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954
| question
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1.36k
| targets
dict | explanation
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1.3k
⌀ | category
stringclasses 28
values |
|---|---|---|---|---|
902
|
Soit $D$ la droite passant par l'origine et par le point $A(1,1)$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$\\vec{u}(1,1)$ est un vecteur directeur de $D$.",
"$\\vec{u}(1,1)$ est un vecteur normal à $D$.",
"$y=x$ est une équation cartésienne de $D$.",
"$x+y=0$ est une équation cartésienne de $D$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
La droite $D$ est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{OA}=\vec{u}(1,1)$ et $M(x,y)\in D \Leftrightarrow \mbox{det}(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OA})=0\Leftrightarrow x-y=0$. Ceci donne une équation cartésienne de $D$.
|
Géométrie_du_plan_|_140
|
903
|
Soit $D$ la droite passant par les points $A(1,-1)$ et $B(1,1)$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$\\vec{u}(0,1)$ est un vecteur directeur de $D$.",
"$\\vec{u}(0,1)$ est un vecteur normal à $D$.",
"Le point $C(1,0)$ n'appartient pas à $D$.",
"Le point $C(1,0)$ appartient à $D$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Le vecteur $\overrightarrow{AB}=(0,2)$ est un vecteur directeur de $D$. Par ailleurs, $\overrightarrow{AC}=(0,1)=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Donc $C\in D$.
|
Géométrie_du_plan_|_140
|
904
|
Soit $D$ la droite passant par les points $A(1,-1)$ et $B(1,0)$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"Une équation cartésienne de $D$ est : $x-y+1=0$.",
"Une équation cartésienne de $D$ est : $x-1=0$.",
"$\\vec{u}(1,0)$ est un vecteur normal à $D$.",
"$\\vec{u}(1,0)$ est un vecteur directeur de $D$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Les coordonnées de $A$ et $B$ vérifient l'équation $x-1=0$, celle-ci est donc une équation cartésienne de $D$ et $\vec{u}(1,0)$ est un vecteur normal à $D$.
|
Géométrie_du_plan_|_140
|
905
|
Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j})$, on considère les vecteurs $\displaystyle \vec{u}=\left(1,1\right)$ et $\displaystyle \vec{v}=\left(1,\sqrt{3}\right)$. Quel est la mesure $\alpha \in [0,2\pi[$ de l'angle orienté entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle \\alpha =\\frac{\\pi}{4}$",
"$\\displaystyle \\alpha =\\frac{\\pi}{3}$",
"$\\displaystyle \\alpha =\\frac{\\pi}{12}$",
"$\\displaystyle \\alpha =\\frac{7\\pi}{12}$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Une mesure de l'angle orienté entre $\vec{i}$ et $\vec{u}$ est $\displaystyle a=\frac{\pi}{4}$ et une mesure de l'angle orienté entre $\vec{i}$ et $\vec{v}$ est $\displaystyle b=\frac{\pi}{3}$. Donc $\displaystyle \alpha =b-a=\frac{\pi}{12}$.
|
Géométrie_du_plan_|_140
|
906
|
Dans le plan muni d'une base orthonormée $(\vec{i},\vec{j})$, on considère les vecteurs $\displaystyle \vec{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},a\right)$ et $\displaystyle \vec{v}=\left(a,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$. Comment choisir le réel $a$ pour que $(\vec{u},\vec{v})$ soit une base orthonormée ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle a=\\frac{1}{\\sqrt{2}}$",
"$\\displaystyle a=-\\frac{1}{\\sqrt{2}}$",
"$\\displaystyle a=\\sqrt{2}$",
"$\\displaystyle a=-\\sqrt{2}$"
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
Pour tout $a\in \Rr$, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux. Ensuite, $\|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|=1$ implique $\displaystyle a=\frac{\pm 1}{\sqrt{2}}$.
|
Géométrie_du_plan_|_140
|
907
|
Dans le plan muni d'une base orthonormée $(\vec{i},\vec{j})$, on considère les vecteurs $\displaystyle \vec{u}=\left(\frac{1}{2},a\right)$ et $\displaystyle \vec{v}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},b\right)$. Comment choisir les réels $a$ et $b$ pour que $(\vec{u},\vec{v})$ soit une base orthonormée ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle a=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ et $\\displaystyle b=\\frac{1}{2}$",
"$\\displaystyle a=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ et $\\displaystyle b=-\\frac{1}{2}$",
"$\\displaystyle a=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ et $\\displaystyle b=\\frac{1}{2}$",
"$\\displaystyle a=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ et $\\displaystyle b=-\\frac{1}{2}$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
D'abord, $\displaystyle \|\vec{u}\|=1\Leftrightarrow a=\frac{\pm \sqrt{3}}{2}$, $\displaystyle \|\vec{v}\|=1\Leftrightarrow b=\frac{\pm 1}{2}$ et $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ si, et seulement si, $a$ et $b$ sont de même signe.
|
Géométrie_du_plan_|_140
|
908
|
Dans le plan muni d'une base orthonormée $(\vec{i},\vec{j})$, on considère deux vecteurs $\displaystyle \vec{u}$ et $\displaystyle \vec{v}$. On suppose que $\|\vec{u}\|=3$, $\|\vec{v}\|=3$ et que l'angle entre ces deux vecteurs est $\displaystyle \frac{\pi}{3}$. Quelle est la norme de $\vec{u}+\vec{v}$ ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle \\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|=6$",
"$\\displaystyle \\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|=3$",
"$\\displaystyle \\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|=3\\sqrt{3}$",
"$\\displaystyle \\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|=9$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
La bilinéarité et la symétrie du produit scalaire donnent
$$\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}.$$
Et puis $\displaystyle \vec{u}\cdot \vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{9}{2}$. Donc $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=9+9+9$.
|
Géométrie_du_plan_|_140
|
909
|
On considère les points $A(1,1)$, $B(-1,1)$ et $C(1,-1)$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.",
"$ABC$ est un triangle rectangle en $A$.",
"$ABC$ est un triangle équilatéral.",
"$ABC$ est un triangle isocèle en $A$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
On a $\overrightarrow{AB}=(-2,0)$ et $\overrightarrow{AC}=(0,-2)$. Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. De plus, $\|\overrightarrow{AB}\|=2=\|\overrightarrow{AC}\|$ donc $ABC$ est isocèle en $A$ et $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$, donc $ABC$ est rectangle en $A$.
|
Géométrie_du_plan_|_140
|
910
|
Soit $D$ la droite définie par le paramétrage :
$$\left\{\begin{array}{ccl}x&=&1+t\\ y&=&2-t,\quad t\in \Rr.
\end{array}\right.$$
Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"Le point $A(1,1)$ appartient à $D$.",
"$\\vec{u}=(1,-1)$ est un vecteur normal à $D$.",
"Une équation cartésienne de $D$ est : $x+y-3=0$.",
"$\\vec{u}(1,1)$ est un vecteur directeur de $D$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Le vecteur $\vec{u}=(1,-1)$ est un vecteur directeur de $D$. On élimine $t$ en additionnant les deux équations. Ceci donne $x+y=3$ qui est une équation cartésienne de $D$.
|
Géométrie_du_plan_|_140
|
911
|
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère la droite $D$ passant par les points $A(1,1)$ et $B(2,3)$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$\\vec{u}=(1,2)$ est un vecteur normal à $D$.",
"Une équation cartésienne de $D$ est : $2x-y-1=0$.",
"Le point $C(1,2)$ appartient à $D$.",
"La distance du point $N(-1,2)$ à la droite $D$ est $\\sqrt{5}$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Le vecteur $\overrightarrow{AB}=(1,2)$ dirige $D$ et $M(x,y)\in D\Leftrightarrow \mbox{det} \left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB}\right)=0$, c'est-à-dire $2x-y-1=0$. La distance de $N$ à $D$ est donnée par $\displaystyle \frac{|2\times (-1)-2-1|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\sqrt{5}$.
|
Géométrie_du_plan_|_140
|
912
|
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère les points $\displaystyle A(1,2)$, $B(2,1)$ et $C(-2,1)$. Quelle est la distance $d$ du point $C$ à la droite $(AB)$ ?
|
{
"choices": [
"$d=\\sqrt{2}$",
"$d=3$",
"$d=2\\sqrt{2}$",
"$d=\\sqrt{10}$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Utiliser la formule $\displaystyle d=\frac{\left|\mbox{det}\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)\right|}{\|\overrightarrow{AB}\|}=2\sqrt{2}$.
|
Géométrie_du_plan_|_140
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913
|
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère la droite $D$ d\'efinie par le paramétrage :
$$\left\{\begin{array}{ccl}x&=&1+t\\ y&=&2-t,\quad t\in \Rr.
\end{array}\right.$$
Quelle est la distance $d$ du point $M(2,3)$ à la droite $D$ ?
|
{
"choices": [
"$d=\\sqrt{2}$",
"$d=\\sqrt{3}$",
"$d=1$",
"$d=2$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
Le point $A(1,2)\in D$ et le vecteur $\vec{v}=(1,-1)$ dirige $D$. On utilise la formule $\displaystyle d=\frac{\left|\mbox{det}\left(\overrightarrow{AM},\vec{v}\right)\right|}{\|\vec{v}\|}=\sqrt{2}$.
|
Géométrie_du_plan_|_140
|
914
|
Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$, on considère les points $\displaystyle A(a,b)$ et $\displaystyle B(1,1)$. Comment choisir les réels $a$ et $b$ pour que l'aire du triangle de sommets $O,A,B$ soit égale à $1$ ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle a=2$ et $\\displaystyle b=0$",
"$\\displaystyle a=2+b$ et $\\displaystyle b\\in \\Rr$",
"$\\displaystyle a=1$ et $\\displaystyle b=0$",
"$\\displaystyle a=0$ et $\\displaystyle b=1$"
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
On doit avoir $\displaystyle 2\mbox{Aire}(OAB)=\left|\mbox{det}\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{AB}\right)\right|=2$. Ceci donne ($a=2+b$ et $b\in \Rr$).
|
Géométrie_du_plan_|_140
|
915
|
Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j})$, on considère les vecteurs $\displaystyle \vec{u}=\left(\frac{1}{2},a\right)$ et $\displaystyle \vec{v}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},b\right)$. Comment choisir les réels $a$ et $b$ pour que $(\vec{u},\vec{v})$ soit une base orthonormée directe ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle a=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ et $\\displaystyle b=\\frac{1}{2}$",
"$\\displaystyle a=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ et $\\displaystyle b=-\\frac{1}{2}$",
"$\\displaystyle a=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ et $\\displaystyle b=\\frac{1}{2}$",
"$\\displaystyle a=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ et $\\displaystyle b=-\\frac{1}{2}$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
D'abord, $\displaystyle \|\vec{u}\|=1\Leftrightarrow a=\frac{\pm \sqrt{3}}{2}$, $\displaystyle \|\vec{v}\|=1\Leftrightarrow b=\frac{\pm 1}{2}$ et $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ si, et seulement si, $a$ et $b$ sont de même signe. Enfin pour que $(\vec{u},\vec{v})$ soit directe, il faut que $\mbox{det}(\vec{u},\vec{v})$ soit positif.
|
Géométrie_du_plan_|_140
|
916
|
Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$, on considère les points $\displaystyle A(a,b)$ et $\displaystyle B(1,1)$. Comment choisir les réels $a$ et $b$ pour que le triangle de sommets $O,A,B$ soit rectangle et isocèle en $A$ ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle a=-1$ et $\\displaystyle b=-1$",
"$\\displaystyle a=1$ et $\\displaystyle b=0$",
"$\\displaystyle a=0$ et $\\displaystyle b=1$",
"$\\displaystyle a=1$ et $\\displaystyle b=-1$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
On doit avoir $\displaystyle \|\overrightarrow{OA}\|=\|\overrightarrow{AB}\|$ et $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB}=0$. Ceci donne ($a=1$ et $b=0$) ou ($a=0$ et $b=1$).
|
Géométrie_du_plan_|_140
|
917
|
Soit $D$ la droite définie par l'équation cartésienne : $x-2y=4$. Quelles sont les coordonnées $(a,b)$ du projeté orthogonal $H(a,b)$ du point $M(1,1)$ sur $D$ ?
|
{
"choices": [
"$(a,b)=(4,0)$",
"$(a,b)=(2,-1)$",
"$(a,b)=(6,1)$",
"$(a,b)=(1,1)$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
Le vecteur $\vec{u}=(1,-2)$ est normal à $D$ et le vecteur $\vec{v}=(2,1)$ est directeur de $D$. Les coordonnées de $H$ vérifient le système
$$\left\{\begin{array}{l}a-2b=4\\ \overrightarrow{HM}\cdot\vec{v}=0
\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a-2b=4\\ 2a+b=3
\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-1.
\end{array}\right.$$
|
Géométrie_du_plan_|_140
|
918
|
On considère trois points $A$, $B$ et $C$ du plan tels que
$$(AB)\; : \; x-2y+3=0\quad \mbox{ et }\quad (AC)\; : \; 2x-y-3=0.$$
Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.",
"Le point $B$ appartient à $(AC)$.",
"Le point $C$ appartient à $(AB)$.",
"Les coordonnées de $A$ sont $A(3,3)$."
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés car sinon les droites $(AB)$ et $(AC)$ seraient confondues. Ces droites se coupent en $A$ et les coordonnées de ce point d'intersection vérifient le système
$$\left\{\begin{array}{l}x-2y+3=0\\ 2x-y-3=0
\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=3.\end{array}\right.$$
|
Géométrie_du_plan_|_140
|
919
|
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère le point $\displaystyle A(1,2)$ et on note $D$ une droite passant par $A$ et qui est à distance $1$ de l'origine. Une équation cartésienne de $D$ est
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$D\\; :\\; x=1$",
"$D\\; :\\; x+2y=0$",
"$D\\; :\\; 3x-4y+5=0$",
"$D\\; :\\; y=2x$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
Une équation cartésienne d'une droite $D$ passant par $A$ est de la forme $a(x-1)+b(y-2)=0$. Mais,
$$1=\mbox{d}(O,D)=\frac{|a+2b|}{\sqrt{a^2+b^2}}\Leftrightarrow b=0\mbox{ ou }b=-\frac{4}{3}a.$$
Ceci détermine toutes les droites passant par $A$ et qui sont à distance $1$ de l'origine.
|
Géométrie_du_plan_|_140
|
920
|
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ et on note $D$ une droite perpendiculaire à $\Delta$ et qui est à distance $1$ de l'origine. Une équation cartésienne de $D$ est
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$D\\; :\\; x-y+\\sqrt{2}=0$",
"$D\\; :\\; x+y+\\sqrt{2}=0$",
"$D\\; :\\; x+y-\\sqrt{2}=0$",
"$D\\; :\\; x-y-\\sqrt{2}=0$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Le vecteur $\vec{n}=(1,-1)$ est normal à $\Delta$, il dirige $D$. Une équation cartésienne de $D$ est de la forme $x+y+c=0$. Mais,
$$1=\mbox{d}(O,D)=\frac{|c|}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow c=\pm \sqrt{2}.$$
|
Géométrie_du_plan_|_140
|
921
|
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère la droite $\Delta$ d'équation $x=y$ et on note $D$ une droite parallèle à $\Delta$ et qui est à distance $1$ de l'origine. Une équation cartésienne de $D$ est
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$D\\; :\\; x-y+\\sqrt{2}=0$",
"$D\\; :\\; x+y+\\sqrt{2}=0$",
"$D\\; :\\; x+y-\\sqrt{2}=0$",
"$D\\; :\\; x-y-\\sqrt{2}=0$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Le vecteur $\vec{n}=(1,-1)$ est normal à $\Delta$, il est aussi normal à $D$. Une équation cartésienne de $D$ est de la forme $x-y+c=0$. Mais,
$$1=\mbox{d}(O,D)=\frac{|c|}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow c=\pm \sqrt{2}.$$
|
Géométrie_du_plan_|_140
|
922
|
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère la droite $\Delta$ d'équation $x=y$ et on note $D$ une droite perpendiculaire à $\Delta$ et qui est à distance $0$ de l'origine. Une représentation paramétrique de $D$ est
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$D\\; :\\; x=t,\\; y=t$ et $t\\in \\Rr$",
"$D\\; :\\; x=t,\\; y=-t$ et $t\\in \\Rr$",
"$D\\; :\\; x=3t,\\; y=3t$ et $t\\in \\Rr$",
"$D\\; :\\; x=-2t,\\; y=2t$ et $t\\in \\Rr$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Le vecteur $\vec{n}=(1,-1)$ est normal à $\Delta$, il dirige $D$. Or $\mbox{d}(O,D)=0\Rightarrow O\in D$. Donc $D$ est la droite passant par $O$ est dirigée par $\vec{n}$.
|
Géométrie_du_plan_|_140
|
923
|
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ et on note $D$ une droite parallèle à $\Delta$ et qui est à distance $0$ de l'origine. Une représentation paramétrique de $D$ est
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$D\\; :\\; x=t,\\; y=t$ et $t\\in \\Rr$",
"$D\\; :\\; x=t,\\; y=-t$ et $t\\in \\Rr$",
"$D\\; :\\; x=-t,\\; y=-t$ et $t\\in \\Rr$",
"$D\\; :\\; x=2t,\\; y=-2t$ et $t\\in \\Rr$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
Le vecteur $\vec{n}=(1,-1)$ est normal à $\Delta$, il est aussi normal à $D$. Donc $\vec{v}=(1,1)$ dirige $D$. Or $\mbox{d}(O,D)=0\Rightarrow O\in D$. Donc $D$ est la droite passant par $O$ est dirigée par $\vec{v}$.
|
Géométrie_du_plan_|_140
|
924
|
Le projeté orthogonal de l'origine $O$ sur une droite $D$ du plan est le point $H(1,1)$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"La distance entre $O$ et $D$ est $0$.",
"La distance entre $O$ et $D$ est $\\sqrt{2}$.",
"Une équation cartésienne de $D$ est $x+y-2=0$.",
"Une équation cartésienne de $D$ est $y=x$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
$D$ est la droite passant par $H$ et $\overrightarrow{OH}=(1,1)$ en est un vecteur normal.
|
Géométrie_du_plan_|_140
|
925
|
Quels arguments sont valides pour justifier que la fonction $x \mapsto \sin(x)$ n'est pas une fonction croissante sur $\Rr$ ?
|
{
"choices": [
"$\\sin(\\pi) = \\sin(0)$ et pourtant $\\pi \\neq 0$.",
"$\\sin(\\frac\\pi2) > \\sin(0)$ et pourtant $0 < \\frac\\pi2$.",
"$\\sin(\\frac{3\\pi}{4}) > \\sin(\\pi)$ et pourtant $\\frac{3\\pi}{4} < \\pi$.",
"On a $|\\sin x| \\le |x|$ pour tout $x\\in\\Rr$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Une fonction $f$ est croissante si $x \le y$ implique $f(x) \le f(y)$.
Donc une fonction n'est pas croissante si on peut trouver $x \le y$ mais avec
$f(x) > f(y)$. Le seul argument valable est donc $\frac{3\pi}{4} < \pi$ avec $\sin(\frac{3\pi}{4}) > \sin(\pi)$.
|
Continuité_|_123
|
926
|
Soient $f,g$ deux fonctions définies sur $\Rr$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$f-2g$ est une fonction définie sur $\\Rr$.",
"$f^2 \\times g$ est une fonction définie sur $\\Rr$.",
"$\\frac{f}{g^2}$ est une fonction définie sur $\\Rr$.",
"$\\sqrt{f+g}$ est une fonction définie sur $\\Rr$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
La somme et le produit de fonctions est définie partout. Par contre pour le quotient il faut que le dénominateur ne s'annule pas. Pour une racine carrée, il faut que le terme sous la racine soit positif ou nul.
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Continuité_|_123
|
928
|
Quels arguments sont valables pour montrer que $f : \Rr \to \Rr$ est décroissante ?
|
{
"choices": [
"On a $x \\le y$ qui implique $f(x) \\le f(y)$.",
"On a $x \\le y$ qui implique $f(x) \\ge f(y)$.",
"On a $x \\ge y$ qui implique $f(x) \\le f(y)$.",
"On a $x \\ge y$ qui implique $f(x) \\ge f(y)$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Une fonction $f$ est décroissante si $x \le y$ implique $f(x) \ge f(y)$.
Ce qui peut aussi s'écrire $x \ge y$ qui implique $f(x) \le f(y)$.
Autrement dit $f$ inverse le sens des inégalités.
|
Continuité_|_123
|
929
|
Soit $f : \Rr \to \Rr$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\forall M > 0 \\quad \\exists x \\in \\Rr \\quad f(x) \\le M$ implique $f$ majorée.",
"$\\forall x \\in \\Rr \\quad \\exists M > 0 \\quad f(x) \\ge M$ implique $f$ majorée.",
"$\\exists M > 0 \\quad \\forall x \\in \\Rr \\quad f(x) \\le M$ implique $f$ majorée.",
"$\\exists M > 0 \\quad \\exists x \\in \\Rr \\quad f(x) \\ge M$ implique $f$ majorée."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Par définition $f$ est majorée si $\exists M > 0 \quad \forall x \in \Rr \quad f(x) \le M$.
|
Continuité_|_123
|
930
|
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"La fonction $x \\mapsto \\frac{1}{x}$ est décroissante car sa dérivée $x \\mapsto -\\frac{1}{x^2}$ est partout négative.",
"Une fonction périodique et croissante est constante.",
"Si $f : \\Rr \\to ]0,+\\infty[$ est croissante, alors $1/f$ est décroissante.",
"Si $f$ et $g$ sont croissantes, alors $f-g$ est croissante."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
La fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ est décroissante sur $]0,+\infty[$ et $]-\infty,0[$ mais pas sur $\Rr^*$.
|
Continuité_|_123
|
931
|
Soit $f(x) = \ln(x-1)$ et $g(x) = \sqrt{x+1}$.
Quelles sont les assertions vraies concernant les domaines de définition ? (Rappel : le domaine de définition de $f$ est le plus grand ensemble $D_f \subset \Rr$ sur lequel $f$ est définie.)
|
{
"choices": [
"$D_f \\cup D_g = [-1,+\\infty[$.",
"Pour la composition $f \\circ g$, $D_{f\\circ g} = [-1,+\\infty[$.",
"Pour la composition $g \\circ f$, $D_{g\\circ f} = ]1,+\\infty[$.",
"Pour la fonction $f \\times g$, $D_{f\\times g} = ]1,+\\infty[$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
$D_f = ]1,+\infty[$ ; $D_g = [-1,+\infty[$ ;
$D_f \cup D_g = [-1,+\infty[$ ;
$D_{f \times g} = D_f \cap D_g = ]1,+\infty[$ ;
$D_{f \circ g} = ]1,+\infty[$.
$g \circ f$ n'est pas définie pour $x$ proche de $1$, en fait
$D_{g\circ f} = [1+\frac1e,+\infty[$.
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Continuité_|_123
|
932
|
Soit $f : \Rr \to \Rr$ une fonction à valeurs strictement positives. Quels arguments sont valables pour montrer que $f$ est croissante ?
|
{
"choices": [
"Pour tout $x\\in\\Rr$, on a $f(x+1) \\ge f(x)$.",
"Pour tout $x\\in\\Rr$, on a $\\frac{f(x+1)}{f(x)} \\ge 1$.",
"Pour tout $x\\in\\Rr$, il existe $h>0$ tel que $f(x+h) \\ge f(x)$.",
"Pour tout $x\\in\\Rr$, pour tout $h>0$, on a $\\frac{f(x+h)}{f(x)} \\ge 1$."
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
En notant $y = x+h$ avec $h>0$ on a $y > x$ et donc il suffit d'avoir $\frac{f(y)}{f(x)} \ge 1$.
Par contre, il n'est pas suffisant de comparer $f$ en des valeurs distantes de $1$ ! Essayez de dessiner un contre-exemple : $f$ vaut $0$ partout, sauf $1$ en chaque entier.
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Continuité_|_123
|
933
|
Soient $f,g : \Rr \to \Rr$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $f$ est bornée et $g$ majorée alors $f-g$ est bornée.",
"Si $f$ bornée et $g$ majorée alors $f-g$ est minorée.",
"Si $f$ et $g$ sont minorées, alors $f \\times g$ est minorée.",
"Si $f$ et $g$ sont minorées, alors $|f \\times g|$ est bornée."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
La somme de deux fonctions majorées (resp. minorées) est majorée (resp. minorée). Ce n'est pas le cas pour le produit : par exemple
$f(x) = -1$ est minorée, $g(x) = \exp(x)$ aussi, mais $f \times g (x) = -\exp(x)$ ne l'est pas.
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Continuité_|_123
|
934
|
Soient $f : ]-\infty,0[ \to ]0,1[$ et $g : ]-2,2[ \to ]0,+\infty[$.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Le domaine de définition de $x \\mapsto g\\big(f(2x)\\big)$ est $]-1,1[$.",
"Le domaine de définition de $x \\mapsto g\\big( \\ln (f(x)) \\big)$ est $]0,+\\infty[$.",
"Le domaine de définition de $x \\mapsto \\frac{g(x+1)}{f(x)}$ est $]-3,0[$.",
"Le domaine de définition de $x \\mapsto \\frac{f(x) \\times g(x)}{f(x)+g(x)}$ est $]-2,0[$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
Si $x \mapsto f(x)$ est définie sur $]a,b[$ alors
$x \mapsto f(x+k)$ est définie sur $]a-k,b-k[$
et $x \mapsto f(\ell x)$ est définie sur $]\frac{a}{\ell},\frac{b}{\ell}[$ (où $\ell >0$).
|
Continuité_|_123
|
935
|
Quelles fonctions sont continues en $x=0$ ?
|
{
"choices": [
"$x \\mapsto |x|$ (valeur absolue).",
"$x \\mapsto E(x)$ (partie entière).",
"$x \\mapsto \\frac 1x$ (inverse).",
"$x \\mapsto \\sqrt{x}$ (racine carrée)."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
La fonction inverse n'est pas définie à l'origine !
La fonction partie entière n'est pas continue à l'origine.
|
Continuité_|_123
|
936
|
Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont continues sur $\Rr$ ?
|
{
"choices": [
"$x \\mapsto \\cos(x)-\\sin(x)$",
"$x \\tan(x)$",
"$x \\mapsto \\frac{1}{\\exp(x)}$",
"$x \\mapsto \\ln(\\exp(3x))$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
|
La fonction tangente n'est pas définie partout, et elle continue seulement sur son domaine de définition.
Comme $\ln(\exp(3x)) = 3x$ alors cette fonction sera continue sur $\Rr$.
|
Continuité_|_123
|
937
|
Quelles sont les propriétés vraies ?
|
{
"choices": [
"La somme de deux fonctions continues est continue.",
"Le produit de deux fonctions continues est continue.",
"Le quotient de deux fonctions continues est continue.",
"L'inverse d'une fonction continue ne s'annulant pas est continue."
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
Le quotient de deux fonctions continues est une fonction continue, uniquement aux points où le dénominateur ne s'annule pas.
|
Continuité_|_123
|
938
|
Parmi les propriétés suivantes, quelles sont celles qui implique que $f$ est continue en $x_ 0$ ?
|
{
"choices": [
"$\\lim_{x\\to x_0} f(x) = f(x_0)$",
"$\\forall \\epsilon >0 \\quad \\exists \\delta > 0 \\qquad",
"$\\exists \\delta > 0 \\quad \\forall \\epsilon >0 \\qquad",
"$\\big| f(x) - f(x_0) \\big| \\to 0$ lorsque $x \\to x_0$"
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
$f$ est continue en $x_0$ si $\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$, ce qui s'écrit aussi $\big| f(x) - f(x_0) \big| \to 0$, ou encore :
$\forall \epsilon >0 \quad \exists \delta > 0 \qquad
|x-x_0| < \delta \implies |f(x)-f(x_0)| < \epsilon$ (et on peut remplacer les inégalités strictes par des inégalités larges).
|
Continuité_|_123
|
939
|
Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont continues sur $\Rr$ ?
|
{
"choices": [
"$x \\mapsto P(x)$, où $P$ est un polynôme.",
"$x \\mapsto |f(x)|$, où $f$ est une fonction continue.",
"$x \\mapsto \\frac{1}{f(x)}$, où $f$ est une fonction continue ne s'annulant pas.",
"La fonction $f$ définie par $f(x) = 0$, si $x\\in \\Qq$ et par $f(x)=1$ sinon."
],
"labels": [
1,
1,
1,
0
]
}
|
La fonction $f$ définie par $f(x) = 0$, si $x\in \Qq$ et par $f(x)=1$ sinon, est une fonction qui n'est continue en aucun point $x_0\in \Rr$ !
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Continuité_|_123
|
940
|
En posant $f(0)=0$, quelles fonctions deviennent continues sur $\Rr$ ?
|
{
"choices": [
"$f(x) = \\frac 1x$",
"$f(x) = \\frac{\\sin(x)}{x}$",
"$f(x) = x \\ln( |x|)$",
"$f(x) = e^{1/x}$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Toutes les fonctions sont continues sur $\Rr^*$, il s'agit donc de déterminer si $f(x) \to 0$ lorsque $x\to0$. C'est uniquement le cas de $x \ln( |x|)$.
|
Continuité_|_123
|
941
|
Parmi les propriétés suivantes, quelles sont celles qui impliquent que $f$ est continue en $x_ 0$ ?
|
{
"choices": [
"$f(x)^2 \\to f(x_0)^2$ (lorsque $x \\to x_0$)",
"$f(x)^3 \\to f(x_0)^3$ (lorsque $x \\to x_0$)",
"$E(f(x)) \\to E(f(x_0))$ (lorsque $x \\to x_0$)",
"$\\exp(f(x)) \\to \\exp(f(x_0))$ (lorsque $x \\to x_0$)"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Si $f(x)^2 \to f(x_0)^2$ alors ce n'est pas toujours vrai que $f(x) \to f(x_0)$, prendre la fonction $f(x)=-1$ si $x<0$ et $f(x)=+1$ sinon. Par contre avec le cube c'est vrai, car la fonction $x \mapsto x^3$ est une bijection continue de $\Rr$ dans $\Rr$, idem avec l'exponentielle !
|
Continuité_|_123
|
942
|
Soit $f : \Rr \to \Rr$ une fonction et $(u_n)_{n\in\Nn}$ une suite. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $u_n \\to \\ell$ et $f$ continue en $\\ell$, alors $f(u_n)$ admet une limite.",
"Si $f(u_n) \\to f(\\ell)$ et $f$ est continue en $\\ell$, alors $u_n \\to \\ell$.",
"Si $u_n \\to \\ell$ et $f(u_n)$ n'a pas de limite, alors $f$ n'est pas continue en $\\ell$.",
"Si pour toute suite qui vérifie $u_n \\to \\ell$, on a $f(u_n) \\to f(\\ell)$, alors $f$ est continue en $\\ell$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
|
Une fonction $f$ est continue en $\ell$ si et seulement si
pour toute suite $(u_n)$ qui tend vers $\ell$, on a $f(u_n) \to f(\ell)$.
|
Continuité_|_123
|
943
|
Quelles assertions peut-on déduire du théorème des valeurs intermédiaires ?
|
{
"choices": [
"$\\sin(x) - x^2 + 1$ s'annule sur $[0,\\pi]$.",
"$x^5-37$ s'annule sur $[2,3]$.",
"$\\ln(x+1)-x+1$ s'annule sur $[0,+\\infty[$.",
"$e^x+e^{-x}$ s'annule sur $[-1,1]$."
],
"labels": [
1,
1,
1,
0
]
}
|
Pour montrer qu'une fonction continue $f$ s'annule sur un intervalle $[a,b]$, il est suffisant de montrer que $f(a)>0$ et $f(b)<0$ (ou l'opposé).
|
Continuité_|_123
|
944
|
Soit $f(x)=x^2-7$. On applique la méthode de dichotomie sur l'intervalle $[2 ; 3]$.
On calcule $f(2,125)=-1,9375$ ; $f(2,5) = -0,75$ ; $f(2,625) = -0,109375$ ; $f(2,75) = 0,5625$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$f$ s'annule sur $[2 ; 2,5]$ et sur $[2,5 ; 3]$.",
"$f$ s'annule sur $[2,5 ; 3]$.",
"$f$ s'annule sur $[2,75 ; 3]$.",
"$2,6 \\le \\sqrt{7} \\le 2,8$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
La fonctions $f$ est continue, strictement croissante et s'annule en $\sqrt{7}$.
Comme $f(2,625) < 0$ et $f(2,75) > 0$, alors
$2,625 < \sqrt{7} < 2,75$.
|
Continuité_|_123
|
945
|
Soit $f : [a,b] \to \Rr$ une fonction continue (avec $a < b$). Quelles assertions sont une conséquence du théorème des valeurs intermédiaires ?
|
{
"choices": [
"Si $f(a) \\cdot f(b) > 0$ alors $f$ s'annule sur $[a,b]$.",
"Si $f(a) < k < f(b)$ alors $f(x)-k$ s'annule sur $[a,b]$.",
"Pour $I \\subset \\Rr$, si $f(I)$ est un intervalle alors $I$ est un intervalle.",
"Si $c \\in ]a,b[$ alors $f(c) \\in ]f(a),f(b)[$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
Les trois façons d'énoncer le théorème des valeurs intermédiaires, pour $f : [a,b] \to \Rr$ continue :
(1) si $f(a) \cdot f(b) \le 0$ alors $f$ s'annule sur $[a,b]$ ;
(2) si $f(a) < k < f(b)$ alors il existe $a < c < b$ tel que $f(c)=k$ ;
(3) si $I$ est un intervalle, alors $f(I)$ est un intervalle.
|
Continuité_|_123
|
946
|
Soit $f : [0,1] \to \Rr$ une fonction continue avec $f(0)<0$ et $f(1)>0$.
Par dichotomie on construit deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$, avec $a_0 = 0$ et $b_0 = 1$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $f(\\frac12)>0$ alors $a_1 = \\frac12$ et $b_1 = \\frac12$.",
"$f$ s'annule sur $[a_n,b_n]$ (quel que soit $n\\ge0$).",
"$(a_n)$ et $(b_n)$ sont des suites croissantes.",
"$a_n \\to 0$ ou $b_n \\to 0$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
Par dichotomie on construit deux suites adjacentes. $(a_n)$ est croissante, $(b_n)$ est décroissante et $a_n \le b_n$. Ces deux suites convergent vers une valeur $c\in]a,b[$, telle que $f(c)=0$.
|
Continuité_|_123
|
947
|
Soit $f : [a,b] \to \Rr$ une fonction continue (avec $a < b$). Quelles assertions sont vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $f(a) \\cdot f(b) < 0$ et $f$ croissante alors $f$ s'annule une unique fois sur $[a,b]$.",
"Si $f(a) \\cdot f(b) < 0$ et $f$ n'est pas strictement monotone alors $f$ s'annule au moins deux fois sur $[a,b]$.",
"Si $f(a) \\cdot f(b) < 0$ alors $f$ s'annule un nombre fini de fois sur $[a,b]$.",
"Si $f(a) \\cdot f(b) < 0$ et $f$ strictement décroissante, alors $f$ s'annule une unique fois sur $[a,b]$."
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
Le théorème des valeurs intermédiaires implique que si $f : [a,b] \to \Rr$ est continue avec $f(a) \cdot f(b) < 0$ alors
il existe une valeur $c \in [a,b]$ telle que $f(c)=0$. Pour avoir l'unicité de ce zéro, il suffit que $f$ soit strictement croissante ou bien strictement décroissante.
|
Continuité_|_123
|
948
|
Soit $f : [0,1] \to \Rr$ une fonction continue avec $f(0)>0$ et $f(1)<0$.
Par dichotomie on construit deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$, avec $a_0 = 0$ et $b_0 = 1$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(a_n)$ et $(b_n)$ sont des suites adjacentes.",
"$(f=0)$ admet une unique solution sur $[a_n,b_n]$.",
"Si $f(a_n)<0$ et $f\\big(\\frac{a_n+b_n}{2}\\big) >0$ alors $a_{n+1} =\\frac{a_n+b_n}{2}$ et $b_{n+1}=b_n$.",
"Pour $n=10$, $a_{10}$ approche une solution de $(f=0)$ à moins de $\\frac{1}{1000}$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
|
Par dichotomie les suites construites vérifient : $(a_n)$ est croissante, $(b_n)$ est décroissante et $a_n \le b_n$, et $b_n-a_n \to 0$. Ce sont donc des suites adjacentes. En plus la limite de ces deux suites est une solution de l'équation $(f=0)$.
Le méthode implique ici que si $f(a_n)>0$, $f(b_n)<0$ et $f\big(\frac{a_n+b_n}{2}\big) >0$ alors $a_{n+1} =\frac{a_n+b_n}{2}$ et $b_{n+1}=b_n$.
L'intervalle $[a_n,b_n]$ où se trouve un zéro est divisé par deux à chaque étape. Donc au bout de $10$ étapes l'intervalle
$[a_{10},b_{10}]$ est un sous intervalle de l'intervalle de départ $[0,1]$, et sa longueur est $\frac{1}{2^{10}} = \frac{1}{1024} < \frac1{1000}$.
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Continuité_|_123
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949
|
Soit $f : [a,b] \to \Rr$ continue. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$f$ admet un maximum sur $]a,b[$.",
"$f$ admet un maximum en $a$ ou en $b$.",
"$f$ est bornée sur $]a,b[$.",
"$f$ admet un maximum ou un minimum sur $[a,b]$ mais pas les deux."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Une fonction continue sur un intervalle fermé borné, est bornée et atteint ses bornes (donc le maximum et le minimum sont atteints). Par contre ses extremums peuvent être en $a$ ou en $b$ ou dans $]a,b[$.
|
Continuité_|_123
|
950
|
Soit $f : \Rr \to \Rr$ une fonction continue telle que : elle est strictement croissante sur $]-\infty,0]$ ; strictement décroissante sur $[0,1]$ ; strictement croissante sur $[1,+\infty[$. En plus $\lim_{x\to-\infty} f = - \infty$, $f(0)=2$, $f(1) = 1$ et $\lim_{x\to+\infty} f = 3$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"La restriction $f_| : ]-\\infty,0] \\to ]-\\infty,2]$ est bijective.",
"La restriction $f_| : [1,+\\infty[ \\to [1,+\\infty[$ est bijective.",
"La restriction $f_| : [0,1] \\to [1,2]$ est bijective.",
"La restriction $f_| : ]0,+\\infty] \\to [1,3[$ est bijective."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
Le plus simple est de dessiner l'allure du graphe (ou le tableau de variation) pour se convaincre que $f$ restreinte à $]-\infty,0]$ définit une bijection vers $]-\infty,2]$ ; $f$ restreinte à $[0,1]$ définit une bijection (décroissante) vers $[1,2]$ ; $f$ restreinte à $[1,+\infty[$ définit une bijection vers $[1,3[$.
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Continuité_|_123
|
951
|
Soit $f(x) = x \sin(\pi x) - \ln(x) - 1$ définie sur $]0,1]$.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$f$ est bornée et atteint ses bornes.",
"$f$ est majorée.",
"$f$ est minorée.",
"Il existe $c \\in ]0,1]$ tel que $f(c)=0$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
Attention l'intervalle de définition n'est pas fermé borné. Par contre la limite de $f$ en $0$ en $+\infty$ et $f(1) = -1$. On en déduit que $f$ n'est pas majorée, par contre elle est minorée, et par la théorème des valeurs intermédiaires, elle s'annule.
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Continuité_|_123
|
952
|
Soit $f : [a,b] \to [c,d]$ continue avec $a < b$, $c < d$, $f(a)=c$, $f(b)=d$. Quelles propriétés impliquent $f$ bijective ?
|
{
"choices": [
"$f$ injective.",
"$f$ surjective.",
"$f$ croissante.",
"$f$ strictement croissante."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Comme $f(a)=c$, $f(b)=d$, alors par le théorème des valeurs intermédiaires, toute valeur entre $c$ et $d$ est atteinte, autrement dit $f$ est surjective.
Si en plus $f$ est injective (ce qui est le cas si $f$ strictement croissante) alors $f$ sera bijective.
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Continuité_|_123
|
953
|
Soit $I$ un intervalle de $\Rr$ et soit $f : I \to \Rr$ une fonction continue. Soit $J=f(I)$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"$J$ est un intervalle.",
"Si $I$ est majoré, alors $J$ est majoré.",
"Si $I$ est fermé borné, alors $J$ est fermé borné.",
"Si $I$ est borné, alors $J$ est borné."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
Par une fonction continue, l'image d'un intervalle est un intervalle ;
l'image d'un intervalle fermé et borné est un intervalle fermé et borné.
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Continuité_|_123
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954
|
Soit $f : I \to J$ une fonction continue, où $I$ et $J$ sont des intervalles de $\Rr$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"Si $f$ surjective et strictement croissante, alors $f$ est bijective.",
"Si $f$ bijective, alors sa bijection réciproque $f^{-1}$ est continue.",
"Si $f$ bijective et $I=\\Rr$, alors $J$ n'est pas un intervalle borné.",
"Si $f$ bijective et $J$ est un intervalle fermé et borné, alors $I$ est un intervalle fermé et borné."
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
La bijection réciproque d'une fonction continue est continue. En particulier cela implique que pour $f^{-1} : J \to I$, si $J$ est un intervalle fermé et borné, alors $I$ aussi.
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Continuité_|_123
|
Subsets and Splits
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