à $\\Gamma$ au point de paramètre $t=\\pi/2$ est verticale.",
"$\\Gamma$ est symétrique par rapport à l'axe des $x$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
Notons $f(t)=(x(t),y(t))$. Le système $f'(t)=(0,0)$ n'admet pas de solution, donc $\Gamma$ n'admet pas de point stationnaire. $\displaystyle \lim _{t\to \pm\infty}x(t)$ n'existe pas. Un DL de f en $\pi/2$ montre que le point de paramètre $t=\pi/2$ est un point d'inflexion et la tangente en ce point est dirigée par le vecteur $f'(\pi/2)=(-1,\pi/2)$. Enfin $y$ n'est ni paire ni impaire, donc $\Gamma$ n'est pas symétrique par rapport à l'axe des $x$.
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Courbes_paramétrées
|
308
|
La trajectoire $\Gamma$ d'une particule en mouvement est donnée par les équations
$$x=1+\cos t\quad \mbox{et} \quad y=t-\sin t.$$
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\Gamma$ est symétrique par rapport à l'axe des $y$.",
"$\\Gamma$ admet un point double.",
"Le point de paramètre $t=0$ est un point de rebroussement de première espèce.",
"La tangente à $\\Gamma$ au point de paramètre $t=0$ est horizontale."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
D'abord, $x$ est paire et $y$ est impaire, donc $\Gamma$ est symétrique par rapport à l'axe des $x$. Ensuite, en notant $f(t)=(x(t),y(t))$, la résolution du système $f(t_1)=f(t_2)$ donne $t_1=t_2$, donc $\Gamma$ ne possède pas de point double. Enfin, on a :
$$f(t)=(2,0)+t^2(-1/2,0)+t^3(0,1/6)+t^3\left(\varepsilon_1(t),\varepsilon_2(t)\right)\mbox{ avec }\lim _{t\to 0}\varepsilon_i(t)=0.$$
Donc le point de paramètre $t=0$ est un point de rebroussement de première espèce et la tangente en ce point est horizontale.
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Courbes_paramétrées
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309
|
La trajectoire $\Gamma$ d'une particule en mouvement est donnée par les équations
$$x(t)=\frac{1}{1-t^2}\quad \mbox{et}\quad y(t)=\frac{1}{1+t^4}.$$
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\Gamma$ est symétrique par rapport à l'origine du repère.",
"$\\Gamma$ admet la droite d'équation $y=1/2$ comme asymptote quand $t$ tend vers $1$.",
"Le point de paramètre $t=0$ est un point de rebroussement de seconde espèce.",
"La tangente à $\\Gamma$ au point de paramètre $t=0$ est verticale."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
$y$ étant strictement positive, $\Gamma$ ne peut être symétrique par rapport à l'origine du repère. Ensuite, $\displaystyle \lim_{t\to 1^{\pm}}x(t)=\pm \infty$ et $\displaystyle \lim_{t\to 1}y(t)=1/2$, donc la droite d'équation $y=1/2$ est une asymptote. Le $DL_4(0)$ de $f(t)=(x(t),y(t))$ est
$$f(t)=(1,1)+t^2(1,0)+t^4(1,-1)+t^4\left(\varepsilon_1(t),\varepsilon_2(t)\right)\mbox{ avec }\lim _{t\to 0}\varepsilon_i(t)=0.$$
On en déduit que le point de paramètre $t=0$ est un point de rebroussement de seconde espèce et que la tangente en ce point est horizontale.
|
Courbes_paramétrées
|
310
|
La trajectoire $\Gamma$ d'une particule en mouvement est donnée par les équations
$$x=\frac{t^2}{1-t^2}\quad \mbox{et} \quad y=\frac{t^2}{1+t}.$$
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Le point de paramètre $0$ est un point de rebroussement de seconde espèce.",
"La tangente à $\\Gamma$ au point de paramètre $1$ est la droite d'équation $y=x$.",
"$\\Gamma$ admet la droite d'équation $y=2$ comme asymptote quand $t$ tend vers $1$.",
"$\\Gamma$ admet la droite d'équation $y=2x-1/2$ comme asymptote quand $t$ tend vers $-1$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
On a : $f(t)=t^2(1,1)+t^3(0,-1)+t^3\left(\varepsilon_1(t),\varepsilon_2(t)\right)$ avec $\displaystyle \lim _{t\to 0}\varepsilon_i(t)=0$. Donc le point de paramètre $0$ est un point de rebroussement de première espèce et la tangente en ce point est la droite d'équation $y=x$. Enfin, l'étude des branches infinies, quand $t$ tend vers $1$ et quand $t$ tend vers $-1$, montre que les droites d'équation $y=1/2$ et d'équation $y=2x-1/2$ sont des asymptotes.
|
Courbes_paramétrées
|
311
|
La trajectoire $\Gamma$ d'une particule en mouvement est donnée par les équations
$$x=\frac{t}{4-t^2}\quad \mbox{et} \quad y=\frac{t^2}{2-t}.$$
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\Gamma$ admet un seul point stationnaire.",
"La droite d'équation $x=1$ est une asymptote quand $t$ tend vers $-2$.",
"La droite d'équation $y=8x-3$ est une asymptote quand $t$ tend vers $2$.",
"Le point de coordonnées $(1/2,2)$ est un point double."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
D'abord, $\Gamma$ n'a pas de point stationnaire car $x'(t)\neq 0$. Puis, $\displaystyle \lim_{t\to -2^{\pm}}x(t)=\pm \infty$ et $\displaystyle \lim_{t\to -2}y(t)=1$, donc la droite d'équation $y=1$ est une asymptote quand $t$ tend vers $-2$. De même, $\displaystyle \lim_{t\to 2^{\pm}}x(t)=\lim_{t\to 2^{\pm}}y(t)=\pm \infty$, $\displaystyle \lim_{t\to 2^{\pm}}\frac{y(t)}{x(t)}=8$ et $\displaystyle \lim_{t\to 2^{\pm}}[y(t)-x(t)]=-3$. Donc la droite d'équation $y=8x-3$ est une asymptote quand $t$ tend vers $2$. Enfin, la résolution de $(x(t_1),y(t_1))=(x(t_2),y(t_2))$ montre que $(1/2,2)$ est un point double obtenu avec les paramètres $-1+\sqrt{5}$ et $-1-\sqrt{5}$.
|
Courbes_paramétrées
|
312
|
La trajectoire $\Gamma$ d'une particule en mouvement est donnée par les équations
$$x=\frac{t^2}{1-t}\quad \mbox{et} \quad y=\frac{3t-1}{1-t^2}.$$
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\Gamma$ admet un seul point stationnaire.",
"La droite d'équation $\\displaystyle y=1/2$ est une asymptote quand $t$ tend vers $-1$.",
"La droite d'équation $\\displaystyle y=x+1$ est une asymptote quand $t$ tend vers $1$.",
"Le point de paramètre $0$ est un méplat."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
D'abord, $\Gamma$ n'a pas de point stationnaire car $y'(t)\neq 0$. Puis, $\displaystyle \lim_{t\to -1}x(t)=1/2$ et $\displaystyle \lim_{t\to -1^{\pm}}y(t)=\pm\infty$, donc la droite d'équation $x=1/2$ est une asymptote quand $t$ tend vers $-1$. De même, $\displaystyle \lim_{t\to 1^{\pm}}x(t)=\lim_{t\to 1^{\pm}}y(t)=\pm \infty$, $\displaystyle \lim_{t\to 1^{\pm}}\frac{y(t)}{x(t)}=1$ et $\displaystyle \lim_{t\to 2^{\pm}}[y(t)-x(t)]=1$. Donc la droite d'équation $\displaystyle y=x+1$ est une asymptote quand $t$ tend vers $1$. Enfin, le $DL_2(0)$ de $f(t)=(x(t),y(t))$ est
$$f(t)=(0,-1)+t(0,3)+t^2(1,-1)+t^2\left(\varepsilon_1(t),\varepsilon_2(t)\right)\mbox{ avec }\lim _{t\to 0}\varepsilon_i(t)=0.$$
Donc le point de paramètre $0$ est un point ordinaire.
|
Courbes_paramétrées
|
313
|
On considère le système d'équations, d'inconnue $(x,y,z)\in \Rr^3$ :
$$(\mathtt{S})\; \left\{\begin{array}{rcc}x-y+z&=&0\\
x-y-z&=&0\\ 3x+2y+z&=&0. \end{array}\right.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(\\mathtt{S}) \\Leftrightarrow \\left\\{\\begin{array}{rcc}",
"$(\\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions",
"$(\\mathtt{S})$ n'admet pas de solution",
"$(\\mathtt{S})$ admet une unique solution"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
$$ (\mathtt{S}) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcc}
x-y+z&=&0\\
5y-2z&=&0\\
z&=&0.\end{array}\right.$$
Donc $(\mathtt{S})$ admet une unique solution : $(0,0,0)$.
|
Systèmes_d'équations_linéaires
|
314
|
On considère le système d'équations, d'inconnue $(x,y,z)\in \Rr^3$ :
$$(\mathtt{S}) \; \left\{\begin{array}{rcc}
x+2y+z&=&0\\
-x+z&=&0\\
x+y&=&0.\end{array}\right.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(\\mathtt{S}) \\Leftrightarrow \\left\\{\\begin{array}{rcc}",
"L'ensemble des solutions de $(\\mathtt{S})$ est une droite",
"$(\\mathtt{S})$ n'admet pas de solution",
"$(\\mathtt{S})$ admet une unique solution"
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
$$(\mathtt{S}) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcc}
y&=&-x\\
z&=&x.\end{array}\right.$$
L'ensemble des solutions de $(\mathtt{S})$ est la droite : $\{(x,-x,x)\, ; \; x \in \Rr\}$.
|
Systèmes_d'équations_linéaires
|
315
|
On considère le système d'équations, d'inconnue $(x,y,z)\in \Rr^3$ :
$$(\mathtt{S}) \; \left\{\begin{array}{rcc}
x-y+2z&=&1\\
-2x+2y-4z&=&-2\\
3x-3y+6z&=&3.\end{array}\right.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(\\mathtt{S}) \\Leftrightarrow",
"L'ensemble des solutions de $(\\mathtt{S})$ est un plan",
"$(\\mathtt{S})$ n'admet pas de solution",
"$(\\mathtt{S})$ admet une unique solution"
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
$ (\mathtt{S}) \Leftrightarrow
x-y+2z=0$.
L'ensemble des solutions de $(\mathtt{S})$ est un plan.
|
Systèmes_d'équations_linéaires
|
316
|
On considère le système d'équations, d'inconnue $(x,y,z)\in \Rr^3$ :
$$(\mathtt{S}) \; \left\{\begin{array}{rcc}
x+y-z&=&2\\
-x+y+z&=&0\\
2x+z&=&-1.\end{array}\right.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(\\mathtt{S}) \\Leftrightarrow \\left\\{\\begin{array}{rcc}",
"$(\\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions",
"$(\\mathtt{S})$ n'admet pas de solution",
"$(\\mathtt{S})$ admet une unique solution"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
$$(\mathtt{S}) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcc}
x+y-z&=&2\\
y&=&1\\
z&=&-1.\end{array}\right.$$
Donc $(\mathtt{S})$ admet une unique solution : $(0,1,-1)$.
|
Systèmes_d'équations_linéaires
|
317
|
On considère le système d'équations, d'inconnue $(x,y,z)\in \Rr^3$ :
$$(\mathtt{S}) \; \left\{\begin{array}{rcc}
x-y+z&=&1\\
2x-3y+4z&=&1\\
y+z&=&1.\\
\end{array}\right.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(\\mathtt{S}) \\Leftrightarrow \\left\\{\\begin{array}{rcc}",
"Les équations de $(\\mathtt{S})$ sont celles de trois plans",
"$(\\mathtt{S})$ admet une unique solution",
"$(\\mathtt{S})$ n'admet pas de solution"
],
"labels": [
1,
1,
1,
0
]
}
|
$$(\mathtt{S}) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcc}
x-y+z&=&1\\
y-2z&=&1\\
z&=&0.\\
\end{array}\right.$$
Donc $(\mathtt{S})$ admet une unique solution : $(2,1,0)$.
|
Systèmes_d'équations_linéaires
|
318
|
On considère le système d'équations, d'inconnue $(x,y,z)\in \Rr^3$ :
$$(\mathtt{S}) \; \left\{\begin{array}{rcc}
x-y+z&=&1\\
2x-3y+4z&=&1\\
x-2y+3z&=&1.\\
\end{array}\right.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(\\mathtt{S}) \\Leftrightarrow \\left\\{\\begin{array}{rcc}",
"$(\\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions",
"$(\\mathtt{S})$ admet une unique solution",
"$(\\mathtt{S})$ n'admet pas de solution"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
$$(\mathtt{S}) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcc}
x-y+z&=&1\\
y-2z&=&1\\
y-2z&=&0\\
\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcc}
x-y+z&=&1\\
y-2z&=&1\\
0&=&-1.\\
\end{array}\right.$$
Donc $(\mathtt{S})$ n'admet pas de solution.
|
Systèmes_d'équations_linéaires
|
319
|
On considère le système d'équations, d'inconnue $(x,y,z)\in \Rr^3$ :
$$(\mathtt{S}) \; \left\{\begin{array}{rcc}
x+y+z&=&1\\
xy+z&=&0\\
x-y&=&-1.\end{array}\right.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(\\mathtt{S})$ est un système d'équations linéaires.",
"$(\\mathtt{S}) \\Leftrightarrow \\left\\{\\begin{array}{rcc}",
"$(\\mathtt{S})$ admet une unique solution.",
"$(\\mathtt{S})$ admet deux solutions distinctes."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
$$(\mathtt{S}) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcc}
z&=&1-x-y\\
y&=&1+x\\
xy+z&=&0\\
\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcc}
z&=&-2x\\
y&=&1+x\\
x(x-1)&=&0.\\
\end{array}\right. $$
Donc $(\mathtt{S})$ admet deux solutions : $(0,1,0)$ et $(1,2,-2)$.
|
Systèmes_d'équations_linéaires
|
320
|
On considère le système d'équations, d'inconnue $(x,y,z)\in \Rr^3$ :
$$(\mathtt{S}) \; \left\{\begin{array}{rcc}
x+y+z&=&1\\
2x+y-z&=&-1\\
3x+y-3z&=&-3\\
x-2z&=&-2.\end{array}\right.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(\\mathtt{S}) \\Leftrightarrow \\left\\{\\begin{array}{rcc}",
"L'ensemble des solutions de $(\\mathtt{S})$ est une droite.",
"$(\\mathtt{S})$ n'admet pas de solution.",
"$(\\mathtt{S})$ admet une unique solution."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
$$(\mathtt{S}) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcc}
x+y+z&=&1\\
y+3z&=&3.\\
\end{array}\right.$$
L'ensemble des solutions de $(\mathtt{S})$ est la droite : $\{(-2+2z,3-3z,z)\, ; \; z \in \Rr\}$.
|
Systèmes_d'équations_linéaires
|
321
|
On considère le système d'équations, d'inconnue $(x,y,z,t)\in \Rr^4$ et de paramètres des réels
$a,b,c$ et $d$ :
$$(\mathtt{S}) \; \left\{\begin{array}{rcc}
x+y&=&a\\
y+z&=&b\\
z+t&=&c\\
t+x&=&d.\end{array}\right.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(\\mathtt{S}) \\Leftrightarrow",
"$(\\mathtt{S})$ admet une solution si et seulement si $a+c=b+d$.",
"$(\\mathtt{S})$ admet une solution si et seulement si $a+b=c+d$.",
"Le rang de $(\\mathtt{S})$ est $3$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
$$(\mathtt{S}) \Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcc}
x+y&=&a\\
y+z&=&b\\
z+t&=&c\\
0&=&b+d-a-c.\end{array}\right.$$
On en déduit que si $a+c\neq b+d$, $(\mathtt{S})$ n'admet pas de solution et que si $a+c= b+d$,
$(\mathtt{S})$ en admet une infinité.
|
Systèmes_d'équations_linéaires
|
322
|
On considère le système d'équations, d'inconnue $(x,y,z)\in \Rr^3$ et de paramètres des réels non nuls et distincts $a,b$ et $c$ :
$$(\mathtt{S}) \; \left\{\begin{array}{rcc}
ax+ay+bz&=&b\\
bx+by+cz&=&c\\
cx+cy+az&=&a.\end{array}\right.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(\\mathtt{S}) \\Leftrightarrow",
"$(\\mathtt{S})$ n'admet pas de solution.",
"$(\\mathtt{S})$ admet une solution si et seulement si $a^2\\neq bc$.",
"$(\\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
$$(\mathtt{S}) \Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcc}
ax+ay+bz&=&b\\
(ac-b^2)z&=&ac-b^2\\
(a^2-bc)z&=&a^2-bc.\\
\end{array}\right.$$
D'autre part, $a,b,c$ sont des réels distincts, on vérifie que $a^2\neq bc$ ou $b^2 \neq ac$. Par conséquent,
$(\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions :
$\{(x,-x,1); \; x \in \Rr\}$.
|
Systèmes_d'équations_linéaires
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323
|
On considère le système d'équations, d'inconnue $(x,y,z)\in \Rr^3$ et de paramètre un réel $m$ :
$$(\mathtt{S}) \; \left\{\begin{array}{rcc}
x+y+z&=&-1\\
x+2y+3z&=&1\\
2x+3y+4z&=&m.\end{array}\right.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(\\mathtt{S}) \\Leftrightarrow",
"Pour tout réel $m$, $(\\mathtt{S})$ admet une solution.",
"Si $m=1$, $(\\mathtt{S})$ n'admet pas de solution.",
"Si $m=0$, l'ensemble des solutions de $(\\mathtt{S})$ est une droite."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
$$(\mathtt{S}) \Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcc}
x+y+z&=&-1\\
y+2z&=&2\\
y+2z&=&m+2\\
\end{array}\right. \Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcc}
x+y+z&=&-1\\
y+2z&=&2\\
0&=&m.\\
\end{array}\right.$$
On en déduit que si $m\neq 0$, $(\mathtt{S})$ n'admet pas de solution et que si $m=0$, l'ensemble des solutions de
$(\mathtt{S})$ est la droite :
$\{(-3+z,2-2z,z); \; z\in \Rr\}$.
|
Systèmes_d'équations_linéaires
|
324
|
On considère le système d'équations, d'inconnue $(x,y,z)\in \Rr^3$ et de paramètre un réel $m$ :
$$(\mathtt{S})\left\{\begin{array}{rcc}
x-y-z&=&1\\ -x+2y-mz&=&-3\\ 2x-y+(m-1)z&=&2m+2.\end{array}\right.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(\\mathtt{S}) \\Leftrightarrow",
"Pour tout réel $m$, $(\\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions.",
"Si $m=-1$, $(\\mathtt{S})$ n'admet pas de solution.",
"Si $m \\neq -1$, $(\\mathtt{S})$ admet une unique solution."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
$$(\mathtt{S}) \Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcc}
x-y-z&=&1\\
y-(m+1)z&=&-2\\
y+(m+1)z&=&2m\\
\end{array}\right. \Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcc}
x-y-z&=&1\\
y-(m+1)z&=&-2\\
(m+1)z&=&m+1.\\
\end{array}\right.$$
Si $m=-1$, $(\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions : $\{(-1+z,-2,z) \, ; \, z \in \Rr\}$.\\
Si $m \neq -1$, $(\mathtt{S})$ admet une unique solution : $(1+m,-1+m,1)$.
|
Systèmes_d'équations_linéaires
|
325
|
On considère le système d'équations, d'inconnue $(x,y,z,t) \in \Rr^4$ et de paramètres des réels $a$ et $m$ :
$$(\mathtt{S})
\left\{\begin{array}{rcc}
x-z-t&=&0\\
-x+y+z&=&a\\
2x+y-z&=&m \\
x-mz-t&=&a \\
x+y+t&=&m.\end{array}\right.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(\\mathtt{S}) \\Leftrightarrow",
"Si $m=1$ et $a=0$, $(\\mathtt{S})$ admet une unique solution.",
"Si $m \\neq 1$ et $a$ un réel quelconque, $(\\mathtt{S})$ admet une unique solution.",
"Si $m \\neq 1$ et $a\\neq 0$, $(\\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
$$(\mathtt{S}) \Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcc}
x-z-t&=&0\\
y-t&=&a\\
y+z+2t&=&m \\
(1-m)z&=&a \end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcc}
x-z-t&=&0\\
y-t&=&a\\
z+3t&=&m-a \\
(1-m)z&=&a.\end{array}\right.$$
\begin{enumerate}
\item[-]Si $m=1$ et $a\neq 0$, $(\mathtt{S})$ n'admet pas de solution.
\item[-]Si $m=1$ et $a= 0$, $(\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions.
\item[-]Si $m\neq1$, $(\mathtt{S})$ admet une unique solution.
\end{enumerate}
|
Systèmes_d'équations_linéaires
|
326
|
On considère le système d'équations, d'inconnue $(x,y,z)\in \Rr^3$ et de paramètre un réel $m$ :
$$(\mathtt{S})
\left\{\begin{array}{rcc}
x+y+mz&=&1\\
x+my+z&=&1\\
mx+y+z&=&1.\\
\end{array}\right.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(\\mathtt{S}) \\Leftrightarrow",
"Si $m =1$, $(\\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions.",
"Si $m=-2$, $(\\mathtt{S})$ n'admet pas de solution.",
"Si $m\\neq 1$, $(\\mathtt{S})$ admet une unique solution."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
$$(\mathtt{S}) \Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcc}
x+y+mz&=&1\\
(m-1)y+(1-m)z&=&0\\
(1-m)y+(1-m^2)z&=&1-m\\
\end{array}\right. \Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcc}
x+y+mz&=&1\\
(m-1)y+(1-m)z&=&0\\
(1-m)(2+m)z&=&1-m.\\
\end{array}\right. $$
\begin{enumerate}
\item[-]Si $m=1$, $(\mathtt{S}) \Leftrightarrow x+y+z=1 $ admet une infinité de solutions.
\item[-]Si $m=-2$, $(\mathtt{S})$ n'admet pas de solution.
\item[-]Si $m\neq 1$ et $m\neq -2$, $(\mathtt{S})$ admet une unique solution.
\end{enumerate}
|
Systèmes_d'équations_linéaires
|
327
|
On considère le système d'équations, d'inconnue $(x,y,z,t)\in \Rr^4$ et de paramètre un réel $m$ :
$$(\mathtt{S})
\left\{\begin{array}{rcc}
x+y+z+mt&=&1 \\
x+y+mz+t&=&1\\
x+my+z+t&=&1\\
mx+y+z+t&=&1.\end{array}\right.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(\\mathtt{S}) \\Leftrightarrow",
"Si $m=1$, $(\\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions.",
"Si $m =-3$, $(\\mathtt{S})$ admet une unique solution.",
"Si $m\\neq 1$, $(\\mathtt{S})$ admet une unique solution."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
$$(\mathtt{S}) \Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcc}
x+y+z+mt&=&1\\
(m-1)y+(1-m)t&=&0\\
(m-1)z+(1-m)t&=&0 \\
(1-m)y+(1-m)z+(1-m^2)t&=&1-m\\
\end{array}\right.
$$
$$\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcc}
x+y+z+mt&=&1\\
(m-1)y+(1-m)t&=&0\\
(m-1)z+(1-m)t&=&0 \\
(1-m)(3+m)t&=&1-m. \\
\end{array}\right. $$
\begin{enumerate}
\item[-]Si $m=1$, $(\mathtt{S}) \Leftrightarrow x+y+z+t=1 $ admet une infinité de solutions.
\item[-]Si $m=-3$, $(\mathtt{S})$ n'admet pas de solution.
\item[-]Si $m\neq 1$ et $m\neq -3$ $(\mathtt{S})$ admet une unique solution.
\end{enumerate}
|
Systèmes_d'équations_linéaires
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328
|
On considère le système d'équations, d'inconnue $(x,y,z)\in \Rr^3$ et de paramètres des réels $a,b$ et $c$ :
$$(\mathtt{S})
\left\{\begin{array}{rcc}
x+ay+a^2z&=&0\\
x+by+b^2z&=&0\\
x+cy+c^2z&=&0.\end{array}\right.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(\\mathtt{S}) \\Leftrightarrow",
"Si $a,b$ et $c$ sont des réels deux à deux distincts, $(\\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions.",
"Si $a=b$ et $a\\neq c$, $(\\mathtt{S})$ admet une unique solution.",
"$b=c$ et $a\\neq c$, $(\\mathtt{S})$ n'admet pas de solution."
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
$$(\mathtt{S}) \Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcc}
x+ay+a^2z&=&0\\
(b-a)y+(b^2-a^2)z&=&0\\
(c-a)y+(c^2-a^2)z&=&0.\\
\end{array}\right.$$
\begin{enumerate}
\item[-]Si $a=b=c$, $(\mathtt{S})\Leftrightarrow x+ay+a^2z=0 $, $(\mathtt{S})$ admet donc une infinité de solutions.
\item[-]Si $a=b$ et $a\neq c$, ou $a=c$ et $a\neq b$, ou $b=c$ et $b\neq a$, $(\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions.
\item[-]Si $a,b,c$ sont deux à deux distincts, $(\mathtt{S})$ admet donc une unique solution : $(0,0,0)$.
\end{enumerate}
|
Systèmes_d'équations_linéaires
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329
|
On considère le système d'équations, d'inconnue $(x,y,z,t)\in \Rr^4$ et de paramètres des réels $m$ et $a$ :
$$(\mathtt{S})
\left\{\begin{array}{rcc}
x+y+z+mt&=&1\\
x+y+mz+t&=&a\\
x+my+z+t&=&a^2\\
mx+y+z+t&=&a^3.\end{array}\right.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(\\mathtt{S}) \\Leftrightarrow",
"Si $m =1$, $(\\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions.",
"Si $m\\neq 1$, $(\\mathtt{S})$ admet une unique solution.",
"Si $m=-3$ et $a\\neq -1$, $(\\mathtt{S})$ n'admet pas de solution."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
$$(\mathtt{S}) \Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcc}
x+y+z+mt&=&1\\
(m-1)y+(1-m)t&=&a^2-1\\
(m-1)z+(1-m)t&=&a-1 \\
(1-m)y+(1-m)z+(1-m^2)t&=&a^3-m\\
\end{array}\right.$$
$$ \Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcc}
x+y+z+mt&=&1\\
(m-1)y+(1-m)t&=&a^2-1\\
(m-1)z+(1-m)t&=&a-1 \\
(1-m)(3+m)t&=&a^3+a^2+a-m-2.\\
\end{array}\right. $$
\begin{enumerate}
\item[-]Si $m=1$ et $a=1$, $(\mathtt{S}) \Leftrightarrow x+y+z+t=1 $ admet une infinité de solutions.
\item[-]Si $m=1$ et $a\neq 1$, $(\mathtt{S})$ n'admet pas de solution.
\item[-]Si $m=-3$ et $a=-1$, $(\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions.
\item[-]Si $m=-3$ et $a\neq -1$, $(\mathtt{S})$ n'admet pas de solution.
\item[-]Si $m\neq 1$ et $m\neq -3$, $(\mathtt{S})$ admet une unique solution.
\end{enumerate}
|
Systèmes_d'équations_linéaires
|
330
|
On considère le système d'équations, d'inconnue $(x,y,z)\in \Rr^3$ et de paramètres des réels $a$ et $m$ :
$$(\mathtt{S})
\left\{\begin{array}{rcc}
2x+y-z&=&2\\
x-y+z&=&4\\
3x+3y-z&=&4m \\
mx-y+z&=&2a+2. \end{array}\right.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(\\mathtt{S})\\Leftrightarrow",
"Si $m=1$ et $a=-1$, $(\\mathtt{S})$ admet une unique solution.",
"Si $m =a$, $(\\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions.",
"Si $m\\neq a$, $(\\mathtt{S})$ n'admet pas de solution."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
$$(\mathtt{S}) \Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcc}
x-y+z&=&4\\
y-z&=&-2\\
3y-2z&=&2m-6 \\
(m-1)y+(1-m)z&=&2a-4m+2 \\
\end{array}\right. \Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcc}
x-y+z&=&4\\
y-z&=&-2\\
z&=&2m \\
0&=&m-a. \\
\end{array}\right.$$
Si $m=a$, $(\mathtt{S})$ admet une unique solution et si $m\neq a$, $(\mathtt{S})$ n'admet pas de solution.
|
Systèmes_d'équations_linéaires
|
331
|
Soit $(\mathtt{S})$ un système à $3$ équations linéaires et $2$ inconnues et $(\mathtt{S}_H)$ le système homogène associé. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(\\mathtt{S}_H)$ admet au moins une solution.",
"$(\\mathtt{S})$ admet au moins une solution.",
"Si $X_1$ et $X_2$ sont des solutions de $(\\mathtt{S})$, alors $X_1+X_2$ est une solution de $(\\mathtt{S})$.",
"$(\\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions si et seulement si les équations de $(\\mathtt{S})$ sont celles de trois droites confondues."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
$(\mathtt{S}_H)$ admet au moins le zéro de l'espace comme solution. Les équations de $(\mathtt{S})$ étant celles de $3$ droites, $3$ cas sont possibles :
\begin{enumerate}
\item[-] Les $3$ droites sont confondues, dans ce cas, $(\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions.
\item[-] Les $3$ droites se coupent en un point, dans ce cas, $(\mathtt{S})$ admet une unique solution.
\item[-] L'intersection des $3$ droites est vide, dans ce cas, $(\mathtt{S})$ n'admet pas de solution.
\end{enumerate}
|
Systèmes_d'équations_linéaires
|
332
|
Soit $(\mathtt{S})$ un système à $3$ équations linéaires et $3$ inconnues et $(\mathtt{S}_H)$ le système homogène associé. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(\\mathtt{S}_H)$ admet une infinité de solutions.",
"$(\\mathtt{S})$ admet une unique solution.",
"Si $X_1$ et $X_2$ sont des solutions de $(\\mathtt{S})$, alors $X_1-X_2$ est une solution de $(\\mathtt{S}_H)$.",
"$(\\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions si et seulement si les équations de $(\\mathtt{S})$ sont celles de $3$ plans confondus."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
$(\mathtt{S}_H)$ admet au moins le zéro de l'espace comme solution, mais n'admet pas nécessairement une infinité de solutions. Les équations de $(\mathtt{S})$ étant celles de $3$ plans, $4$ cas sont possibles :
\begin{enumerate}
\item[-] Les $3$ plans sont confondus, dans ce cas, $(\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions.
\item[-] Les $3$ plans se coupent en une droite, dans ce cas, $(\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions.
\item[-] Les $3$ plans se coupent en un point, dans ce cas, $(\mathtt{S})$ admet une unique solution.
\item[-] L'intersection des $3$ plans est vide, dans ce cas, $(\mathtt{S})$ n'admet pas de solution.
\end{enumerate}
|
Systèmes_d'équations_linéaires
|
333
|
Soit $(\mathtt{S})$ un système d'équations linéaires et $(\mathtt{S}_E)$ un système échelonné obtenu par la méthode de résolution du pivot de Gauss. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(\\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions si et seulement si toute équation de $(\\mathtt{S}_E)$ dont le premier membre est nul a aussi son second membre nul.",
"$(\\mathtt{S})$ n'admet pas de solution si et seulement s'il existe une équation de $(\\mathtt{S}_E)$ ayant un premier membre nul et un second membre non nul.",
"$(\\mathtt{S})$ admet une unique solution si et seulement si le nombre d'équations de $(\\mathtt{S}_E)$ dont le premier membre est non nul est égal au nombre d'inconnues.",
"Si le nombre d'équations de $(\\mathtt{S}_E)$ dont le premier membre est non nul est strictement inférieur au nombre d'inconnues et les équations ayant un premier membre nul admettent aussi le second membre nul, alors $(\\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Systèmes_d'équations_linéaires
|
|
334
|
Soit $(\mathtt{S})$ un système à $4$ équations et $3$ inconnues, $(\mathtt{S}_E)$ un système échelonné obtenu par la méthode de résolution du pivot de Gauss et $r$ le rang du système $(\mathtt{S})$, c.à.d le nombre d'équations de $(\mathtt{S}_E)$ ayant un premier membre non nul. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $r=1$, alors $(\\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions.",
"Si $r=2$ et les équations ayant un premier membre nul admettent aussi le second membre nul, alors $(\\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions.",
"Si $r=3$ et l'équation ayant un premier membre nul admet aussi le second membre nul, alors $(\\mathtt{S})$ admet une unique solution.",
"Si $r=3$, alors $(\\mathtt{S})$ admet une unique solution."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Systèmes_d'équations_linéaires
|
|
335
|
Soit $P$ un polynôme à coefficients réels de degré $\le 3$ vérifiant les conditions :
$$P(1)=1,\quad P(0)=1,\quad P(-1)=-1\quad \mbox{et}\quad P'(1)= 3.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Un tel polynôme $P$ n'existe pas.",
"Il existe une infinité de polynômes $P$ vérifiant ces conditions.",
"Il existe un unique polynôme $P$ vérifiant ces conditions.",
"Si $P$ est un polynôme qui vérifie ces conditions, alors $P(2)=2$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
$$(\mathtt{S})
\left\{\begin{array}{rcc}
P(1)&=&1\\
P(0)&=&1\\
P(-1)&=&-1\\
P'(1)&=&3 \\
\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcc}
a+b+c+d&=&1\\
d&=&1\\
-a+b-c+d&=&-1\\
3a+2b+c&=&3. \\
\end{array}\right. $$
On obtient : $P(X)=2X^3-X^2-X+1$. Par conséquent il existe un unique polynôme vérifiant les conditions ci-dessus et $P(2)=11$.
|
Systèmes_d'équations_linéaires
|
336
|
On considère le système d'équations, d'inconnue $(x_1,x_2,\dots,x_n) \in \Rr^n$, $n \ge 2$ :
$$(\mathtt{S})
\left\{\begin{array}{ccc}
x_1+x_2+\dots+ x_{n-2}+x_{n-1}+ax_n&=&1\\
x_1+x_2+\dots+ x_{n-2}+ax_{n-1}+x_n&=&1\\
x_1+x_2+\dots+ ax_{n-2}+x_{n-1}+x_n&=&1\\
\vdots &\vdots&\vdots\\
ax_1+x_2+\dots+ x_{n-2}+x_{n-1}+x_n&=&1,
\end{array}\right.$$
où $a$ est un paramètre réel. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(\\mathtt{S})\\Leftrightarrow",
"Si $a=1$, $(\\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions.",
"Si $a \\neq 1$, $(\\mathtt{S})$ admet une unique solution.",
"$a=1-n$, $(\\mathtt{S})$ n'admet pas de solution."
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
$$(\mathtt{S}) \Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcc}
x_1+x_2+\dots+ x_{n-2}+x_{n-1}+ax_n \qquad \qquad &=&1\\
(a-1)[x_{n-1}-x_n]\qquad \qquad&=&0\\
(a-1)[x_{n-2}-x_n]\qquad \qquad&=&0\\
\vdots \qquad \qquad&\vdots&\vdots\\
(a-1)[x_2-x_n]\qquad \qquad&=&0\\
(1-a)[x_2+\dots+x_{n-2}+x_{n-1}+(1+a)x_n]&=&1-a.\\
\end{array}\right.$$
\begin{enumerate}
\item[-]Si $a=1$, $(\mathtt{S}) \Leftrightarrow x_1+x_2+\dots+ x_n =1$, donc $(\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions.
\item[-]Si $a\neq 1$, $$(\mathtt{S}) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcc}
x_1+x_2+\dots+ x_{n-2}+x_{n-1}+ax_n &=&1\\
x_{n-1}&=&x_n\\
x_{n-2}&=&x_n\\
\vdots &\vdots&\vdots\\
x_2&=&x_n\\
(n-1+a)x_n&=&1.\\
\end{array}\right.$$
\item[-]Si $a=1-n$, $(\mathtt{S})$ n'admet pas de solution.
\item[-]Si $a\neq 1-n$, $(\mathtt{S})$ admet une unique solution.
\end{enumerate}
|
Systèmes_d'équations_linéaires
|
337
|
On considère le système d'équations, d'inconnue $(x_1,x_2,\dots,x_n) \in \Rr^n$, $n \ge 2$ : et de paramètre des réels $a,b$ :
$$(\mathtt{S})
\left\{\begin{array}{ccc}
x_1+x_2 + x_3+\dots \quad \dots+ x_n&=&1\\
ax_1+bx_2 + bx_3 + \dots +bx_n&=&1\\
ax_1+ax_2+bx_3 + \dots +bx_n&=&1\\ \vdots &\vdots&\vdots\\
ax_1+\dots + ax_{n-1}+bx_n&=&1,\end{array}\right.$$
où $a$ et $b$ sont des paramètre réels. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(\\mathtt{S}) \\Leftrightarrow",
"Si $a=b$, $(\\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions.",
"Si $a\\neq b$, $(\\mathtt{S})$ n'admet pas de solution.",
"$(\\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions si et seulement si $a=b=1$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
$$(\mathtt{S}) \Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcc}
x_1+x_2+x_3+\dots+ x_n&=&1\\
(b-a)[x_2+x_3+\dots+ x_n]&=&1-a\\
(b-a)[x_3+\dots +x_n]&=&1-a\\
\vdots &\vdots&\vdots\\
(b-a)x_n&=&1-a.
\end{array}\right.$$
\begin{enumerate}
\item[-] Si $a=b=1$, le système $(\mathtt{S})\Leftrightarrow x_1+x_2+\dots+ x_n=1$. Donc $(\mathtt{S})$ admet une infinité de solutions.
\item[-] Si $a=b \neq 1$, $(\mathtt{S})$ n'admet pas de solution.
\item[-] Si $a\neq b$, $(\mathtt{S})$ admet une unique solution.
\end{enumerate}
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Systèmes_d'équations_linéaires
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338
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Soit $P$ un polynôme à coefficients réels de degré $\le 11$ vérifiant les conditions :
$$P(1)=1!,\quad P'(1)=2!,\quad P''(1)=3!, \dots , \quad
P^{(10)}(1)= 11!.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Un tel polynôme $P$ n'existe pas",
"Il existe une infnité de polynômes $P$ vérifiant ces conditions",
"Il existe un unique polynôme $P$ vérifiant ces conditions",
"Si $P$ est un polynôme qui vérifie ces conditions, alors"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
$$P(X)=P(1)+(X-1)\frac{P'(1)}{1!} + (X-1)^2\frac{P''(1)}{2!}+ \dots + (X-1)^{11}\frac{P^{(11)}(1)}{11!}.$$
En utilisant les conditions que doit vérifier $P$, on obtient :
$$P(X)=1+2(X-1)+ 3(X-1)^2+ \dots + 11(X-1)^{10} + a(X-1)^{11},$$
où $a$ est un réel. Par conséquent, il existe une infinité de polynômes vérifiant les conditions ci-dessus.
|
Systèmes_d'équations_linéaires
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339
|
Soit $A$ et $B$ deux matrices. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"Si la matrice $A+B$ est définie, alors $B+A$ est définie",
"Si la matrice $A+B$ est définie, alors $AB$ est définie",
"Si la matrice $AB$ est définie, alors $BA$ est définie",
"Si la matrice $A+B$ est définie, alors $A^tB$ est définie, où $^tB$ est la transposée de la matrice $B$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Calcul_matriciel
|
|
340
|
On considère les matrices :
$$A=
\left(\begin{array}{rc}
1&2\\
3&4\end{array}\right),\; B=
\left(\begin{array}{rc}
1&1\\
1&-1\end{array}\right),\; C=
\left(\begin{array}{rc}
1&3\\
5&9\end{array}\right),\; D=
\left(\begin{array}{rc}
3&-1\\
7&-1\end{array}\right)\mbox{ et }E=
\left(\begin{array}{rc}
4&6\\
-2&2\end{array}\right).$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$2A-B=C$",
"$AB=D$",
"$BA=E$",
"$AB=BA$"
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
Calcul_matriciel
|
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341
|
On considère les matrices :
$$A=\left(\begin{array}{rcc}
1&1&2\end{array}\right),\; B=
\left(\begin{array}{rc}1\\-1\\ 1
\end{array}\right),\; C=
\left(\begin{array}{rcc}
1&3&1\\ 1&1&1
\end{array}\right),\; D= \left(\begin{array}{rc}
0&1\\ 1&-1\\ 2&1 \end{array}\right)\mbox{ et }E=\left(\begin{array}{rc}5&-1\\3&1\end{array}\right).$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$A+B=B$",
"$AB=\\left(\\begin{array}{rc}2\\\\ \\end{array}\\right)$",
"$CA=\\left(\\begin{array}{rc}6\\\\ 2\\\\\\end{array}\\right)$",
"$CD=E$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Calcul_matriciel
|
|
342
|
On considère $M_{n,m} (\Rr)$ l'ensemble des matrices à $n$ lignes et $m$ colonnes, à coefficients dans $\Rr$, muni de l'addition usuelle et la multiplication par un scalaire. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"$M_{n,m} (\\Rr)$ est un espace vectoriel",
"$\\dim M_{n,m} (\\Rr) = mn $",
"$\\dim M_{n,m} (\\Rr) = m+n $",
"$M_{n,m} (\\Rr)$ est un espace vectoriel de dimension infinie"
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
\vskip0mm
Pour $1\le i\le n$ et $1\le j\le m$, on note $D_{i,j}$ la matrice dont le coefficient située à la ième ligne et jième colonne est $1$ et les autres coefficients sont nuls. Alors, $\{D_{i,j}\; ; \; 1\le i\le n, 1\le j\le m\}$ est une base de $M_{n,m} (\Rr)$. Par conséquent, $\dim M_{n,m} (\Rr) = mn $.
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Calcul_matriciel
|
343
|
On considère les matrices :
$$A=
\left(\begin{array}{rcc}
1&1&2\\
-1&0&2\\
1&-1&1\\
\end{array}\right) \quad \mbox{et} \quad
B=
\left(\begin{array}{rcc}
1&1&-1\\
1&1&3\\
-1&1&0\end{array}\right). $$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$2A+3B=",
"$A-B=",
"$AB=",
"$BA="
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
$A-B= \left(\begin{array}{rcc}
0&0&3\\
-2&-1&-1\\
2&-2&1\end{array}\right) \quad $ et
$ \quad AB= \left(\begin{array}{rcc}
0&4&2\\ -3&1&1\\
-1&1&-4\end{array}\right).$
|
Calcul_matriciel
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344
|
On considère les matrices :
$$A= \left(\begin{array}{rcc}1&2&4\\\end{array}\right) \; , \;
B= \left(\begin{array}{r}0\\1\\-1\\
\end{array}\right) \; , \; C=\left(\begin{array}{rcc}
1&-1&1\\0&0&1\\
\end{array}\right) \quad \mbox{et} \quad D= \left(\begin{array}{rcc}1&-1&0\\2&1&1\\0&2&1\\
\end{array}\right).$$
On notera $^tM$ la transposée d'une matrice $M$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$A+\\, ^tB = \\left(\\begin{array}{rcc}",
"$B\\, ^tB=\\left(\\begin{array}{rccc}",
"$A\\, ^tC= \\left(\\begin{array}{rcc}",
"$C\\, ^tD="
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
\left(\begin{array}{rc}3&4\end{array}\right).$
|
Calcul_matriciel
|
345
|
Soit $A,B$ et $C$ des matrices d'ordre $n\ge 1$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$AB=0 \\Rightarrow A=0 \\, \\mbox{ou} \\, B=0$",
"$A(BC) =(AC)B$",
"$A(B+C)=AC+AB$",
"$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
\left(\begin{array}{rc}0&0\\
1&0\end{array}\right)$ on a : $A^2=0$. Le produit de deux matrices est associatif et distributif par rapport à l'addition. Comme le produit n'est pas commutatif, en général, $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2 \neq A^2+2AB+B^2$.
|
Calcul_matriciel
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346
|
Soit $A=\left(\begin{array}{rc}
1&1\\1&1\end{array}\right) $ et $I= \left(\begin{array}{rc}
1&0\\0&1\end{array}\right) $, la matrice identité.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$A^2=2A$",
"$A^n=2^nA$, pour tout entier $n \\ge 1$",
"$(A-I)^{2n}= I$, pour tout entier $n \\ge 1$",
"$(A-I)^{2n+1}= A+I$, pour tout entier $n \\ge 1$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
$A^n=2^{n-1}A\, , \, (A-I)^{2n}= I$ et $(A-I)^{2n+1}= A-I$.
|
Calcul_matriciel
|
347
|
On considère les matrices :
$$A= \left(\begin{array}{rcc}
1&0&1\\\end{array}\right),\quad B=
\left(\begin{array}{rcc}2&-4\\
1&-2\\ 0&0\\
\end{array}\right),\quad C=
\left(\begin{array}{rcc}1&0&0\\1&1&1\\ 0&1&2\\
\end{array}\right)\quad \mbox{et}\quad D=
\left(\begin{array}{rcc}1&0&1\\1&1&0\\ 0&1&-1\\
\end{array}\right). $$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Le rang de $A$ est $3$",
"Le rang de $B$ est $1$",
"Le rang de $C$ est $3$",
"Le rang de $D$ est $3$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Calcul_matriciel
|
|
348
|
Soit $E= \Big\{M=\left(\begin{array}{rc}
a&b\\0&a\\ \end{array}\right) \mid a,b \in \Rr \Big\}$.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$E$ n'est pas un espace vectoriel",
"$E$ est un esapce vectoriel de dimension $1$",
"$E$ est un esapce vectoriel de dimension $ 4$",
"$E$ est un esapce vectoriel de dimension $ 2$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
1&0\\0&1\\ \end{array}\right), \; \left(\begin{array}{rc}
0&1\\0&0\\ \end{array}\right)\right \}$ est une base de $E$. Donc $\dim E = 2$.
|
Calcul_matriciel
|
349
|
Soit $E=\Big\{M =\left(\begin{array}{rc}a-b&a-c\\b-c&b-a\end{array}\right)\mid a,b,c\in \Rr\Big\}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$E$ n'est pas un espace vectoriel",
"$E$ est un espace vectoriel de dimension $3$",
"$E$ est un espace vectoriel de dimension $2$",
"$E$ est un espace vectoriel de dimension $4$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
$$E=\Big\{M =\left(\begin{array}{rc}
\alpha&\beta\\ \beta - \alpha&-\alpha\\
\end{array}\right)\mid \alpha, \beta \in \Rr \Big\}$$
et que $\left \{\left(\begin{array}{rc} 1&0\\
-1&-1\\ \end{array}\right), \; \left(\begin{array}{rc}
0&1\\ 1&0\\ \end{array}\right) \right \}$ est une base de $E$. Donc $\dim E = 2$.
|
Calcul_matriciel
|
350
|
Soit $ M_2(\Rr)$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $2$ à coefficients réels et
$f$ l'application définie par :
$$\begin{array}{rccc}f:&M_2(\Rr)&\to& M_2(\Rr)\\
& M = \left(\begin{array}{rc}a&b\\ c&d\\
\end{array}\right) &\to &^tM = \left(\begin{array}{rc}
a&c\\b&d\\ \end{array}\right), \end{array}$$
où $^tM$ est la transposée de $M$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$f$ est une application linéaire",
"$\\dim \\ker f = 1$",
"$\\dim \\ker f = 0$",
"$\\dim \\Im f = 3$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
Calcul_matriciel
|
|
351
|
Soit $A$ une matrice de rang $r$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$A$ admet $r$ vecteurs colonnes linéairement indépendants",
"$A$ admet $r$ vecteurs lignes linéairement indépendants",
"Toute famille contenant $r$ vecteurs colonnes de $A$ est libre",
"Toute famille contenant $r$ vecteurs lignes de $A$ est libre"
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
Calcul_matriciel
|
|
352
|
Soit $E=\Big\{M = \left(\begin{array}{rc}a&b\\
0&a\end{array}\right)\mid a,b\in\Rr \Big\}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$E$ est stable par addition",
"$E$ est stable par multiplication de matrices",
"la multiplication de matrices de $E$ n'est pas commutative",
"Soit $M \\in \\Rr_2(\\Rr)$. Si $MM'=M'M, \\; \\forall M' \\in E$, alors $M\\in E$"
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
\vskip0mm
Soit $M \in \Rr_2(\Rr)$. On vérifie que si $MM'=M'M,$ pour toute matrice $M'$ de $ E$, alors $M\in E$.
|
Calcul_matriciel
|
353
|
Soit $ M_2(\Rr)$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $2$ à coefficients réels et $f$ l'application définie par :
$$\begin{array}{rccc}f:&M_2(\Rr)&\to& \Rr\\
& M = \left(\begin{array}{rc} a&b\\
c&d\\ \end{array}\right) &\to &\mbox{tr}(M) = a+d, \end{array}$$
le réel $\mbox{tr}(M)$ est appelée la trace de $M$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$f$ est une application linéaire",
"$\\dim \\ker f = 3$",
"$\\dim \\Im f = 2$",
"$\\Im f = \\Rr$"
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
$$\ker f= \left\{\left(\begin{array}{rc}
a&b\\c&-a\\ \end{array}\right)\; ;\; a,b,c \in \Rr \right\}.$$
Donc la famille $\left\{\left(\begin{array}{rc}
1&0\\ 0&-1\\ \end{array}\right), \; \left(\begin{array}{rc}
0&1\\ 0&0\\ \end{array}\right), \; \left(\begin{array}{rc}
0&0\\ 1&0\\ \end{array}\right) \right\}$ est une base de $\ker f$ et $\dim \ker f=3$. Or, d'après le théorème du rang, $\dim \Im f=1=\dim \Rr$ et comme $\Im f$ est un sous-espace vectoriel de $\Rr$, donc $\Im f=\Rr$.
|
Calcul_matriciel
|
354
|
Soit $ M_2(\Rr)$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $2$ à coefficients réels et
$f$ l'application définie par :
$$\begin{array}{rccc}f:&M_2(\Rr)&\to& M_2(\Rr)\\
& M = \left(\begin{array}{rc}
a&b\\c&d\\ \end{array}\right) &\to &M- \, ^t M =
\left(\begin{array}{rc}0&b-c\\c-b&0\\
\end{array}\right), \end{array}$$
$^tM$ est la transposée de $M$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$f$ est une application linéaire",
"$\\dim \\ker f = 3$",
"$\\dim \\Im f = 2$",
"$\\dim \\Im f = 3$"
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
a&b\\b&d\\ \end{array}\right) \; ; \; a,b,d \in \Rr \right \}$ et
$\Im f = \left\{ \left(\begin{array}{rc}0&\alpha\\-\alpha&0\\
\end{array}\right) \; ; \; \alpha \in \Rr \right \}$. On déduit que $\dim \ker f=3$ et $\dim \Im f = 1$.
|
Calcul_matriciel
|
355
|
Soit $a,b\in \Rr$, $A=\left(\begin{array}{rcc}a&1&b\\0&a&2\\ 0&0&a\\
\end{array}\right)$ et $N= A-aI$, où $I= \left(\begin{array}{rcc}
1&0&0\\0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{array}\right)$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$N^k = 0$, pour tout entier $k\\ge 3$",
"On ne peut pas appliquer la formule du binôme pour le calcul de $A^n$",
"Pour tout entier $n \\ge 2,$ $\\displaystyle A^n =a^nI+na^{n-1}N+\\frac{n(n-1)}{2}a^{n-2}N^2 $",
"Pour tout entier $n \\ge 2,$ $A^n=\\left(\\begin{array}{rcc}"
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
| null |
Calcul_matriciel
|
356
|
Soit $A= \left(\begin{array}{rcc}1&2&3\\0&1&2\\ 0&0&1\\
\end{array}\right)$ et $N= A-I$, où $I= \left(\begin{array}{rcc}
1&0&0\\0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{array}\right).$\\
On considère $3$ suites récurrentes $(u_n)_{n\ge 0}$, $(v_n)_{n\ge 0}$ et $(w_n)_{n\ge 0}$ définies par $u_0,v_0,w_0$ des réels donnés et pour $n\ge 1$ :
$$(\mathtt{S})\left\{\begin{array}{rcc}
u_n&=&u_{n-1}+2v_{n-1}+3w_{n-1}\\
v_n&=&v_{n-1}+2w_{n-1}\\ w_n&=&w_{n-1}. \\
\end{array}\right.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$N^k = 0$, pour tout entier $k\\ge 2$",
"Pour tout entier $n \\ge 2,$ $A^n =I+nN+\\frac{n(n-1)}{2}N^2 $",
"Pour tout entier $n \\ge 0,$",
"Pour tout entier $n \\ge 0,$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
0&2&3\\0&0&2\\ 0&0&0\\
\end{array}\right)$, $N^2=\left(\begin{array}{rcc}
0&0&4\\0&0&0\\
0&0&0\\ \end{array}\right)$ et $N^k=0, $ pour tout $k\ge 3$.\\
Comme $A= N+I$ et le produit des matrices $N$ et $I$ est commutatif, on peut appliquer la formule du binôme pour le calcul des
puissances de $A$.
\vskip0mm
En calculant $A^n$ et utilisant l'égalité : $\left(\begin{array}{r}
u_n\\v_n\\ w_n\\
\end{array}\right) = A^n \left(\begin{array}{r}
u_0\\v_0\\ w_0\\
\end{array}\right)$, on déduit que : $$\left\{\begin{array}{rcc}
u_n&=&u_0+2nv_0+n(2n+1)w_0\\
v_n&=&v_0+2nw_0\\
w_n&=&w_0. \\
\end{array}\right.$$
|
Calcul_matriciel
|
357
|
On note $ M_2(\Rr)$ l'espace des matrices carrées d'ordre $2$ à coefficients réels. Soit
$$E= \{M \in M_2(\Rr)\mid ^tM = M\} \quad \mbox{et}\quad F= \{M \in M_2(\Rr) \; ; \; ^tM = -M\},$$
où $^tM$ désigne la transposée de $M$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$E$ est un espace vectoriel de dimension $3$",
"$E$ est un espace vectoriel de dimension $2$",
"$F$ est un espace vectoriel de dimension $1$",
"$E$ et $F$ sont supplémentaires dans $ M_2(\\Rr)$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
|
a&b\\ c&d\\ \end{array}\right)$ telle que $^tM = M$, alors $b=c$. Donc la famille
$$\left\{\left(\begin{array}{rc}
1&0\\0&0\\
\end{array}\right),\left(\begin{array}{rc}
0&1\\1&0\\
\end{array}\right),\left(\begin{array}{rc}
0&0\\0&1\\ \end{array}\right)\right\}$$
forme une base de $E$. D'où $\dim E = 3$.
\vskip0mm
Soit $M=\left(\begin{array}{rc}a&b\\c&d\end{array}\right)$ telle que $ ^tM = -M$, alors $a=d=0$ et $c=-b$. Donc $\left\{\left(\begin{array}{rc}
0&1\\-1&0\\ \end{array}\right)\right\}$ est une base de $F$ et donc $\dim F=1$.
\vskip0mm
On vérifie que $E\cap F=\{0_E\}$ et en utilisant le théorème de la dimension d'une somme, on déduit que $E$ et $F$ sont supplémentaires dans $ M_2(\Rr)$.
|
Calcul_matriciel
|
358
|
Dans $M_2(\Rr)$ l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre $2$ à coefficients réels, on considère la famille ${\cal {B'}}= \{ B_1,B_2,B_3,B_4\}$, où
$$ B_1 = \left(\begin{array}{rc}1&1\\
0&0\\ \end{array}\right) \; , \; B_2 = \left(\begin{array}{rc}
0&1\\0&1\\
\end{array}\right) \; , \; B_3 = \left(\begin{array}{rc}
0&0\\1&1\\
\end{array}\right) \; ,\; B_4 = \left(\begin{array}{rc}
1&0\\1&0\\
\end{array}\right).$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"${\\cal {B'}}$ est une famille libre de $M_2(\\Rr)$",
"${\\cal {B'}}$ est une base de $M_2(\\Rr)$",
"$\\mbox{Vect} {\\cal {B'}}=M_2(\\Rr)$",
"$\\dim \\mbox{Vect} {\\cal {B'}}=3$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
$\dim \mbox{Vect} {\cal {B'}}=3$.
|
Calcul_matriciel
|
359
|
On considère $M_2(\Rr)$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $2$ à coefficients réels, \\
$ A= \left(\begin{array}{rcc}0&1\\1&0 \end{array}\right)$ et
$f$ l' application linéaire définie par :
$$\begin{array}{rccc}f:&M_2(\Rr)&\to&M_2(\Rr)\\
& M&\to &AM-MA. \end{array}$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\dim \\ker f =2$",
"$f$ est injective",
"$\\mbox{rg} (f) =2$",
"$f$ est surjective"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
a&b\\c&d\\ \end{array}\right) $, $f(M)=\left(\begin{array}{rc}
c-b&d-a\\a-d&b-c\\ \end{array}\right)$. Par conséquent,
$\ker f = \left\{ \left(\begin{array}{rc}
a&b\\b&a\\ \end{array}\right) \; ; \; a,b \in \Rr \right \}$ et
$\Im f = \left\{ \left(\begin{array}{rc}
\alpha&\beta\\-\beta&-\alpha\\
\end{array}\right) \; ; \; \alpha, \beta \in \Rr \right \}$. On déduit que $\dim \ker f = 2$, $\mbox{rg} (f)=\dim \Im f = 2$ et que $f$ n'est ni injective, ni surjective.
|
Calcul_matriciel
|
360
|
Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$ à coefficients réels et $I$ la matrice identité. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$A$ est inversible si et seulement s'il existe une matrice $B$ telle que $AB=I$",
"$A$ est inversible si et seulement s'il existe une matrice $B$ telle que $BA=I$",
"$A$ est inversible si et seulement si les coefficients de $A$ sont inversibles pour la multiplication dans $\\Rr$",
"$A$ est inversible si et seulement si pour toute matrice $Y$ à une colonne et $n$ lignes, il existe une matrice $X$ à une colonne et $n$ lignes telle que $AX=Y$"
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
\begin{enumerate}
\item[(i)] $A$ est inversible.
\item[(ii)] Il existe une matrice $B$ telle que $AB=BA=I$.
\item[(iii)] Il existe une matrice $B$ telle que $AB=I$.
\item[(iv)] Il existe une matrice $B$ telle que $BA=I$.
\item[(v)] Pour toute matrice $Y$ à une colonne et $n$ lignes, il existe une matrice $X$ à une colonne et $n$ lignes telle que $AX=Y.$
\end{enumerate}
|
Calcul_matriciel
|
361
|
On considère les matrices
$$A = \left(\begin{array}{rc}
1&2\\3&5\\ \end{array}\right),\quad B = \left(\begin{array}{rcc}
1&1&1\\2&0&1\\ 1&1&-1\\ \end{array}\right),\quad
C = \frac{1}{4}\left(\begin{array}{rcc}
-1&2&1\\3&-2&1\\ 2&0&2\\ \end{array}\right).$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$A$ est inversible",
"$B$ est inversible",
"$B$ est inversible et $B^{-1} = C$",
"$C$ est inversible"
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
Calcul_matriciel
|
|
362
|
On considère les matrices :
$$A=\left(\begin{array}{r} 5 \end{array}\right),\quad B =
\left(\begin{array}{rc}1&-2\\ 2&-4 \end{array}\right),\quad C =
\left(\begin{array}{rcc} 1&1&1\\ 1&0&-1\\ 1&1&0
\end{array}\right),\quad D =\left(\begin{array}{rcc} -1&1&-2\\ 1&1&0\\ 2&-1&3 \end{array}\right).$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$A$ est inversible",
"$B$ est inversible",
"$C$ est inversible",
"$D$ est inversible"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
$$C^{-1} = \left(\begin{array}{rcc} 1&1&-1\\-1&-1&2\\ 1&0&-1
\end{array}\right).$$
$D$ n'est pas inversible, puisque les trois vecteurs colonnes sont linéairement dépendants.
|
Calcul_matriciel
|
363
|
Soit $ A$ une matrice inversible. On notera $^tA$ la transposée de $A$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$3A$ est inversible",
"$^tA$ est inversible",
"$A^tA$ est inversible",
"$A+^tA$ est inversible"
],
"labels": [
1,
1,
1,
0
]
}
|
\vskip0mm
$^tA$ est inversible et son inverse est $ ^tB$. En effet, $I=\, ^t (AB)=\, ^tB\, ^tA$.
\vskip0mm
$A^tA$ est inversible et son inverse est $^tBB$. En effet, $(^tBB)A^tA=\, ^tB(BA)^tA= \, ^tB^tA=\, ^t (AB)=I$.
\vskip0mm
$A+^tA$ n'est pas nécessairement inversible. Contre exemple :
$A=\left(\begin{array}{rc} 1&1\\ -1&0 \end{array}\right).$
|
Calcul_matriciel
|
364
|
Soit $ M_n(\Rr)$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients réels et $I$ la matrice identité. Soit $A \in M_n(\Rr)$ telle qu'il existe un entier $m\ge 1$ vérifiant $A^m = I$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$A$ est inversible et $A^{-1} = A^{m-1}$",
"Le rang de $A$ est $n$",
"$A$ n'est pas inversible",
"Si $m=2$, $A$ est inversible et $A^{-1} = A$"
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
Calcul_matriciel
|
|
365
|
On considère la matrice : $A = \left(\begin{array}{rcc}
1&-1&-2\\0&1&1\\ -1&1&2\\ \end{array}\right)$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$A$ est inversible",
"$A^2$ est inversible",
"$A^3+A^2$ est inversible",
"$A+\\,^tA$ est inversible, où $^tA$ est la transposée de $A$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
\vskip0mm
Si $A^2$ est inversible, alors il existe une matrice $B$ telle que $A^2B=I$, donc $A(AB)=I$ et donc $A$ est inversible,
ce qui est absurde.
\vskip0mm
Si $A^3+A^2$ est inversible, alors il existe une matrice $B$ telle que $(A^3+A^2)B=I$. On en déduit que $A[(A^2+A)B]=I$ et donc $A$ est inversible, ce qui est absurde.
\vskip0mm
$A+\, ^tA$ est inversible, puisque les vecteurs colonnes de cette matrice sont linéairement indépendants.
|
Calcul_matriciel
|
366
|
Soit $ A=(a_{i,j})$ une matrice carrée. On rappelle les définitions suivantes :
\begin{enumerate}
\item[.] $A$ est dite diagonale si tous les coefficients $a_{i,j}$, avec $i\neq j$ sont nuls.
\item[.] $A$ est dite symétrique si pour tous $i,j$, $a_{i,j}=a_{j,i}$.
\item[.] $A$ est dite triangulaire inférieurement (resp. supérieurement) si pour tous $i<j$, $a_{i,j}=0$ (resp. pour tous $i>j$, $a_{i,j}=0$).
\end{enumerate}
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $A$ est diagonale, $A$ est inversible si et seulement s'il existe un coefficient $a_{i,i}$ non nul",
"Si $A$ est diagonale, $A$ est inversible si et seulement si tous les coefficients $a_{i,i}$ sont non nuls",
"$A$ est symétrique si $\\, ^tA=A$, où $^tA$ est la transposée de $A$",
"Si $A$ est triangulaire inférieurement, $A$ est inversible"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
si $A$ est diagonale, $A$ est inversible si et seulement si tous les coefficients $a_{i,i}$ sont non nuls et que si $A$ est triangulaire (inférieurement ou supérieurement), $A$ est inversible si et seulement si tous les coefficients $a_{i,i}$ sont non nuls. Par définition, $A$ est symétrique si $\, ^tA=A$.
|
Calcul_matriciel
|
367
|
Soit $A$ et $B$ deux matrices carrées d'ordre $n\ge 1$. On notera $^tA$ la transposée de $A$ et $\mbox{rg}\, (A)$ le rang de $A$.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\mbox{rg}(A)=\\mbox{rg}( \\, ^tA)$",
"Si $A$ est inversible, $\\mbox{rg}(A)=\\mbox{rg}(A^{-1})$",
"$\\mbox{rg}(A+B)=\\max \\big(\\mbox{rg}(A), \\mbox{rg}(B)\\big)$",
"$\\mbox{rg}(AB)= \\mbox{rg}(BA)$"
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
\vskip0mm
En général, $\mbox{rg}(A+B)\neq \max \big(\mbox{rg}(A), \mbox{rg}(B)\big)$ et $\mbox{rg}(AB)\neq \mbox{rg}(BA)$. Contre-exemple : avec
$$A = \left(\begin{array}{rc}
1&-1\\-1&1\\ \end{array}\right),\quad B = \left(\begin{array}{rc}
-1&1\\ 1&-1\\ \end{array}\right),\quad C =
\left(\begin{array}{rc} 1&2\\1&2\\ \end{array}\right),$$
on vérifie que : $A+B =0$, $AC =0$ et $CA=
\left(\begin{array}{rc}-1&1\\
-1&1\\ \end{array}\right)$. Donc $\mbox{rg}(A)=\mbox{rg}(B)=1$ mais $\mbox{rg}(A+B)=0$ et $\mbox{rg}(AC)= 0$ est différent de $\mbox{rg}(CA)=1$.
|
Calcul_matriciel
|
368
|
On considère $ M_n(\Rr)$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients réels et $A$ et $B$ deux matrices non nulles telles que $AB=0$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$A=0$ ou $B=0$",
"$A$ est inversible",
"$B$ est inversible",
"$A$ n'est pas inversible"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
Calcul_matriciel
|
|
369
|
On considère $ M_n(\Rr)$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients réels et $A$, $B$ et $C$ trois matrices non nulles deux à deux distinctes telles que $AB=AC$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$B=C$",
"$A=0$",
"$A$ n'est pas inversible",
"Le rang de $A$ est $n$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
deux matrices soient nulles).
\vskip0mm
Si $A$ est inversible, alors il existe une matrice $D$ telle que $DA=I$, où $I$ est la matrice identité. Donc $(DA)(B-C) =B-C$. Or $(DA)(B-C)=D(A(B-C))$ et $A(B-C)=0$, donc $B-C=0$, ce qui est absurde. On déduit que $A$ n'est pas inversible et donc le rang de $A$ est $<n$.
|
Calcul_matriciel
|
370
|
On considère la matrice $A = \left(\begin{array}{rc}
\cos x&-\sin x\\\sin x&\cos x\\ \end{array}\right) \, , \; x \in \Rr$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Le rang de $A$ est $1$",
"$A$ est inversible et $A^{-1} = \\left(\\begin{array}{rc}",
"Pour tout $n \\in \\Nn$, $(A+A^{-1})^n = (2^n\\cos^n x) I$, où $I$ est la matrice identité",
"Pour tout $n \\in \\Zz, $ $A^n = \\left(\\begin{array}{rc}"
],
"labels": [
0,
1,
1,
1
]
}
|
\end{array}\right)$. le rang de $A$ est donc $2$.
\vskip0mm
De l'égalité $A+A^{-1}=(2\cos x) I$, on déduit que $(A+A^{-1})^n = (2^n\cos^n x) I$, pour tout entier $n$.
\vskip0mm
Par récurrence sur $n\in \Nn$, on démontre que
$$A^n = \left(\begin{array}{rc}\cos (nx)&-\sin (nx)\\
\sin (nx)&\cos (nx) \end{array}\right)\quad \mbox{et}\quad (A^{-1})^n = \left(\begin{array}{rc}\cos (nx)&\sin (nx)\\ -\sin (nx)&\cos (nx)\end{array}\right).$$
On déduit que, pour tout $n \in \Zz$, $A^n=\left(\begin{array}{rc}\cos (nx)&-\sin (nx)\\\sin (nx)&\cos (nx)\end{array}\right)$.
|
Calcul_matriciel
|
371
|
Soit $ M_n(\Rr)$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients réels et $I$ la matrice identité.
Soit $A \in M_n(\Rr)$ telle qu'il existe un entier $m \ge 1$ vérifiant : $A^m+A^{m-1}+ \dots + A + I = 0$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$A$ est inversible et $A^{-1} = A^m$",
"$A$ est inversible et $A^{-1} = -(A^{m-1}+ \\dots + A+I)$",
"Le rang de $A$ est $n$",
"$A$ n'est pas inversible"
],
"labels": [
1,
1,
1,
0
]
}
|
Calcul_matriciel
|
|
372
|
Soit $A$ une matrice nilpotente, c.à.d il existe un entier $n\ge 1$ tel que $A^n=0$. On notera $I$ la matrice identité. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$A$ est inversible",
"$A$ est inversible et $A^{-1} = A^{n-1}$",
"Il existe $a\\in \\Rr$, tel que $A-aI$ n'est pas inversible",
"Pour tout $a\\in \\Rr^*$, $A-aI$ est inversible"
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
Soit $m$ le plus petit entier $\ge 1$ tel que $A^m=0$. Alors, $0=A^mC=A^{m-1}(AC)=A^{m-1}$, ce qui est absurde.
Par conséquent, $A$ n'est pas inversible.\\
Comme $A$ n'est pas inversible, pour $a=0$, $A-aI$ n'est pas inversible.\\
Soit $a\in \Rr^*$, de l'égalité : $(A-aI)(a^{n-1}I+a^{n-2}A+\dots + aA^{n-2}+A^{n-1})=A^n-a^nI=-a^nI$, on déduit que
$A-aId$ est inversible et que
$\displaystyle (A-aId)^{-1}=-\frac{1}{a^n}\left(a^{n-1}I+a^{n-2}A+\dots + aA^{n-2}+A^{n-1}\right)$.
|
Calcul_matriciel
|
373
|
On considère les équations différentielles :
$$(E_1)\; :\; y'-2y=0\quad \mbox{ et }\quad (E_2)\; :\; y'+2xy=0.$$
Parmi les affirmations suivantes cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"La solution générale de $(E_1)$ sur $\\Rr$ est : $\\displaystyle y=k\\mathrm{e}^{-2x}$, $k\\in \\Rr$.",
"La solution générale de $(E_1)$ sur $\\Rr$ est : $\\displaystyle y=k\\mathrm{e}^{2x}$, $k\\in \\Rr$.",
"La solution générale de $(E_2)$ sur $\\Rr$ est : $\\displaystyle y=k\\mathrm{e}^{-x^2}$, $k\\in \\Rr$.",
"La solution générale de $(E_2)$ sur $\\Rr$ est : $\\displaystyle y=k\\mathrm{e}^{x^2}$, $k\\in \\Rr$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Une primitive de $-2$ est $-2x$, donc la solution générale de $(E_1)$ sur $\Rr$ est :
$$y=k\mathrm{e}^{2x},\quad k\in \Rr.$$
Une primitive de $2x$ est $x^2$, donc la solution générale de $(E_2)$ sur $\Rr$ est :
$$y=k\mathrm{e}^{-x^2},\quad k\in \Rr.$$
|
Equations_différentielles
|
374
|
On considère les équations différentielles :
$$(E_1)\; :\; (1+x^2)y'-y=0\quad\mbox{et}\quad (E_2)\; :\; y'-\frac{y}{1+x^2}=0.$$
Parmi les affirmations suivantes cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $y$ est une solution de $(E_1)$, alors $\\displaystyle z=\\frac{y}{1+x^2}$ est une solution de $(E_2)$.",
"$(E_1)$ est $(E_2)$ ont les mêmes solutions.",
"La solution générale de $(E_1)$ sur $\\Rr$ est : $\\displaystyle y=k\\mathrm{e}^{arctan (x)}$, $k\\in \\Rr$.",
"La solution générale de $(E_2)$ sur $\\Rr$ est : $\\displaystyle y=k\\arctan (x)$, $k\\in \\Rr$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
En divisant $(E_1)$ par $1+x^2$, on obtient $(E_2)$ : $(E_1)$ et $(E_2)$ ont les mêmes solutions. Une primitive de $\displaystyle \frac{-1}{1+x^2}$ est $-\arctan x$, donc la solution générale de $(E_1)$ sur $\Rr$ est : $y=k\mathrm{e}^{arctan (x)}$, $k\in \Rr$.
|
Equations_différentielles
|
375
|
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y'-y=\mathrm{e}^t$. Parmi les affirmations suivantes cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"La fonction $\\displaystyle y_0=t\\mathrm{e}^{t}$ est une solution de $(E)$.",
"La fonction $\\displaystyle y_1=\\mathrm{e}^{-t}$ est une solution de $(E)$.",
"La fonction $\\displaystyle y=(1-t)\\mathrm{e}^{t}$ est l'unique solution de $(E)$ telle que $y(1)=0$.",
"La fonction $\\displaystyle y=(1+t)\\mathrm{e}^{t}$ est l'unique solution de $(E)$ telle que $y(0)=1$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
On vérifie que $y_0=t\mathrm{e}^{t}$ est une solution de $(E)$. On vérifie aussi que $\displaystyle y=(1+t)\mathrm{e}^{t}$ est une solution de $(E)$ et en plus $y(0)=1$. Cette dernière est donc l'unique solution de $(E)$ telle que $y(0)=1$.
|
Equations_différentielles
|
376
|
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $\displaystyle y'-2xy=4x$. Parmi les affirmations suivantes cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"La solution générale de l'équation homogène sur $\\Rr$ est : $y=k\\mathrm{e}^{-x^2}$, $k\\in \\Rr$.",
"La fonction $y=-2$ est une solution particulière de $(E)$.",
"La solution générale de $(E)$ sur $\\Rr$ est : $y=k\\mathrm{e}^{x^2}-2$, $k\\in \\Rr$.",
"$E$ admet une unique solution sur $\\Rr$ vérifiant $y'(0)=0$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
La solution générale de l'équation homogène est : $Y=k\mathrm{e}^{x^2}$, $k\in \Rr$, et $y_0=-2$ est une solution particulière. Donc la solution générale de $(E)$ sur $\Rr$ est : $y=k\mathrm{e}^{x^2}-2$, $k\in \Rr$. Toute solution de $(E)$ vérifie $y'(0)=0$.
|
Equations_différentielles
|
377
|
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $\displaystyle y'+y=\mathrm{e}^{x}$. Parmi les affirmations suivantes cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"La solution générale de l'équation homogène est $y=k\\mathrm{e}^{x}$, $k\\in \\Rr$.",
"La fonction $\\displaystyle y_0=\\mathrm{e}^{x}$ est une solution particulière de $(E)$.",
"La solution de $(E)$ vérifiant $y(0)=0$ est $\\displaystyle y=\\frac{\\mathrm{e}^{x}-\\mathrm{e}^{-x}}{2}$.",
"La solution de $(E)$ vérifiant $y'(0)=0$ est $\\displaystyle y=\\frac{\\mathrm{e}^{x}+\\mathrm{e}^{-x}}{2}$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
La solution générale de l'équation homogène est $y=k\mathrm{e}^{x}$, $k\in \Rr$. On cherche une solution particulière sous la forme $\displaystyle y_0=a\mathrm{e}^{x}$. La solution générale de $(E)$ est $\displaystyle y=k\mathrm{e}^{-x}+\frac{\mathrm{e}^{x}}{2}$, $k\in \Rr$. La condition $y(0)=0$ donne $k=-1/2$, et la condition $y'(0)=0$ donne $k=1/2$.
|
Equations_différentielles
|
378
|
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $\displaystyle x^2y'-(2x-1)y=x^2$ sur $\Rr$. Parmi les affirmations suivantes cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"La fonction $\\displaystyle y=x^2$ est une solution de $(E)$ sur $\\Rr$.",
"La fonction $\\displaystyle y=x^2\\left(1-\\mathrm{e}^{1/x}\\right)$ est une solution de l'équation homogène.",
"La fonction $\\displaystyle y=2x^2\\mathrm{e}^{1/x}$ est une solution de $(E)$ sur $]0,+\\infty[$.",
"La fonction $\\displaystyle y=x^2\\left(1-\\mathrm{e}^{1/x}\\right)$ est une solution de $(E)$ sur $]0,+\\infty[$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
La fonction $y_0=x^2$ est continue, dérivable sur $\Rr$ et elle vérifie $(E)$ ; c'est une solution de $(E)$ sur $\Rr$. De même, la fonction $\displaystyle y=x^2\left(1-\mathrm{e}^{1/x}\right)$ est continue, dérivable sur $]0,+\infty[$; c'est une solution de $(E)$ sur $]0,+\infty[$.
|
Equations_différentielles
|
379
|
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $\displaystyle \left(1+\cos ^2x\right)y'+y\sin (2x)=0$. Parmi les affirmations suivantes cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle A(x)=\\ln (1+\\cos ^2x)$ est une primitive sur $\\Rr$ de $\\displaystyle a(x)=\\frac{\\sin (2x)}{1+\\cos ^2x}$.",
"Toute solution de $(E)$ vérifie $y'(0)=0$.",
"$(E)$ n'admet pas de solution vérifiant $y(0)=0$.",
"La solution générale de $(E)$ est : $\\displaystyle y=k+k\\cos ^2x$, $k\\in \\Rr$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Toute solution $y$ de $(E)$ vérifie $y'(0)=0$ car ,en posant $x=0$ dans $(E)$, on obtient $y'(0)=0$. La relation $\sin(2x)=2\sin x \cos x$ montre que $a(x)$ est de la forme $\displaystyle \frac{-u'}{u}$ avec $u=1+\cos ^2x$. Donc toute primitive de $a$ est de la forme
$$A(x)=-\ln (1+\cos ^2x)+C,\quad C\in \Rr.$$
La solution générale de $(E)$ est $y=k(1+\cos ^2x)$, $k\in \Rr$.
|
Equations_différentielles
|
380
|
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $\displaystyle (1+x^2)y'-y=1$. Parmi les affirmations suivantes cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"La solution générale de l'équation homogène est : $\\displaystyle y=k\\mathrm{e}^{-\\arctan x}$, $k\\in \\Rr$.",
"La solution générale de $(E)$ est : $\\displaystyle y=-1+k\\mathrm{e}^{\\arctan x}$, $k\\in \\Rr$.",
"L'unique solution de $(E)$ vérifiant $y(0)=0$ et $\\displaystyle y=-1+\\mathrm{e}^{\\arctan x}$.",
"$(E)$ n'admet pas de solution vérifiant $y'(0)=0$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Les solutions sur $\Rr$ de l'équation homogène sont les fonctions $\displaystyle Y=k\mathrm{e}^{\arctan x}$, $k\in \Rr$, et $y_0=-1$ est une solution particulière. Les solutions de $(E)$ sont donc les fonctions
$$y=-1+k\mathrm{e}^{\arctan x},\quad k\in \Rr.$$
La condition $y(0)=0$ donne $k=1$. Par ailleurs, $y=-1$ est une solution de $(E)$ vérifiant $y'(0)=0$.
|
Equations_différentielles
|
381
|
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $\displaystyle \sqrt{1-x^2}y'-y=1$ sur $]-1,1[$. Parmi les affirmations suivantes cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"La solution générale de l'équation homogène est : $y=k\\mathrm{e}^{\\arcsin x}$, $k\\in \\Rr$.",
"La solution générale de $(E)$ est : $y=1+k\\mathrm{e}^{\\arcsin x}$, $k\\in \\Rr$.",
"La solution de $(E)$ vérifiant $y(0)=0$ est $y=1-\\mathrm{e}^{\\arcsin x}$.",
"$(E)$ admet une unique solution vérifiant $y'(0)=0$ et c'est $y=-1$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
La solution générale de l'équation homogène sur $]-1,1[$ est : $Y=k\mathrm{e}^{\arcsin x}$, $k\in \Rr$. La fonction $y_0=-1$ est une solution particulière. Donc la solution générale de $(E)$ est :
$$y=-1+k\mathrm{e}^{\arcsin x},\quad k\in \Rr.$$
La condition $y(0)=0$ donne $k=1$, d'où $y=-1+\mathrm{e}^{\arcsin x}$. Et la condition $y'(0)=0$ donne $k=0$, d'où $y=-1$.
|
Equations_différentielles
|
382
|
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $\displaystyle \sqrt{1+x^2}y'-xy=x$. Parmi les affirmations suivantes cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"La solution générale de l'équation homogène est : $\\displaystyle y=k\\mathrm{e}^{1+x^2}$, $k\\in \\Rr$.",
"La solution générale de $(E)$ est : $\\displaystyle y=-1+k\\mathrm{e}^{\\sqrt{1+x^2}}$, $k\\in \\Rr$.",
"Toute solution $y$ de $(E)$ vérifie $y'(0)=0$.",
"$(E)$ admet une unique solution vérifiant $y'(0)=0$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
La solution générale de l'équation homogène est $\displaystyle Y=k\mathrm{e}^{\sqrt{1+x^2}}$, $k\in \Rr$, et $y_0=-1$ est une solution particulière. En posant $x=0$ dans $(E)$, on obtient $y'(0)=0$, donc toute solution de $(E)$ vérifie $y'(0)=0$.
|
Equations_différentielles
|
383
|
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $\displaystyle (1+x^2)y'+2xy=2x$. Parmi les affirmations suivantes cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"La solution générale de l'équation homogène est : $\\displaystyle y=\\frac{k}{1+x^2}$, $k\\in \\Rr$.",
"La solution de $(E)$ vérifiant $y(0)=0$ est $\\displaystyle y=\\frac{x^2}{1+x^2}$.",
"$(E)$ n'admet pas de solution vérifiant $y'(0)=0$.",
"$(E)$ admet une unique solution vérifiant $y'(0)=0$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
La solution générale de l'équation homogène est : $\displaystyle Y=\frac{k}{1+x^2}$, $k\in \Rr$, et $y_0=1$ est une solution particulière. La solution générale de $(E)$ est :
$$y=1+\frac{k}{1+x^2},\quad k\in \Rr.$$
La condition $y(0)=0$ donne $k=-1$. Par ailleurs, en posant $x=0$ dans $(E)$, on obtient $y'(0)=0$. Donc toute solution de $(E)$ vérifient la condition $y'(0)=0$.
|
Equations_différentielles
|
384
|
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $\displaystyle y'-\frac{xy}{1+x^2}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$. Parmi les affirmations suivantes cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"La solution générale de l'équation homogène est : $y=k\\sqrt{1+x^2}$, $k\\in \\Rr$.",
"La fonction $y=\\arctan x.\\sqrt{1+x^2}$ est une solution de $E$.",
"$(E)$ possède une seule solution sur $\\Rr$.",
"La solution de $(E)$ vérifiant $y(0)=0$ est $y=x\\sqrt{1+x^2}$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
La solution générale de $(E)$ est $y=(k+\arctan x)\sqrt{1+x^2}$, $k\in \Rr$. Celle vérifiant $y(0)=0$ est $y=\arctan x.\sqrt{1+x^2}$.
|
Equations_différentielles
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385
|
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $\displaystyle x^2y'-y=1$ sur $\Rr$. Parmi les affirmations suivantes cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"La fonction $\\displaystyle y=-1+\\mathrm{e}^{-1/x}$ est une solution de $(E)$ sur $]0,+\\infty[$.",
"La fonction $\\displaystyle y=1-\\mathrm{e}^{-1/x}$ est une solution de $(E)$ sur $]-\\infty,0[$.",
"La fonction $\\displaystyle y=2\\mathrm{e}^{-1/x}$ est une solution de $(E)$ sur $\\Rr$.",
"La solution de $(E)$ sur $]0,+\\infty[$ vérifiant $y(1)=-1$ est constante."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
La fonction $y=-1+\mathrm{e}^{-1/x}$ est une solution de $(E)$ sur $]0,+\infty[$. Par contre $\displaystyle y=1-\mathrm{e}^{-1/x}$ n'est pas une solution de $(E)$ sur $]-\infty,0[$. Toute solution de $(E)$ sur $\Rr$ vérifie $y(0)=-1$, donc $\displaystyle y(x)=2\mathrm{e}^{-1/x}$ ne peut être une solution de $(E)$ sur $\Rr$. La solution générale de $(E)$ sur $]0,+\infty[$ est $y=-1+k\mathrm{e}^{-1/x}$, $k\in \Rr$. Donc, si $y(1)=-1$, alors $k=0$.
|
Equations_différentielles
|
386
|
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $t^2y'=y$. Parmi les
affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$(E)$ est une équation linéaire homogène du premier ordre.",
"La fonction $\\displaystyle y=\\mathrm{e}^{1/t}$ est une solution de $(E)$ sur $]0,+\\infty[$.",
"La solution générale de $(E)$ sur $]0,+\\infty[$ est $\\displaystyle y=k\\mathrm{e}^{-1/t}$, $k\\in \\Rr$.",
"La fonction nulle est l'unique solution de $(E)$ sur $\\Rr$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
Une primitive de $-1/t^2$ est $1/t$, donc la solution générale de $(E)$, sur $]0,+\infty[$ (ou sur $]-\infty ,0[$) est
$$y=k\mathrm{e}^{-1/t},\quad k\in \Rr.$$
Si $y$ est une solution de $(E)$ sur $\Rr$, alors $y(0)=0$ et
$$y(t)=\left\{\begin{array}{ll}k_1\mathrm{e}^{-1/t}&\mbox{si }t>0\\ k_2\mathrm{e}^{-1/t}&\mbox{si }t<0.\end{array}\right.$$
La continuité en $0$ implique que $k_2=0$. Ainsi
$$y(t)=k_1\mathrm{e}^{-1/t}\mbox{ si }t>0\mbox{ et }y(t)=0\mbox{ si }t\leq 0.\leqno{(\star)}$$
De plus, une telle fonction est dérivable en $0$. Réciproquement, toute fonction définie par $(\star)$ est une solution de $(E)$ sur $\Rr$.
|
Equations_différentielles
|
387
|
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $\displaystyle y'\ln x+\frac{y}{x}=2x$ sur $]1,+\infty[$. Parmi les affirmations suivantes cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"La solution générale de l'équation homogène est : $\\displaystyle y(x)=k\\ln x$, $k\\in \\Rr$.",
"Si $\\displaystyle y(x)=\\frac{k(x)}{\\ln x}$ est une solution de $(E)$ sur $]1,+\\infty[$, alors $k'(x)=2x$.",
"La solution générale de $(E)$ sur $]1,+\\infty[$ est $\\displaystyle y(x)=\\frac{k+x^2}{\\ln x}$, $k\\in \\Rr$.",
"$(E)$ possède une infinité de solutions sur $[1,+\\infty[$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Une primitive de $\displaystyle \frac{1}{x\ln x}$ est $\ln |\ln x|$, donc la solution générale de l'équation homogène est $\displaystyle y(x)=\frac{k}{\ln x}$. Si $\displaystyle y(x)=\frac{k(x)}{\ln x}$ est une solution de $(E)$ sur $]1,+\infty[$, alors $k'(x)=2x$ et donc $k=x^2+C$. Ainsi la solution générale de $(E)$ sur $]1,+\infty[$ est : $\displaystyle y(x)=\frac{k+x^2}{\ln x}$, $k\in \Rr$. On pose $x=1$ dans $(E)$, on aura $y(1)=2$. Or $\displaystyle \lim _{x\to 1^+}\frac{k+x^2}{\ln x}=2$ si, et seulement si, $k=-1$. Donc $(E)$ ne peut admettre une infinité de solutions sur $[1,+\infty[$.
|
Equations_différentielles
|
388
|
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y'-y\tan x=1$ sur $]-\pi/2,\pi /2[$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"La solution générale de l'équation homogène est $\\displaystyle y=\\frac{k}{\\cos (x)}$, $k\\in \\Rr$.",
"Si $\\displaystyle y=\\frac{k(x)}{\\cos (x)}$ est une solution de $(E)$, alors $k'(x)=\\cos (x)$.",
"La solution générale de $(E)$ est $\\displaystyle y=\\frac{k}{\\cos (x)}+\\sin x$, $k\\in \\Rr$.",
"$(E)$ possède une solution qui se prolonge par continuité en $-\\pi/2$ et en $\\pi /2$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
Une primitive de $-\tan (x)$ est $\ln |\cos x|$, donc la solution générale de l'équation homogène est : $\displaystyle y(x)=\frac{k}{\cos (x)}$. La variation de la constante montre que $\displaystyle y_0=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ est une solution particulière. Enfin, une solution $\displaystyle y=\frac{k+\sin (x)}{\cos (x)}$ de $(E)$ se prolonge par continuité en $-\pi/2$ si et seulement si $k=1$ et se prolonge par continuité en $\pi/2$ si et seulement si $k=-1$. Aucune solution de $(E)$ ne se prolonge par continuité en $-\pi/2$ et en $\pi /2$.
|
Equations_différentielles
|
389
|
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $xy'-2y=x$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"La solution générale de $(E)$ sur $]0,+\\infty[$ est : $y=kx^2-x$, $k\\in \\Rr$.",
"La solution générale de $(E)$ sur $]-\\infty,0[$ est : $y=kx^2-x$, $k\\in \\Rr$.",
"Les solutions de $(E)$ sur $\\Rr$ sont les fonctions $y(x)=kx^2-x$, où $k\\in \\Rr$.",
"$(E)$ possède une seule solution sur $\\Rr$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
La solution générale de l'équation homogène est : $y=kx^2$, $k\in \Rr$, et $y_0=-x$ est une solution particulière. Si $y$ est une solution de $(E)$ sur $\Rr$, alors $y$ est une solution de $(E)$ sur $]0,+\infty[$ et $y$ est une solution de $(E)$ sur $]-\infty,0[$. De plus $y$ est continue en $0$. D'où
$$y(x)=\left\{\begin{array}{lll}k_1x^2-x&\mbox{si}&x\in ]0,+\infty [ \\k_2x^2-x&\mbox{si}&x\in ]-\infty ,0[\\ 0&\mbox{si}&x=0. \end{array}\right.$$
Avec $k_1,k_2\in \Rr$. Une telle fonction est dérivable en $0$. réciproquement, toute fonction de la forme ci-dessus est une solution de $(E)$ sur $\Rr$.
|
Equations_différentielles
|
390
|
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $(x+1)y'+y=2x+1$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"La solution générale de $(E)$ sur $]-1,+\\infty[$ est : $\\displaystyle y=x+\\frac{k}{x+1}$, $k\\in \\Rr$.",
"La solution générale de $(E)$ sur $]-\\infty,-1[$ est :$\\displaystyle y=x+\\frac{k}{x+1}$, où $k\\in \\Rr$.",
"Les solutions de $(E)$ sur $\\Rr$ sont les fonctions $\\displaystyle y=x+\\frac{k}{x+1}$, où $k\\in \\Rr$.",
"$(E)$ possède une infinité de solutions sur $\\Rr$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
Remarquer que $y_0=x$ est une solution particulière. Donc la solution générale de $(E)$ sur $]-1,+\infty[$, ou $]-\infty,-1[$, est : $\displaystyle y=x+\frac{k}{x+1}$, $k\in \Rr$. Si $y$ est une solution de $(E)$ sur $\Rr$, alors $y$ est une solution de $(E)$ sur $]-1,+\infty[$ et $y$ est une solution de $(E)$ sur $]-\infty,-1[$. De plus, avec $x=-1$ dans $(E)$, on aura $y(-1)=-1$. D'où
$$y(x)=\left\{\begin{array}{lll}\displaystyle y(x)=x+\frac{k_1}{x+1}&\mbox{si}&x\in ]-1,+\infty [ \\\\ \displaystyle y(x)=x+\frac{k_2}{x+1}&\mbox{si}&x\in ]-\infty ,-1[\\ -1&\mbox{si}&x=-1. \end{array}\right.$$
La continuité de $y$ en $-1$ implique que $k_1=k_2=0$. L'équation $(E)$ ne possède qu'une seule solution sur $\Rr$.
|
Equations_différentielles
|
391
|
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $(1-x^2)y'-(1+x)y=1$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"La solution générale de $(E)$ sur $]-\\infty ,-1[$, $]-1,1[$ ou $]1,+\\infty[$ est :",
"L'équation $(E)$ admet une solution sur $\\Rr$.",
"L'équation $(E)$ admet une solution sur $]-\\infty ,1[$.",
"L'équation $(E)$ admet une unique solution sur $]-1,+\\infty [$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
La solution générale de l'équation homogène sur l'un de ces intervalles est $\displaystyle y=\frac{k}{1-x}$, $k\in \Rr$. La variation de la constante implique que $\displaystyle y_0=\frac{\ln |1+x|}{1-x}$ est une solution particulière. En posant $x=-1$ dans $(E)$, on obtient $0=1$ ce qui est absurde. Donc $(E)$ n'admet pas de solution ni sur $\Rr$ ni sur $]-\infty ,1[$.
\vskip2mm
\noindent Si $y$ est une solution sur $]-1,+\infty [$, on aura :
$$y(x)=\left\{\begin{array}{lll}\displaystyle \frac{k_1+\ln (1+x)}{1-x}&\mbox{si}&x\in ]-1,1[ \\ \\ \displaystyle \frac{k_2+\ln (1+x)}{1-x}&\mbox{si}&x\in ]1,+\infty[ \end{array}\right.$$
et $y(1)=-1/2$. La continuité en $1$ implique que $k_1=k_2=-\ln 2$. Une telle fonction est aussi dérivable en $1$. Ainsi $(E)$ admet une unique solution sur $]-1,+\infty [$.
|
Equations_différentielles
|
392
|
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $x(1-x)y'+y=x$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"La solution générale de l'équation homogène sur $]1,+\\infty[$ est $\\displaystyle y=\\frac{k(x-1)}{x}$, $k\\in \\Rr$.",
"La fonction $\\displaystyle y=\\frac{1-x}{x}\\ln |1-x|+\\frac{1}{x}$ est une solution de $(E)$ sur $]1,+\\infty[$.",
"L'équation $(E)$ admet une infinité de solutions sur $]-\\infty ,1[$.",
"L'équation $(E)$ admet une solution sur $]0,+\\infty[$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
Si $(E)$ admet une solution $y$ sur $]-\infty ,1[$, on aura :
$$y(x)=\left\{\begin{array}{lll}\displaystyle \frac{k_1(x-1)}{x}+\frac{1-x}{x}\ln |1-x|+\frac{1}{x}&\mbox{si}&x\in ]-\infty ,0[ \\ \\ \displaystyle \frac{k_2(x-1)}{x}+\frac{1-x}{x}\ln |1-x|+\frac{1}{x}&\mbox{si}&x\in ]0,1[ \end{array}\right.$$
et $y(0)=0$. La continuité de $y$ en $0$, implique que $k_1=k_2=1$. De plus, une telle fonction est dérivable en $0$. Ainsi $(E)$ admet une unique solution sur $]-\infty ,1[$. De même, si $(E)$ admet une solution $y$ sur $]0,+\infty [$, on aura :
$$y(x)=\left\{\begin{array}{lll}\displaystyle \frac{k_1(x-1)}{x}+\frac{1-x}{x}\ln |1-x|+\frac{1}{x}&\mbox{si}&x\in ]0,1[ \\ \\ \displaystyle\frac{k_2(x-1)}{x}+\frac{1-x}{x}\ln |1-x|+\frac{1}{x}&\mbox{si}&x\in ]1,+\infty[ \end{array}\right.$$
et $y(1)=1$. Une telle fonction est continue en $1$ mais elle n'est pas dérivable en $1$. Ainsi $(E)$ n'admet pas de solution sur $]0,+\infty [$.
|
Equations_différentielles
|
393
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"La solution générale de l'équation différentielle $y''-y=0$ sur $\\Rr$ est",
"La solution générale de l'équation différentielle $y''-y=0$ sur $\\Rr$ est",
"La solution générale de l'équation différentielle $y''-3y'+2y=0$ sur $\\Rr$ est",
"La solution générale de l'équation différentielle $y''-3y'+2y=0$ sur $\\Rr$ est"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Les solutions de l'équation caractéristique $r^2-1=0$ sont $\pm 1$. Donc la solution générale de $y''-y=0$ est $y=k_1\mathrm{e}^{x}+k_2\mathrm{e}^{-x}$, $k_1,k_2\in \Rr$.
\vskip0mm
\noindent Les solutions de l'équation caractéristique $r^2-3r+2=0$ sont $1$ et $2$. Donc la solution générale de $y''-3y'+2y=0$ est $y=k_1\mathrm{e}^{x}+k_2\mathrm{e}^{2x}$, $k_1,k_2\in \Rr$.
|
Equations_différentielles
|
394
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Les solutions sur $\\Rr$ de l'équation différentielle $y''-2y'+y=0$ sont les fonctions $\\displaystyle y=(k_1+k_2x)\\mathrm{e}^{x}$, $k_1,k_2\\in \\Rr$.",
"Les solutions sur $\\Rr$ de l'équation différentielle $y''-2y'+y=0$ sont les fonctions $\\displaystyle y_1=\\mathrm{e}^{x}$ et $\\displaystyle y_2=x\\mathrm{e}^{x}$.",
"Les solutions sur $\\Rr$ de l'équation différentielle $y''+4y'+4y=0$ sont les fonctions $\\displaystyle y_1=\\mathrm{e}^{2x}$ et $y_2=2\\mathrm{e}^{2x}$.",
"Les solutions sur $\\Rr$ de l'équation différentielle $y''+4y'+4y=0$ sont les fonctions $\\displaystyle y=(k_1+k_2x)\\mathrm{e}^{-2x}$, $k_1,k_2\\in \\Rr$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
L'équation caractéristique $r^2-2r+1=0$ admet $1$ comme racine double. Donc la solution générale de $y''-2y'+y=0$ est $y=(k_1+k_2x)\mathrm{e}^{x}$, $k_1,k_2\in \Rr$.
\vskip0mm
L'équation caractéristique $r^2+4r+4=0$ admet $-2$ comme racine double. Donc la solution générale de $y''+4y'+4y=0$ est $y=(k_1+k_2x)\mathrm{e}^{-2x}$, $k_1,k_2\in \Rr$.
|
Equations_différentielles
|
395
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Les solutions sur $\\Rr$ de l'équation différentielle $y''+y=0$ sont les fonctions $\\displaystyle y_1=\\sin (x)$ et $y_2=\\cos (x)$.",
"Les solutions sur $\\Rr$ de l'équation différentielle $y''+y=0$ sont les fonctions $\\displaystyle y=k_1\\cos (x)+k_2\\sin (x)$, $k_1,k_2\\in \\Rr$.",
"Les solutions sur $\\Rr$ de l'équation différentielle $y''+4y=0$ sont les fonctions $\\displaystyle y_1=\\sin (2x)$ et $y_2=\\cos (2x)$.",
"Les solutions sur $\\Rr$ de l'équation différentielle $y''+4y=0$ sont les fonctions $\\displaystyle y=k_1\\cos (2x)+k_2\\sin (2x)$, $k_1,k_2\\in \\Rr$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Les solutions de l'équation caractéristique $r^2+1=0$ sont $\pm \mathrm{i}$. Donc la solution générale de $y''+y=0$ est $y=k_1\cos (x)+k_2\sin (x)$, $k_1,k_2\in \Rr$.
\vskip0mm
Les solutions de l'équation caractéristique $r^2+4=0$ sont $\pm 2\mathrm{i}$. Donc la solution générale de $y''+4y=0$ est $y=k_1\cos (2x)+k_2\sin (2x)$, $k_1,k_2\in \Rr$.
|
Equations_différentielles
|
396
|
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Les solutions sur $\\Rr$ de l'équation différentielle $y''-2y'+2y=0$ sont les fonctions $\\displaystyle y=k_1\\cos (x)+k_2\\sin (x)$, $k_1,k_2\\in \\Rr$.",
"Les solutions sur $\\Rr$ de l'équation différentielle $y''-2y'+2y=0$ sont les fonctions $\\displaystyle y=\\mathrm{e}^{x}[k_1\\cos (x)+k_2\\sin (x)]$, $k_1,k_2\\in \\Rr$.",
"Les solutions sur $\\Rr$ de l'équation différentielle $y''+2y'+5y=0$ sont les fonctions $\\displaystyle y=\\mathrm{e}^{-x}[k_1\\cos (2x)+k_2\\sin (2x)]$, $k_1,k_2\\in \\Rr$.",
"Les solutions sur $\\Rr$ de l'équation différentielle $y''+2y'+5y=0$ sont les fonctions $\\displaystyle y_1=\\mathrm{e}^{-x}\\cos ( 2x)$ et $y_2=\\mathrm{e}^{-x}\\sin (2x)$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Les solutions de l'équation caractéristique $r^2-2r+2=0$ sont $1\pm \mathrm{i}$. Donc la solution générale de $y''-2y'+2y=0$ est :
$$y=\mathrm{e}^{x}[k_1\cos (x)+k_2\sin (x)],\quad k_1,k_2\in \Rr.$$
Les solutions de l'équation caractéristique $r^2+2r+5=0$ sont $-1\pm 2\mathrm{i}$. Donc la solution générale de $y''+2y'+5y=0$ est :
$$y=\mathrm{e}^{-x}[k_1\cos (2x)+k_2\sin (2x)],\quad k_1,k_2\in \Rr.$$
|
Equations_différentielles
|
397
|
On considère les équations différentielles :
$$(E_1)\; :\; y''-4y=4x\quad \mbox{et}\quad (E_2)\; :\; y''+2y'+y=x+2.$$
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"La solution générale de $(E_1)$ est : $\\displaystyle y=-x+k_1\\mathrm{e}^{2x}+k_2\\mathrm{e}^{-2x}$, $k_1,k_2\\in \\Rr$.",
"Les solutions de $(E_1)$ sont les fonctions $\\displaystyle y=-x+\\mathrm{e}^{2x}$ et $y_2=-x+\\mathrm{e}^{-2x}$.",
"La solution générale de $(E_2)$ est : $\\displaystyle y=x+k\\mathrm{e}^{-x}$, $k\\in \\Rr$.",
"La solution générale de $(E_2)$ est $\\displaystyle y=x+(k_1x+k_2)\\mathrm{e}^{-x}$, $k_1,k_2\\in \\Rr$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Les solutions de l'équation caractéristique associée à $(E_1)$ sont $\pm 2$ et $y_0=-x$ est une solution particulière de $(E_1)$. Donc la solution générale de $(E_1)$ est :
$$y=-x+k_1\mathrm{e}^{2x}+k_2\mathrm{e}^{-2x},\quad k_1,k_2\in \Rr.$$
L'équation caractéristique associée à $(E_2)$ admet $-1$ comme racine double et $y_0=x$ est une solution particulière de $(E_2)$. Donc la solution générale de $(E_2)$ est :
$$y=x+(k_1x+k_2)\mathrm{e}^{-x},\quad k_1,k_2\in \Rr.$$
|
Equations_différentielles
|
398
|
Sur $\Rr$, on considère les équations différentielles :
$$(E_1)\; :\; y''-y'-2y=2\quad \mbox{et}\quad (E_2)\; :\; y''+y=x.$$
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Les solutions de $(E_1)$ sont les fonctions $\\displaystyle y=-1+k_1\\mathrm{e}^{2x}+k_2\\mathrm{e}^{-x}$, $k_1,k_2\\in \\Rr$.",
"Les solutions de $(E_1)$ sont les fonctions $\\displaystyle y_1=-1+\\mathrm{e}^{2x}$ et $y_2=-1+\\mathrm{e}^{-x}$.",
"Les solutions de $(E_2)$ sont les fonctions $\\displaystyle y=x+k_1\\cos (x)+k_2\\sin (x)$, $k_1,k_2\\in \\Rr$.",
"Les solutions de $(E_2)$ sont les fonctions $\\displaystyle y=x+\\cos (x)$ et $y_2=x+\\sin (x)$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
Les solutions de l'équation caractéristique associée à $(E_1)$ sont $2$ et $-1$ et $y_0=-1$ est une solution particulière de $(E_1)$. Donc la solution générale de $(E_1)$ est
$$y=-1+k_1\mathrm{e}^{2x}+k_2\mathrm{e}^{-x},\quad k_1,k_2\in \Rr.$$
Les solutions de l'équation caractéristique associée à $(E_2)$ sont $\pm \mathrm{i}$ et $y_0=x$ est une solution particulière de $(E_2)$. Donc la solution générale de $(E_2)$ est
$$y=x+k_1\cos (x)+k_2\sin (x),\quad k_1,k_2\in \Rr.$$
|
Equations_différentielles
|
399
|
On considère les équations différentielles :
$$(E_1)\; :\; y''-y=3+\mathrm{e}^{2x}\quad \mbox{et}\quad (E_2)\; :\; y''-y=2+\mathrm{e}^{x}.$$
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$(E_1)$ admet une solution particulière sous la forme $\\displaystyle y_0=a+b\\mathrm{e}^{2x}$ avec $a,b\\in \\Rr$.",
"$(E_2)$ admet une solution particulière sous la forme $\\displaystyle y_0=a+b\\mathrm{e}^{x}$ avec $a,b\\in \\Rr$.",
"La solution générale de $(E_1)$ est : $\\displaystyle y=-3+\\mathrm{e}^{2x}+k_1\\mathrm{e}^{x}+k_2\\mathrm{e}^{-x}$, $k_1,k_2\\in \\Rr$.",
"La solution générale de $(E_2)$ est : $\\displaystyle y=-2+\\left(k_1+\\frac{x}{2}\\right)\\mathrm{e}^{x}+k_2\\mathrm{e}^{-x}$, $k_1,k_2\\in \\Rr$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Les solutions de l'équation caractéristique sont $\pm 1$. Donc $(E_1)$ admet une solution particulière sous la forme $\displaystyle y_0=a+b\mathrm{e}^{2x}$, car $2$ n'est pas une racine de l'équation caractéristique, et $(E_2)$ admet une solution particulière sous la forme $\displaystyle y_0=a+bx\mathrm{e}^{x}$ car $1$ est une racine simple de l'équation caractéristique.
|
Equations_différentielles
|
400
|
On considère les équations différentielles :
$$(E_1)\; :\; y''-4y'+4y=4+2\mathrm{e}^{2x}\quad \mbox{et}\quad (E_2)\; :\; y''-4y'+4y=8+\mathrm{e}^{x}.$$
Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
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{
"choices": [
"$(E_1)$ admet une solution particulière sous la forme $\\displaystyle y_0=a+b\\mathrm{e}^{2x}$ avec $a,b\\in \\Rr$.",
"$(E_2)$ admet une solution particulière sous la forme $\\displaystyle y_0=a+b\\mathrm{e}^{x}$ avec $a,b\\in \\Rr$.",
"La solution générale de $(E_1)$ est $\\displaystyle y=1+\\left(k_1+k_2x+x^2\\right)\\mathrm{e}^{2x}$, $k_1,k_2\\in \\Rr$.",
"La solution générale de $(E_2)$ est $\\displaystyle y=1+\\mathrm{e}^{x}+\\left(k_1+k_2x\\right)\\mathrm{e}^{2x}$, $k_1,k_2\\in \\Rr$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
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L'équation caractéristique admet $2$ comme racine double. Donc $(E_1)$ admet une solution particulière sous la forme $\displaystyle y_0=a+bx^2\mathrm{e}^{2x}$, car $2$ est une racine double de l'équation caractéristique, et $(E_2)$ admet une solution particulière sous la forme $\displaystyle y_0=a+b\mathrm{e}^{x}$ car $1$ n'est pas une racine de l'équation caractéristique.
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Equations_différentielles
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Subsets and Splits
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