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954
| question
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1.36k
| targets
dict | explanation
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1.3k
⌀ | category
stringclasses 28
values |
|---|---|---|---|---|
801
|
Soit $I$ un intervalle ouvert de $\Rr$. Soient $x,y \in\Rr$ avec $x < y$.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $x,y\\in I$, il existe $c\\in I$ tel que $x < c < y$.",
"Si $x,y\\in I$, alors pour tout $c$ tel que $x < c < y$, on a $c \\in I$.",
"Si $x \\notin I$ et $y\\in I$, il existe $c\\in I$ tel que $x < c < y$.",
"Si $x \\notin I$ et $y\\in I$, il existe $c\\notin I$ tel que $x < c < y$."
],
"labels": [
1,
1,
1,
0
]
}
|
Si $x$ et $y$ sont deux éléments de l'intervalle $I$ alors toute valeur entre $x$ et $y$ est aussi dans l'intervalle.
|
Réels_|_120
|
802
|
Le maximum d'un ensemble $E$, s'il existe, est le réel $m \in E$ tel que pour tout $x\in E$, on a $x \le m$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $E = [3,7]$ alors $8$ est un maximum de $E$.",
"Si $E = [-3,-1]$ alors $-1$ est le maximum de $E$.",
"L'ensemble $E = [-3,-1[$ n'admet pas de maximum.",
"L'ensemble $E = [-3,2[ \\ \\cap \\ ]-1,1]$ n'admet pas de maximum."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Attention, le maximum de $E$ doit être un élément de $E$ !
|
Réels_|_120
|
803
|
On dit que $M \in \Rr$ est un majorant d'un ensemble $E \subset \Rr$ si pour tout $x\in E$, on a $x \le M$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $E = [3,7]$ alors $8$ est un majorant de $E$.",
"Si $E = [-3,-1[$ alors tout $M \\ge -1$ est un majorant de $E$.",
"Si $E = ]0,+\\infty[$ alors tout $M \\ge 0$ est un majorant de $E$.",
"Si $E = [2,3] \\cup [5,10]$ alors tout $M \\ge 3$ est un majorant de $E$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
Tracer les intervalles sur la droite réelle pour mieux comprendre. Les majorants d'un ensemble sont alors tous les réels "à droite" de l'ensemble.
|
Réels_|_120
|
804
|
On dit que $M \in \Rr$ est un majorant d'un ensemble $E \subset \Rr$ si pour tout $x\in E$, on a $x \le M$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Un intervalle non vide et différent de $\\Rr$ admet toujours un majorant.",
"Un intervalle non vide et borné admet au moins deux majorants.",
"Un ensemble qui admet un majorant, en admet une infinité.",
"L'ensemble $\\Nn$ admet une infinité de majorants."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
L'ensemble des majorants (s'il est non vide) est du type $[M,+\infty[$.
|
Réels_|_120
|
805
|
Soit $\displaystyle f(x)=\frac{2}{x}$ et $g(x)=2\sqrt{x}$. On note $\mathcal{C}_f$ (resp. $\mathcal{C}_g$) la courbe représentative de $f$ (resp. $g$). Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"Une équation de la tangente à $\\mathcal{C}_f$ au point $(1,2)$ est $y=-2x+4$.",
"Une équation de la tangente à $\\mathcal{C}_f$ au point $(1,2)$ est $y=-2x+2$.",
"Une équation de la tangente à $\\mathcal{C}_g$ au point $(1,2)$ est $y=x+2$.",
"Une équation de la tangente à $\\mathcal{C}_g$ au point $(1,2)$ est $y=x+1$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Une équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $(a,f(a))$ est :
$$y=f'(a)(x-a)+f(a).$$
Ici, $\displaystyle f'(x)=-\frac{2}{x^2}$ et $\displaystyle g'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$.
|
Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
806
|
Etant donné que $\displaystyle f(3)=1$ et $f'(3)=5$. Une équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $(3,1)$ est :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$y=1(x-3)+5=x+2$",
"$y=1(x-3)-5=x-8$",
"$y=5(x-3)-1=5x-16$",
"$y=5(x-3)+1=5x-14$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
On applique la formule du cours $\displaystyle y=f'(3)(x-3)+f(3)=5(x-3)+1$.
|
Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
808
|
Soit $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{(x-2)^2}$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$f$ est continue et dérivable en $2$.",
"$f$ est continue et non dérivable en $2$.",
"La tangente à $\\mathcal{C}_f$ en $2$ est une droite verticale.",
"La tangente à $\\mathcal{C}_f$ en $2$ est une droite horizontale."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Les théorèmes généraux impliquent que $f$ est continue sur $\Rr$ et est dérivable sur $\Rr\setminus\{2\}$. Mais
$$\lim_{x\to 2^{\pm}}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\to 2^{\pm}}\frac{1}{\sqrt[3]{x-2}}={\pm}\infty $$
Donc, $f$ n'est pas dérivable en $2$ et la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $2$ est une droite verticale.
|
Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
809
|
Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"La dérivée de $f(x)=(2x+1)^2$ est $f'(x)=4(2x+1)$.",
"La dérivée de $f(x)=(2x+1)^2$ est $f'(x)=2(2x+1)$.",
"La dérivée de $f(x)=\\mathrm{e}^{x^2-2x}$ est $f'(x)=2\\mathrm{e}^{x^2-2x}$.",
"La dérivée de $f(x)=\\mathrm{e}^{x^2-2x}$ est $f'(x)=2(x-1)\\mathrm{e}^{x^2-2x}$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
De manière plus générale, $(u^n)'=nu^{n-1}u'$ et $(\mathrm{e}^v)'=v'\mathrm{e}^v$. Il suffit de prendre $u=2x+1$, $n=2$ et $v=x^2-2x$.
|
Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
810
|
Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"La dérivée de $f(x)=\\sin [(2x+1)^2]$ est $f'(x)=2\\cos [(2x+1)^2]$.",
"La dérivée de $f(x)=\\sin [(2x+1)^2]$ est $f'(x)=4(2x+1)\\cos [(2x+1)^2]$.",
"La dérivée de $f(x)=\\tan (1+x^2)$ est $\\displaystyle f'(x)=\\frac{2x}{\\cos ^2(1+x^2)}$.",
"La dérivée de $f(x)=\\tan (1+x^2)$ est $\\displaystyle f'(x)=1+\\tan ^2(1+x^2)$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
De manière plus générale, $(\sin u)'=u'\cos u$ et
$$(\tan v)'=\frac{v'}{\cos ^2v}=v'(1+\tan ^2v).$$
Il suffit de prendre $u=(2x+1)^2$, $v=1+x^2\Rightarrow u'=4(2x+1)$ et $v'=2x$.
|
Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
811
|
Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"La dérivée de $f(x)=\\arcsin (1-2x^2)$ est $\\displaystyle f'(x)=\\frac{-2x}{|x|\\sqrt{1-x^2}}$.",
"La dérivée de $f(x)=\\arcsin (1-2x^2)$ est $\\displaystyle f'(x)=\\frac{1}{\\sqrt{1-2x^2}}$.",
"La dérivée de $f(x)=\\arccos (x^2-1)$ est $\\displaystyle f'(x)=\\frac{2x}{\\sqrt{x^2-1}}$.",
"La dérivée de $f(x)=\\arccos (x^2-1)$ est $\\displaystyle f'(x)=\\frac{-2x}{|x|\\sqrt{2-x^2}}$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
On applique les règles
$$(\arcsin u)'=\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}\mbox{ et }(\arccos v)'=\frac{-v'}{\sqrt{1-v^2}}.$$
Avec $u=1-2x^2$ et $v=x^2-1$, on obtient :
$$(\arcsin (1-2x^2))'=\frac{-2x}{|x|\sqrt{1-x^2}}\mbox{ et }(\arccos (x^2-1))'=\frac{-2x}{|x|\sqrt{2-x^2}}.$$
|
Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
812
|
Soit $\displaystyle f(x)=x^2-\mathrm{e}^{x^2-1}$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$f$ admet un minimum local en $0$.",
"$f$ admet un maximum local en $0$.",
"$f$ admet un point d'inflexion en $0$.",
"la tangente à $\\mathcal{C}_f$ en $0$ est une droite verticale."
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
On calcule $f'(x)=2x-2x\mathrm{e}^{x^2-1}$ et $f''(x)=2-2(1+2x^2)\mathrm{e}^{x^2-1}$. Ensuite, on vérifie que
$$f'(x)=0\mbox{ et }f''(0)=2-2\mathrm{e}^{-1}>0.$$
Donc $f$ admet un minimum local en $0$ et la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $0$ est une droite horizontale.
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Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
813
|
Soit $\displaystyle f(x)=x^4-x^3+1$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$f$ admet un minimum local au point $\\displaystyle \\frac{3}{4}$.",
"$f$ admet un maximum local au point $0$.",
"$f$ admet un minimum local au point $0$.",
"$f$ admet un point d'inflexion au point $0$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
On a $f'\left(\frac{3}{4}\right)=0$ et $f''\left(\frac{3}{4}\right)>0$. Donc $f$ admet un minimum au point $\displaystyle \frac{3}{4}$. On vérifie aussi que $f''$ s'annule en $0$ en changeant de signe. Donc $f$ admet un point d'inflexion au point $0$.
|
Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
814
|
Soit $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x}$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle f''(x)=\\frac{2}{(1+x)^3}$",
"$\\displaystyle f''(x)=\\frac{-2}{(1+x)^3}$",
"pour $n\\in \\Nn^*$, $\\displaystyle f^{(n)}(x)=\\frac{n}{(1+x)^{n+1}}$",
"pour $n\\in \\Nn^*$, $\\displaystyle f^{(n)}(x)=\\frac{(-1)^nn!}{(1+x)^{n+1}}$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
On a $\displaystyle f'(x)=\frac{-1}{(1+x)^2}$, $\displaystyle f''(x)=\frac{2}{(1+x)^3}$ et l'on vérifie, par récurrence, que
$$\forall n\in \Nn^*,\; f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^nn!}{(1+x)^{n+1}}.$$
|
Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
815
|
Soit $\displaystyle f(x)=x^2\mathrm{e}^x$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle f''(x)=(x^2+4x+2)\\mathrm{e}^x$",
"$\\displaystyle f''(x)=2\\mathrm{e}^x$",
"Pour $n\\in \\Nn^*$, $\\displaystyle f^{(n)}(x)=(x^2+2nx+n^2-n)\\mathrm{e}^x$.",
"Pour $n\\in \\Nn^*$, $\\displaystyle f^{(n)}(x)=(x^2+2nx+n)\\mathrm{e}^x$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
On applique la formule de Leibniz
$$\displaystyle f^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^n\mathrm{C}_n^k(x^2)^{(k)}(\mathrm{e}^x)^{(n-k)}=[x^2+2nx+n(n-1)]\mathrm{e}^x.$$
|
Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
816
|
Soit $\displaystyle f(x)=x\ln (1+x)$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle f'(x)=(x)'[\\ln (1+x)]'=1\\times \\frac{1}{1+x}$",
"$\\displaystyle f'(x)=\\ln (1+x)+\\frac{x}{1+x}$",
"Pour $n\\geq 2$, $\\displaystyle f^{(n)}(x)=n\\times \\frac{1}{(1+x)^n}$.",
"Pour $n\\geq 2$, $\\displaystyle f^{(n)}(x)=\\frac{(-1)^{n}(n-2)!}{(1+x)^n}\\left(x+n\\right)$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
On applique la formule de Leibniz
$$\displaystyle f^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^n\mathrm{C}_n^k(x)^{(k)}(\ln (1+x))^{(n-k)}.$$
Mais $\displaystyle \left[\ln (1+x)\right]^{(k)}=\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+x)^k}$. Ce qui donne
$$f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n}(n-2)!}{(1+x)^n}\left(x+n\right).$$
|
Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
817
|
Soit $\displaystyle f(x)=x^4-3x^3+3x^2-x$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"Il existe $a\\in ]0,1[$ tel que $f'(a)=0$.",
"Il existe $a\\in ]0,1[$ où la tangente à $\\mathcal{C}_f$ en $a$ est une droite horizontale.",
"Il existe $a\\in ]0,1[$ où la tangente à $\\mathcal{C}_f$ en $a$ est une droite verticale.",
"$\\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion en $0$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
La fonction $f$ est dérivable sur $\Rr$. En particulier, la tangente à $\mathcal{C}_f$ en un point $a\in \Rr$ ne peut être une droite verticale. Par ailleurs, $f(0)=f(1)=0$. Donc le théorème de Rolle implique l'existence de $a\in ]0,1[$ tel que $f'(a)=0$ et la tangente à $\mathcal{C}_f$ en ce point est une droite horizontale.
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Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
818
|
Soit $a,b\in \Rr$ et $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\displaystyle \mathrm{e}^{x^2+x}&\mbox{si }x\leq 0\\ \\ a \arctan x+b &\mbox{si }x>0.\end{array}\right.$
Quelles valeurs faut-il donner à $a$ et $b$ pour que $f$ soit dérivable sur $\Rr$ ?
|
{
"choices": [
"$a=1$ et $b=0$",
"$a=0$ et $b=1$",
"$a=0$ et $b=0$",
"$a=1$ et $b=1$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
La fonction $f$ est continue sur $\Rr^*$ et pour qu'elle soit continue en $0$, il faut que
$$\lim _{x\to 0^-}f(x)=\lim _{x\to 0^+}f(x)\Rightarrow 1=b.$$
De plus, $f$ est dérivable sur $\Rr^*$ avec
$$f'(x)=\left\{\begin{array}{cl}\displaystyle (2x+1)\mathrm{e}^{x^2+x}&\mbox{si }x<0\\ \\ \displaystyle \frac{a}{1+x^2} &\mbox{si }x>0\end{array}\right.$$
et $f'_g(0)=1$ et $f'_d(0)=a$. Donc, pour que $f$ soit dérivable en $0$, on doit avoir $f'_g(0)=f'_d(0)$. D'où $a=1$.
|
Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
819
|
Soit $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\displaystyle x+x^2\sin \frac{1}{x}&\mbox{si }x\neq 0\\ \\ 0&\mbox{si }x=0.\end{array}\right.$
Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$f$ n'est pas dérivable en $0$.",
"$f$ est dérivable en $0$ est $f'(0)=0$.",
"$f$ est dérivable en $0$ est $f'(0)=1$.",
"Pour $x\\neq 0$, $\\displaystyle f'(x)=1+2x\\sin \\frac{1}{x}-\\cos \\frac{1}{x}$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
On a
$$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\left(1+x\sin \frac{1}{x}\right)=1.$$
Donc, $f$ est dérivable en $0$ et $f'(0)=1$. Par ailleurs, les règles de calcul donnent, pour $x\neq 0$,
$$f'(x)=(x)'+(x^2)'\sin \frac{1}{x}+x^2\left(\sin \frac{1}{x}\right)'=1+2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}.$$
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Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
820
|
Soit $\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{3x^4-4x^3}$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$\\forall x\\in \\Rr$, $f''(x)>0$",
"$f$ admet un minimum en $1$.",
"$f$ admet un maximum en $1$.",
"Il existe $a\\in ]0,1[$ tel que $f''(a)=0$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
On a $f'(x)=(12x^3-12x^2)\mathrm{e}^{3x^4-4x^3}=12x^2(x-1)\mathrm{e}^{3x^4-4x^3}$. On en déduit que $f'(1)=0$ et $f'(x)<0$ pour $x<1$ et $f'(x)>0$ pour $x>1$. Donc $f$ admet un minimum en $1$.
Par ailleurs, $f'(0)=f'(1)=0$ et, puisque $f'$ est continue sur $[0,1]$ et est dérivable sur $]0,1[$, le théorème de Rolle implique qu'il existe $a\in ]0,1[$ tel que $f''(a)=0$.
|
Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
821
|
Soit $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+1}{x+1}$. Quel est l'ensemble $S$ des points $x_0$ où la tangente à $\mathcal{C}_f$ est parallèle à la droite d'équation $y=x$ ?
|
{
"choices": [
"$S=\\{-1\\}$",
"$S=\\{0\\}$",
"$S=\\{0,1\\}$",
"$S=\\varnothing$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
La pente de la droite $y=x$ est $1$, donc la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $x_0$ est parallèle à cette droite si, et seulement si, $f'(x_0)=1$. Une telle équation n'admet pas de solution.
|
Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
822
|
Soit $\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{x+2}$. Quel est l'ensemble $S$ des points $x_0$ où la tangente à $\mathcal{C}_f$ est perpendiculaire à la droite d'équation $y=x$ ?
|
{
"choices": [
"$S=\\{-2\\}$",
"$S=\\{-3\\}$",
"$S=\\{-1,-3\\}$",
"$S=\\varnothing$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
La pente de la droite $y=x$ est $1$, donc la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $x_0$ est perpendiculaire à cette droite si, et seulement si, $f'(x_0)=-1$. C'est-à-dire $x_0=-1$ ou $x_0=-3$.
|
Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
823
|
On considère $\displaystyle f(x)=x^2-x$ sur l'intervalle $[0,1]$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$f$ vérifie les hypothèses du théorème de Rolle et une valeur vérifiant la conclusion de ce théorème est $\\displaystyle \\frac{1}{2}$.",
"$f$ ne vérifie pas les hypothèses du théorème de Rolle.",
"$f$ ne vérifie pas les hypothèses du théorème des accroissements finis.",
"$f$ vérifie les hypothèses du théorème des accroissements finis et une valeur vérifiant la conclusion de ce théorème est $\\displaystyle \\frac{1}{2}$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
La fonction $f$ est continue sur $[0,1]$ et est dérivable sur $]0,1[$. Donc elle vérifie les hypothèses du théorème des accroissements finis, et, comme en plus $f(0)=0=f(1)$, elle vérifie aussi les hypothèses du théorème de Rolle. Les deux théorèmes impliquent l'existence de $c\in ]0,1[$ tel que $f'(c)=0$. Soit $\displaystyle c=\frac{1}{2}$.
|
Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
824
|
Soit $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2\ln (x^2)&\mbox{si }x\neq 0\\ 0&\mbox{si }x=0.\end{array} \right.$
Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$f$ est de classe $\\mathcal{C}^1$ sur $\\Rr$.",
"$\\forall x\\in \\Rr^*$, $\\displaystyle f''(x)=2\\ln x^2+6$",
"$f$ est deux fois dérivables sur $\\Rr$.",
"$f$ est de classe $\\mathcal{C}^2$ sur $\\Rr$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
Les théorèmes généraux assurent que $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\Rr^*$ avec
$$f'(x)=2x\ln (x^2)+2x\mbox{ et }f''(x)=2\ln x^2+6\mbox{ si }x\neq 0$$
et $\displaystyle \lim _{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0=f'(0)$. On a aussi
$$\lim _{x\to 0}f'(x)=0=f'(0) \Rightarrow f'\mbox{ est continue en }0.$$
Ainsi $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\Rr$ et est deux fois dérivable sur $\Rr^*$. Elle n'est pas deux fois dérivables en $0$ car
$$\lim _{x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0}=\lim _{x\to 0}[2\ln (x^2)+2]=-\infty.$$
|
Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
825
|
Soit $f(x)=\arctan x+\arctan \frac{1}{x}$ définie sur $\Rr^*$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$\\forall x\\in \\Rr^*$, $f'(x)=0$",
"$\\forall x\\in \\Rr^*$, $\\displaystyle f(x)=\\frac{\\pi}{2}$",
"La fonction $f$ est paire.",
"$\\displaystyle f(x)=\\frac{\\pi}{2}$ si $x>0$ et $\\displaystyle f(x)=-\\frac{\\pi}{2}$ si $x<0$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
La fonction $f$, tout comme la fonction $\arctan$, est impaire. On calcule $f'(x)$ pour $x\neq 0$ :
$$f'(x)=\frac{1}{1+x^2}+\frac{\left(\frac{1}{x}\right)'}{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}=0$$
Donc $f$ est constante sur chaque intervalle de son domaine de définition :
$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle f(1)=\frac{\pi}{2}&\mbox{si }x>0\\ \\ f(-1)=-\frac{\pi}{2}&\mbox{si }x<0.\end{array}
\right.$$
|
Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
826
|
Soit $f$ une fonction continue sur $[-1,1]$ telle que $f(0)=\pi$ et, pour tout $x\in ]-1,1[$, $\displaystyle f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. Comment peut-on exprimer $f$ ?
|
{
"choices": [
"$f(x)=\\sqrt{1-x^2}-1+\\pi$",
"$f(x)=\\arcsin (x)+\\pi$",
"$\\displaystyle f(x)=-\\arccos x+\\frac{3\\pi}{2}$",
"Une telle fonction $f$ n'existe pas."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
On remarque que $f'(x)=(\arcsin x)'=(-\arccos x)'$. Donc, par continuité,
$$\forall x\in [-1,1],\; f(x)=\arcsin x+C_1=-\arccos x+C_2.$$
Mais $f(0)=\pi \Rightarrow C_1=\pi$ et $\displaystyle C_2=\frac{3\pi}{2}$.
|
Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
827
|
Soit $\displaystyle f(x)=x^3+x^2+x-\frac{13}{12}$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle f(0)=-\\frac{13}{12}<0$ et $\\displaystyle f(1)=-\\frac{1}{12}<0$, donc $f(x)=0$ n'a pas de solution dans $]0,1[$.",
"L'équation $f(x)=0$ admet une solution dans $]0,1[$.",
"Le théorème de Rolle s'applique à une primitive de $f$ sur $[0,1]$.",
"Le théorème de Rolle s'applique à $f$ sur $[0,1]$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Le théorème de Rolle ne s'applique pas à $f$ sur $[0,1]$ car $\displaystyle f(0)\neq f(1)$. Mais on peut l'appliquer à
$$\displaystyle F(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-\frac{13}{12}x.$$
Cette fonction vérifie toutes les hypothèses du théorème, donc
$$\exists c\in ]0,1[,\; F'(c)=0\Leftrightarrow f(c)=0.$$
|
Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
828
|
Soit $f(x)=\tan (x)$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$f(0)=0=f(\\pi)$ et donc il existe $c\\in ]0,\\pi[$ tel que $f'(c)=0$.",
"$f(0)=0=f(\\pi)$ mais il n'existe pas de $c\\in ]0,\\pi[$ tel que $f'(c)=0$.",
"Le théorème de Rolle ne s'applique pas à $f$ sur $[0,\\pi]$ car $f(0)\\neq f(\\pi)$.",
"Le théorème de Rolle ne s'applique pas à $f$ sur $[0,\\pi]$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
On a bien $f(0)=0=f(\pi)$. Mais, pour tout $\displaystyle x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in \Zz$, on a $f'(x)=1+\tan ^2x>0$. On ne peut appliquer le théorème de Rolle à $f$ sur $[0,\pi]$ car $f$ n'est pas définie au point $\displaystyle \frac{\pi}{2}$.
|
Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
829
|
Soit $\displaystyle f:\Rr\to \Rr$ telle que $f(x)=x^3+3x+1$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$\\forall x\\in \\Rr$, $f'(x)>0$",
"$f$ est une bijection et $\\displaystyle (f^{-1})'(1)=\\frac{1}{3}$.",
"$f$ est une bijection et $\\displaystyle (f^{-1})'(1)=\\frac{1}{f'(1)}=\\frac{1}{6}$.",
"$f$ est une bijection et $\\displaystyle (f^{-1})'(x)=\\frac{1}{f'(x)}$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
On a $f'(x)=3x^2+3>0$ pour tout $x\in \Rr$. Ainsi $f$ est continue et est strictement croissante sur $\Rr$. Donc, d'après le théorème de la bijection, $f$ est une bijection et
$$\forall x\in \Rr,\; (f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}(x)\right)}.$$
En particulier, et puisque $f(0)=1$, $\displaystyle (f^{-1})'(1)=\frac{1}{f'(f^{-1}(1))}=\frac{1}{f'(0)}=\frac{1}{3}$.
|
Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
830
|
Soit $f$ une fonction réelle continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$ et telle que $f(a)=f(b)=0$. Soit $\alpha \notin [a,b]$ et $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x-\alpha }$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"On peut appliquer le théorème de Rolle à $g$ sur $[a,b]$.",
"Il existe $c\\in ]a,b[$ tel que $\\displaystyle f'(c)=\\frac{f(c)}{c-\\alpha}$.",
"Il existe $c\\in ]a,b[$ tel que la tangente à $\\mathcal{C}_f$ en $c$ passe par $(\\alpha ,0)$.",
"La dérivée de $g$ est $\\displaystyle g'(x)=\\frac{f'(x)}{(x-\\alpha )^2}$."
],
"labels": [
1,
1,
1,
0
]
}
|
La fonction $g$ est continue sur $[a,b]$ et elle est dérivable sur $]a,b[$ avec
$$g'(x)=\frac{f'(x)(x-\alpha)-f(x)}{(x-\alpha)^2}.$$
De plus $g(a)=g(b)=0$. On peut donc appliquer le théorème de Rolle. Il existe alors $c\in ]a,b[$ tel que $$g'(c)=0\Leftrightarrow f'(c)(c-\alpha)-f(c)\Leftrightarrow f'(c)=\frac{f(c)}{c-\alpha}.$$
La tangente à $\mathcal{C}_f$ en $c$ passe par le point $(\alpha ,0)$.
|
Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
831
|
Soit $n\geq 2$ un entier et $\displaystyle f(x)=\frac{1+x^n}{(1+x)^n}$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$\\displaystyle f'(x)=\\frac{n(x^{n-1}-1)}{(1+x)^{n+1}}$ et $f$ admet un minimum en $1$.",
"$f'(1)\\neq 0$ et donc $f$ n'admet pas d'extremum en $1$.",
"Le théorème de Rolle s'applique à $f$ sur $[-1,1]$ car $f(-1)=f(1)$.",
"$\\forall x\\geq 0,\\; (1+x)^n\\leq 2^{n-1}(1+x^n)$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
La dérivée de $f(x)$ est $\displaystyle f'(x)=\frac{n(x^{n-1}-1)}{(1+x)^{n+1}}$ et $f$ admet bien un minimum en $1$ (dresser le tableau de variations de $f$). En particulier,
$$\forall x\geq 0,\; f(1)\leq f(x)\Leftrightarrow (1+x)^n\leq 2^{n-1}(1+x^n).$$
|
Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
832
|
Soit $f(x)=\mathrm{e}^x$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$f''(x)$ s'annule au moins une fois sur $\\Rr$.",
"$f$ est convexe sur $\\Rr$.",
"$f$ est concave sur $\\Rr$.",
"$\\forall t\\in [0,1]$ et $\\forall x,y\\in \\Rr^{+*}$, on a : $t\\ln x+(1-t)\\ln y\\leq \\ln \\left[tx+(1-t)y\\right]$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
On a $f''(x)=\mathrm{e}^x>0$. Donc $f$ est convexe sur $\Rr$. Ainsi, par définition,
$$\forall t\in [0,1]\; \forall a,b\in \Rr,\; f\left[ta+(1-t)b\right]\leq tf(a)+(1-t)f(b).$$
En prenant $a=\ln x$ et $b=\ln y$, avec $x,y>0$, on aura
$$\mathrm{e}^{t\ln x+(1-t)\ln y}\leq tx+(1-t)y.$$
Il suffit de composer par ln, qui est strictement croissante, pour avoir
$$t\ln x+(1-t)\ln y\leq \ln \left[tx+(1-t)y\right].$$
|
Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
833
|
Soit $f(x)=\ln (x)$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$f''(x)$ s'annule au moins une fois sur $\\Rr^{+*}$.",
"$f$ est convexe sur $\\Rr^{+*}$.",
"$f$ est concave sur $\\Rr^{+*}$.",
"$\\forall t\\in [0,1]$ et $\\forall x,y\\in \\Rr$, on a : $\\mathrm{e}^{tx+(1-t)y}\\leq t\\mathrm{e}^x+(1-t)\\mathrm{e}^y$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
On a $\displaystyle f''(x)=-\frac{1}{x^2}<0$. Donc $f$ est concave sur $\Rr^{+*}$. Ainsi, par définition,
$$\forall t\in [0,1]\; \forall a,b\in \Rr^{+*},\; f\left[ta+(1-t)b\right]\geq tf(a)+(1-t)f(b).$$
En prenant $a=\mathrm{e}^x$ et $b=\mathrm{e}^x$, où $x,y\in \Rr$, on aura
$$\ln\left[t\mathrm{e}^x+(1-t)\mathrm{e}^y\right]\geq tx+(1-t)y.$$
Il suffit de composer par la fonction exponentielle, qui est strictement croissante, pour avoir
$$t\mathrm{e}^x+(1-t)\mathrm{e}^y\geq \mathrm{e}^{tx+(1-t)y}.$$
|
Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
834
|
Soit $f(x)=\arcsin (1-2x^2)$ définie sur $[-1,1]$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$\\forall x\\in [-1,1]$, $\\displaystyle f'(x)=\\frac{-2}{\\sqrt{1-x^2}}$",
"$\\forall x\\in [-1,1]$, $\\displaystyle f(x)=-2\\arcsin x+\\frac{\\pi}{2}$",
"$f'_d(0)=-2$ et $f'_g(0)=2$",
"La fonction $f$ est paire avec $\\displaystyle f(x)=-2\\arcsin x+\\frac{\\pi}{2}$ si $x\\in [0,1]$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
La fonction $f$ est clairement paire. On calcule $f'(x)$ pour $x\in ]0,1[$ :
$$f'(x)=\frac{(1-2x^2)'}{\sqrt{1-(1-2x^2)^2}}=\frac{-2x}{|x|\sqrt{1-x^2}}.$$
Donc, pour $x\in ]0,1[$, $\displaystyle f'(x)=\frac{-2}{\sqrt{1-x^2}}=(-2\arcsin x)'$. Ainsi, par continuité,
$$\forall x\in [0,1],\; f(x)=-2\arcsin x+C.$$
Or $\displaystyle f(0)=\arcsin 1=\frac{\pi}{2}=-2\arcsin 0+C$, donc $\displaystyle C=\frac{\pi}{2}$. Par ailleurs,
$$\left\{\begin{array}{l}f\mbox{ est continue sur }[0,1]\\ f\mbox{ est dérivable sur }]0,1[\\ \displaystyle \lim _{x\to 0^+}f'(x)=-2
\end{array}\right\}\Rightarrow f'_d(0)=-2.$$
On vérifie, de même, que $f'_g(0)=2$.
|
Dérivabilité_des_fonctions_réelles_|_124
|
835
|
Soit $P$ une assertion vraie et $Q$ une assertion fausse. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$P$ ou $Q$",
"$P$ et $Q$",
"non($P$) ou $Q$",
"non($P$ et $Q$)"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
$P$ ou $Q$ est vraie. Comme $P$ et $Q$ est fausse alors non($P$ et $Q$) est vraie.
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
836
|
Par quoi peut-on compléter les pointillés pour avoir les deux assertions vraies ?
$$x\ge 2 \quad \ldots \quad x^2 \ge 4 \qquad \qquad |y| \le 3 \quad \ldots \quad 0 \le y \le 3$$
|
{
"choices": [
"$\\Longleftarrow$ et $\\implies$",
"$\\implies$ et $\\implies$",
"$\\Longleftarrow$ et $\\implies$",
"$\\implies$ et $\\Longleftarrow$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
Si $x\ge 2$ alors $x^2 \ge 4$, la réciproque est fausse.
Si $0 \le y \le 3$ alors $|y| \le 3$, la réciproque est fausse.
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
837
|
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\forall x \\in \\Rr \\quad x^2-x \\ge 0$",
"$\\forall n \\in \\Nn \\quad n^2-n \\ge 0$",
"$\\forall x \\in \\Rr \\quad |x^3-x| \\ge 0$",
"$\\forall n \\in \\Nn \\setminus \\{0,1\\} \\quad n^2-3 \\ge 0$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
1
]
}
|
Attention, $x^2-x$ est négatif pour $x=\frac12$ par exemple !
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
838
|
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\exists x>0 \\quad \\sqrt{x} = x$",
"$\\exists x <0 \\quad \\exp(x) < 0$",
"$\\exists n \\in \\Nn \\quad n^2 = 17$",
"$\\exists z \\in \\Cc \\quad z^2 = -4$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Oui il existe $x>0$ tel que $\sqrt{x} = x$, c'est $x=1$.
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
839
|
Un groupe de coureurs $C$ chronomètre ses temps : $t(c)$ désigne le temps (en secondes) du coureur $c$.
Dans ce groupe Valentin et Chloé ont réalisé le meilleur temps de $47$ secondes. Tom est déçu car il est arrivé troisième, avec un temps de $55$ secondes.
À partir de ces informations, quelles sont les assertions dont on peut déduire qu'elles sont vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\forall c \\in C \\quad t(c) \\ge 47$",
"$\\exists c \\in C \\quad 47 < t(c) < 55$",
"$\\exists c \\in C \\quad t(c) > 47$",
"$\\forall c \\in C \\quad t(c) \\le 55$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
Comme Tom est troisième, il n'existe pas de $c$ tel que $47 < t(c) < 55$.
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
840
|
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"La négation de \"$\\forall x > 0 \\quad \\ln(x) \\le x$\" est \"$\\exists x \\le 0 \\quad \\ln(x) \\le x$\".",
"La négation de \"$\\exists x > 0 \\quad \\ln(x^2) \\neq x$\" est \"$\\forall x > 0 \\quad \\ln(x^2) = x$\".",
"La négation de \"$\\forall x \\ge 0 \\quad \\exp(x) \\ge x$\" est \"$\\exists x \\ge 0 \\quad \\exp(x) \\le x$\".",
"La négation de \"$\\exists x > 0 \\quad \\exp(x) > x$\" est \"$\\forall x > 0 \\quad \\exp(x) < x$\"."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
La négation de "$\forall x > 0 \quad P(x)$" est "$\exists x > 0 \quad$ non($P(x)$)".
La négation de "$\exists x > 0 \quad P(x)$" est "$\forall x > 0 \quad$ non($P(x)$)".
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
841
|
Soit $P$ une assertion fausse, $Q$ une assertion vraie et $R$ une assertion fausse. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$Q$ et ($P$ ou $R$)",
"$P$ ou ($Q$ et $R$)",
"non($P$ et $Q$ et $R$)",
"($P$ ou $Q$) et ($Q$ ou $R$)"
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
Il suffit de remplacer $P$ par "faux", $Q$ par "vrai" et $R$ par "faux". Par exemple "$Q$ et ($P$ ou $R$)" devient "vrai et (faux ou faux)", qui est la même chose que "vrai et faux", qui est donc "faux".
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
842
|
Soient $P$ et $Q$ deux assertions. Quelles sont les assertions toujours vraies (que $P$ et $Q$ soient vraies ou fausses) ?
|
{
"choices": [
"$P$ et non($P$)",
"non($P$) ou $P$",
"non($Q$) ou $P$",
"($P$ ou $Q$) ou ($P$ ou non($Q$))"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
On appelle une tautologie une assertion toujours vraie. C'est par exemple le cas de "non($P$) ou $P$", si $P$ est vraie, l'assertion est vraie, si $P$ est fausse, l'assertion est encore vraie !
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
843
|
Par quoi peut-on compléter les pointillés pour avoir une assertion vraie ?
$$|x^2| < 5 \quad \ldots \quad -\sqrt{5} < x < \sqrt{5}$$
|
{
"choices": [
"$\\Longleftarrow$",
"$\\implies$",
"$\\iff$",
"Aucune des réponses ci-dessus ne convient."
],
"labels": [
1,
1,
1,
0
]
}
|
C'est une équivalence, donc en particulier les implications dans les deux sens sont vraies !
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
844
|
À quoi est équivalent $P \implies Q$ ?
|
{
"choices": [
"non($P$) ou non($Q$)",
"non($P$) et non($Q$)",
"non($P$) ou $Q$",
"$P$ et non($Q$)"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
La définition (à connaître) de "$P \implies Q$" est "non($P$) ou $Q$".
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
845
|
Soit $f : ]0,+\infty[ \to \Rr$ la fonction définie par $f(x) = \frac{1}{x}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\forall x \\in ]0,+\\infty[ \\quad \\exists y \\in \\Rr \\qquad y = f(x)$",
"$\\exists x \\in ]0,+\\infty[ \\quad \\forall y \\in \\Rr \\qquad y = f(x)$",
"$\\exists x \\in ]0,+\\infty[ \\quad \\exists y \\in \\Rr \\qquad y = f(x)$",
"$\\forall x \\in ]0,+\\infty[ \\quad \\forall y \\in \\Rr \\qquad y = f(x)$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
L'ordre des "pour tout" et "il existe" est très important.
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
846
|
Le disque centré à l'origine de rayon $1$ est défini par
$$D = \left\{ (x,y) \in \Rr^2 \mid x^2+y^2 \le 1\right\}.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\forall x \\in [-1,1] \\quad \\forall y \\in [-1,1] \\qquad (x,y) \\in D$",
"$\\exists x \\in [-1,1] \\quad \\exists y \\in [-1,1] \\qquad (x,y) \\in D$",
"$\\exists x \\in [-1,1] \\quad \\forall y \\in [-1,1] \\qquad (x,y) \\in D$",
"$\\forall x \\in [-1,1] \\quad \\exists y \\in [-1,1] \\qquad (x,y) \\in D$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
1
]
}
|
Faire un dessin permet de mieux comprendre la situation !
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
847
|
On définit l'assertion "ou exclusif", noté "xou" en disant que "$P$ xou $Q$" est vraie lorsque $P$ est vraie, ou $Q$ est vraie, mais pas lorsque les deux sont vraies en même temps. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Si \"$P$ ou $Q$\" est vraie alors \"$P$ xou $Q$\" aussi.",
"Si \"$P$ ou $Q$\" est fausse alors \"$P$ xou $Q$\" aussi.",
"\"$P$ xou $Q$\" est équivalent à \"($P$ ou $Q$) et (non($P$) ou non($Q$))\"",
"\"$P$ xou $Q$\" est équivalent à \"($P$ ou $Q$) ou (non($P$) ou non($Q$))\""
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Commencer par faire la table de vérité de "$P$ ou $Q$".
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
848
|
Soient $P$ et $Q$ deux assertions. Quelles sont les assertions toujours vraies (que $P$, $Q$ soient vraies ou fausses) ?
|
{
"choices": [
"($P \\implies Q$) ou ($Q \\implies P$)",
"($P \\implies Q$) ou ($P$ et non($Q$))",
"$P$ ou ($P \\implies Q$)",
"($P \\iff Q$) ou (non($P$) $\\iff$ non($Q$))"
],
"labels": [
1,
1,
1,
0
]
}
|
Tester les quatre possibilités selon que $P,Q$ sont vraies ou fausses.
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
849
|
À quoi est équivalent $P \Longleftarrow Q$ ?
|
{
"choices": [
"non($Q$) ou $P$",
"non($Q$) et $P$",
"non($P$) ou $Q$",
"non($P$) et $Q$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
La définition (à connaître) de "$P \implies Q$" est "non($P$) ou $Q$".
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
850
|
Soit $f : \Rr \to \Rr$ la fonction définie par $f(x)=\exp(x)-1$.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\forall x,x' \\in \\Rr \\qquad x \\neq x' \\implies f(x) \\neq f(x')$",
"$\\forall x,x' \\in \\Rr \\qquad x \\neq x' \\Longleftarrow f(x) \\neq f(x')$",
"$\\forall x,x' \\in \\Rr \\qquad x \\neq x' \\implies (\\exists y \\in \\Rr \\quad f(x) < y < f(x'))$",
"$\\forall x,x' \\in \\Rr \\qquad f(x)\\times f(x') < 0 \\implies x\\times x' < 0$"
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
Dessiner le graphe de $f$ pour mieux comprendre !
Même si $f(x) \neq f(x')$ cela ne veut pas dire que $f(x) < f(x')$, l'inégalité pourrait être dans l'autre sens.
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
851
|
On considère l'ensemble
$$E = \left\{ (x,y) \in \Rr^2 \mid 0 \le x \le 1 \text{ et } y \ge \sqrt{x} \right\}.$$
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\forall y \\ge 0 \\quad \\exists x \\in [0,1] \\qquad (x,y) \\in E$",
"$\\exists y \\ge 0 \\quad \\forall x \\in [0,1] \\qquad (x,y) \\in E$",
"$\\forall x \\in [0,1] \\quad \\exists y \\ge 0 \\qquad (x,y) \\notin E$",
"$\\forall x \\in [0,1] \\quad \\forall y \\ge 0 \\qquad (x,y) \\notin E$"
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
Faire un dessin de l'ensemble $E$.
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
852
|
Soit $f : ]0,+\infty[ \to ]0,+\infty[$ une fonction.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"La négation de \"$\\forall x > 0 \\quad \\exists y > 0 \\quad y \\neq f(x)$\" est \"$\\exists x > 0 \\quad \\exists y > 0 \\quad y = f(x)$\".",
"La négation de \"$\\exists x > 0 \\quad \\forall y > 0 \\quad y \\times f(x)>0$\" est \"$\\forall x > 0 \\quad \\exists y > 0 \\quad y\\times f(x) < 0$\".",
"La négation de \"$\\forall x,x' > 0 \\quad x \\neq x' \\implies f(x) \\neq f(x')$\" est \"$\\exists x,x' > 0 \\quad x = x'$ et $f(x) = f(x')$\".",
"La négation de \"$\\forall x,x' > 0 \\quad f(x) = f(x') \\implies x = x'$\" est \"$\\exists x,x' > 0 \\quad x \\neq x'$ et $f(x) = f(x')$\"."
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
La négation du "$\forall x > 0 \quad \exists y > 0 \ldots$" commence par "$\exists x > 0 \quad \forall y > 0$.
La négation de "$f(x) = f(x') \implies x = x'$" est "$f(x) = f(x')$ et $x \neq x'$".
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
853
|
Je veux montrer que $\frac{n(n+1)}{2}$ est un entier, quelque soit $n\in\Nn$. Quelles sont les démarches possibles ?
|
{
"choices": [
"Montrer que la fonction $x \\mapsto x(x+1)$ est paire.",
"Séparer le cas $n$ pair, du cas $n$ impair.",
"Par l'absurde, supposer que $\\frac{n(n+1)}{2}$ est un réel, puis chercher une contradiction.",
"Le résultat est faux, je cherche un contre-exemple."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
Séparer le cas $n$ pair, du cas $n$ impair. Dans le premier cas, on peut écrire $n=2k$ (avec $k\in \Nn$), dans le second cas $n=2k+1$, puis calculer $\frac{n(n+1)}{2}$.
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
854
|
\qkeeporder
Je veux montrer par récurrence l'assertion $H_n : 2^n > 2n+1$, pour tout entier $n$ assez grand. Quelle étape d'initialisation est valable ?
|
{
"choices": [
"Je commence à $n=0$.",
"Je commence à $n=1$.",
"Je commence à $n=2$.",
"Je commence à $n=3$."
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
L'initialisation peut commencer à n'importe quel entier $n_0 \ge 3$.
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
855
|
Je veux montrer par récurrence l'assertion $H_n : 2^n > 2n+1$, pour tout entier $n$ assez grand. Pour l'étape d'hérédité je suppose $H_n$ vraie, quelle(s) inégalité(s) dois-je maintenant démontrer ?
|
{
"choices": [
"$2^{n+1} > 2n+3$",
"$2^{n} > 2n+1$",
"$2^{n} > 2(n+1)+1$",
"$2^{n}+1 > 2(n+1)+1$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
$H_{n+1}$ s'écrit $2^{n+1} > 2(n+1)+1$, c'est-à-dire $2^{n+1} > 2n+3$.
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
856
|
Chercher un contre-exemple à une assertion du type
"$\forall x \in E$ l'assertion $P(x)$ est vraie" revient à prouver l'assertion :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\exists! x \\in E \\quad$ l'assertion $P(x)$ est fausse.",
"$\\exists x \\in E \\quad$ l'assertion $P(x)$ est fausse.",
"$\\forall x \\notin E \\quad$ l'assertion $P(x)$ est fausse.",
"$\\forall x \\in E \\quad$ l'assertion $P(x)$ est fausse."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
Un contre-exemple, c'est trouver un $x$ qui ne vérifie pas $P(x)$. (Rien ne dit qu'il est unique.)
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
857
|
J'effectue le raisonnement suivant avec deux fonctions $f,g : \Rr \to \Rr$.
$$\forall x \in \Rr \quad f(x)\times g(x) = 0$$
$$\implies \forall x \in \Rr \quad \big(f(x) = 0 \text{ ou } g(x) = 0\big)$$
$$\implies \big(\forall x \in \Rr \quad f(x) = 0\big) \ \text{ ou } \ \big(\forall x \in \Rr \quad g(x) = 0\big)$$
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Ce raisonnement est valide.",
"Ce raisonnement est faux car la première implication est fausse.",
"Ce raisonnement est faux car la seconde implication est fausse.",
"Ce raisonnement est faux car la première et la seconde implication sont fausses."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
On ne peut pas distribuer un "pour tout" avec un "ou".
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
858
|
Je souhaite montrer par récurrence une certaine assertion $H_n$, pour tout entier $n\ge0$.
Quels sont les débuts valables pour la rédaction de l'étape d'hérédité ?
|
{
"choices": [
"Je suppose $H_n$ vraie pour tout $n\\ge0$, et je montre que $H_{n+1}$ est vraie.",
"Je suppose $H_{n-1}$ vraie pour tout $n\\ge1$, et je montre que $H_{n}$ est vraie.",
"Je fixe $n\\ge0$, je suppose $H_n$ vraie, et je montre que $H_{n+1}$ est vraie.",
"Je fixe $n\\ge0$ et je montre que $H_{n+1}$ est vraie."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
La récurrence a une rédaction très rigide. Sinon on raconte vite n'importe quoi !
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
859
|
Je veux montrer que $e^x > x$ pour tout $x$ réel avec $x \ge 1$.
L'initialisation est vraie pour $x=1$, car $e^1 = 2,718\ldots >1$.
Pour l'hérédité, je suppose $e^x>x$ et je calcule :
$$e^{x+1} = e^x \times e > x \times e \ge x \times 2 \ge x + 1.$$
Je conclus par le principe de récurrence.
Pour quelles raisons cette preuve n'est pas valide ?
|
{
"choices": [
"Car il faudrait commencer l'initialisation à $x=0$.",
"Car $x$ est un réel.",
"Car l'inégalité $e^x > x$ est fausse pour $x\\le0$.",
"Car la suite d'inégalités est fausse."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
La récurrence c'est uniquement avec des entiers !
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
860
|
Pour montrer que l'assertion
"$\forall n \in \Nn \quad n^2 > 3n-1$" est fausse,
quels sont les arguments valables ?
|
{
"choices": [
"L'assertion est fausse, car pour $n=0$ l'inégalité est fausse.",
"L'assertion est fausse, car pour $n=1$ l'inégalité est fausse.",
"L'assertion est fausse, car pour $n=2$ l'inégalité est fausse.",
"L'assertion est fausse, car pour $n=1$ et $n=2$ l'inégalité est fausse."
],
"labels": [
0,
1,
1,
1
]
}
|
C'est faux pour $n=1$ et $n=2$, mais bien sûr, un seul cas suffit pour que l'assertion soit fausse.
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
861
|
Le raisonnement par contraposée est basé
sur le fait que "$P \implies Q$" est équivalent à:
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"\"non($P$) $\\implies$ non($Q$)\".",
"\"non($Q$) $\\implies$ non($P$)\".",
"\"non($P$) ou $Q$\".",
"\"$P$ ou non($Q$)\"."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
La contraposée de "$P \implies Q$" est "non($Q$) $\implies$ non($P$)".
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
862
|
Par quelle phrase puis-je remplacer la proposition logique "$P \Longleftarrow Q$" ?
|
{
"choices": [
"\"$P$ si $Q$\"",
"\"$P$ seulement si $Q$\"",
"\"$Q$ est une condition nécessaire pour obtenir $P$\"",
"\"$Q$ est une condition suffisante pour obtenir $P$\""
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
C'est plus facile si on comprend que "$P \Longleftarrow Q$", c'est "$Q \implies P$", autrement dit "si $Q$ est vraie, alors $P$ est vraie".
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
863
|
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"La négation de \"$P \\implies Q$\" est \"non($Q$) ou $P$\"",
"La réciproque de \"$P \\implies Q$\" est \"$Q \\implies P$\"",
"La contraposée de \"$P \\implies Q$\" est \"non($P$) $\\implies$ non($Q$)\"",
"L'assertion \"$P \\implies Q$\" est équivalente à \"non($P$) ou non($Q$)\""
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
Il faut revenir à la définition de "$P \implies Q$" qui est "non($P$) ou $Q$".
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
864
|
Je veux montrer que $\sqrt{13} \notin \Qq$ par un raisonnement par l'absurde. Quel schéma de raisonnement est adapté ?
|
{
"choices": [
"Je suppose que $\\sqrt{13}$ est rationnel et je cherche une contradiction.",
"Je suppose que $\\sqrt{13}$ est irrationnel et je cherche une contradiction.",
"J'écris $13 = \\frac{p}{q}$ (avec $p,q$ entiers) et je cherche une contradiction.",
"J'écris $\\sqrt{13} = \\frac{p}{q}$ (avec $p,q$ entiers) et je cherche une contradiction."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Par l'absurde on suppose que $\sqrt{13} \in \Qq$, c'est-à-dire que c'est un nombre rationnel, autrement dit qu'il s'écrit $\frac{p}{q}$, avec $p$, $q$ entiers. Voir la preuve que $\sqrt{2} \notin \Qq$.
|
Logique_--_Raisonnement_|_100
|
865
|
Soit $\vec{u}(1,1,1), \vec{v}(1,-1,0)$ et $\vec{w}(0,1,1)$ trois vecteurs. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont orthogonaux.",
"$\\vec{v}$ et $\\vec{w}$ sont colinéaires.",
"$(O,\\vec{u},\\vec{v},\\vec{w})$ est un repère de l'espace.",
"$(O,\\vec{u},\\vec{v},\\vec{w})$ est un repère orthonormé de l'espace."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $ \vec{u} \cdot \vec{v}=0$.
$(O,\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ est un repère si et seulement si $\det (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) \neq 0$.
|
Géométrie_dans_l'espace_|_141
|
866
|
Soit $A(1,1,1), B(0,1,1)$ et $C(1,0,1)$ trois points. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$A$, $B$ et $C$ sont alignés.",
"$A,B$ et $C$ forment un triangle d'aire $\\frac{1}{3}$.",
"$A,B$ et $C$ forment un triangle d'aire $\\frac{1}{2}$.",
"Les vecteurs $\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
L'aire du triangle $ABC$ est donnée par : $\frac{1}{2} \Vert \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \Vert$.
|
Géométrie_dans_l'espace_|_141
|
867
|
Soit $\vec{u}(-1,1,1), \vec{v}(0,1,2)$ et $\vec{w}(1,0,-1)$ trois vecteurs. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"L'aire du parallélogramme engendré par $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ est : $\\sqrt 3$.",
"L'aire du parallélogramme engendré par $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ est : $ \\sqrt 6$.",
"Le volume du parallélépipède engendré par $\\vec{u}$, $\\vec{v}$ et $\\vec{w}$ est $1$.",
"Le volume du parallélépipède engendré par $\\vec{u}$, $\\vec{v}$ et $\\vec{w}$ est $2$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
L'aire du parallélogramme engendré par deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est donnée par : $ \Vert \vec{u} \wedge \vec{v} \Vert$.
Le volume du parallélépipède engendré par trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ est donné par : $|\det (\vec{u}, \vec{v},\vec{w})|$.
|
Géométrie_dans_l'espace_|_141
|
868
|
Soit $P$ le plan passant par $A(1,1,0)$ et de vecteur normal $\vec{n}(1,-1,1)$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Une équation cartésienne de $P$ est $x-y+z=1$.",
"Une équation cartésienne de $P$ est $x-y+z=0$.",
"Une représentation paramétrique de $P$ est :"
],
"labels": [
0,
1,
1
]
}
|
Une équation de $P$ est de la forme : $x-y+z+a=0$ et on cherche $a$ pour que $A$ appartienne à $P$. On résout cette équation pour trouver une représentation paramétrique.
|
Géométrie_dans_l'espace_|_141
|
869
|
Soit $P$ le plan passant par $A(-1,1,1)$ et dirigé par les vecteurs
$\vec{u}(0,1,1)$ et $\vec{v}(1,0,1)$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Une équation cartésienne de $P$ est $x+y+z=-1$.",
"Une équation cartésienne de $P$ est $x+y-z=-1$."
],
"labels": [
0,
1
]
}
|
On peut trouver une équation cartésienne, à partir d'une représentation paramétrique, en éliminant les paramètres.
|
Géométrie_dans_l'espace_|_141
|
870
|
Soit $P$ le plan passant par les points $A(0,1,0)$, $B(1,-1,0)$ et $C(0,1,1)$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Une équation cartésienne de $P$ est $2x+z=1$.",
"Une équation cartésienne de $P$ est $2x+y=1$."
],
"labels": [
0,
1
]
}
|
$P$ est le plan passant par $A$ et dirigé par les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
|
Géométrie_dans_l'espace_|_141
|
871
|
Soit $D$ la droite passant par le point $A(2,-1,1)$ et dirigée par le vecteur $\vec{u}(-1,1,0)$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Une représentation cartésienne de $D$ est :",
"Une représentation cartésienne de $D$ est :"
],
"labels": [
1,
0
]
}
|
On peut trouver une représentation cartésienne, à partir d'une représentation paramétrique en éliminant le paramètre.
|
Géométrie_dans_l'espace_|_141
|
872
|
Soit $D$ la droite passant par le point $A(-1,1,2)$ et perpendiculaire au plan d'équation cartésienne : $x+y+z=1$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Une représentation cartésienne de $D$ est :",
"Une représentation cartésienne de $D$ est :"
],
"labels": [
1,
0
]
}
|
$D$ est dirigée par le vecteur $\vec{u}(1,1,1)$.
|
Géométrie_dans_l'espace_|_141
|
873
|
Soit $a$ et $b$ deux réels, $D$ et $D'$ deux droites de représentations paramétriques :
$$D: \left\{\begin{array}{ccl}x&=&1+2t\\y&=&t\\ z&=&-1+at,\quad (t\in \Rr) \end{array}\right. D': \left\{\begin{array}{ccl}x&=&-3+bt\\y&=&-t\\ z&=&1+t,\quad (t\in \Rr) \end{array}\right.
$$ Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$D$ et $D'$ sont parallèles si et seulement si $a=2$ et $b=3$.",
"$D$ et $D'$ sont parallèles si et seulement si $a=-1$ et $b=-2$.",
"$D$ et $D'$ sont orthogonales si et seulement si $a=1$ et $b=0$.",
"$D$ et $D'$ sont orthogonales si et seulement si $a=1-2b, \\, b \\in \\Rr$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Si $D$ est dirigée par un vecteur $\vec{u}$ et $D'$ est dirigée par un vecteur $\vec{v}$, $D$ et $D'$ sont parallèles si et seulement si $\vec{u} \wedge \vec{v} = \overrightarrow 0$. $D$ et $D'$ sont othogonales si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v}=0$.
|
Géométrie_dans_l'espace_|_141
|
874
|
Soit $P : x+y-z=0$, $P' : x-y=2$ et $P'' : y-z=3$ trois plans. L'intersection de ces trois plans est :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Vide.",
"Une droite.",
"Un point.",
"Le point de coordonnées $(-3,-5,-8)$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
On résout le système constitué des équations des trois plans.
|
Géométrie_dans_l'espace_|_141
|
875
|
Soit $P : x-y-z=-2$, $P' : x+z=2$ deux plans et $D$ la droite :
$\left\{\begin{array}{ccl}x&=&1+t\\y&=&2+2t\\ z&=&1-t,\quad (t\in \Rr)\end{array}\right.$ Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$D\\subset P'$",
"$D=P\\cap P'$",
"$D\\cap P=\\emptyset$",
"$D\\cap P'=\\emptyset$"
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
On vérifie que $D=P\cap P'$.
|
Géométrie_dans_l'espace_|_141
|
876
|
Soit $P : x+y-z=1$, $P' : x+z=-1$ deux plans et $Q$ le plan passant par $A(1,1,1)$ et perpendiculaire à $P$ et à $P'$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Une équation cartésienne de $Q$ est $x+2y-z+2=0$.",
"Une équation cartésienne de $Q$ est $x-2y-z+2=0$.",
"Une représentation paramétrique de $Q$ est :",
"Une représentation paramétrique de $Q$ est :"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
| null |
Géométrie_dans_l'espace_|_141
|
877
|
On considère la droite $D : \left\{\begin{array}{ccl}x&=&1-t\\y&=&t\\ z&=&-1+2t,\quad (t \in \Rr) \end{array}\right.$ et le plan $P$ passant par $A(0,1,1)$ et perpendiculaire à $D$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Une équation cartésienne de $P$ est $x-y-2z+3=0$.",
"Une équation cartésienne de $P$ est $x-2y-2z+2=0$.",
"Une représentation paramétrique de $P$ est :",
"Une représentation paramétrique de $P$ est :"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
Un vecteur directeur de $D$ est un vecteur normal à $P$.
|
Géométrie_dans_l'espace_|_141
|
878
|
On considère les deux plans $P : \left\{\begin{array}{ccl}x&=&1+t+s\\y&=&-1+t\\ z&=&2+t-s,\quad (t,s \in \Rr) \end{array}\right.$ et
$P': \left\{\begin{array}{ccl}x&=&3+2t\\y&=&t+s\\ z&=&2+2s,\quad (t,s \in \Rr) \end{array}\right.$ Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$P\\cap P'$ est une droite.",
"$P$ et $P'$ sont perpendiculaires.",
"$P=P'$",
"$P\\cap P' = \\emptyset$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
On vérifie que $P=P'$.
|
Géométrie_dans_l'espace_|_141
|
879
|
Soit $P$ et $P'$ deux plans non parallèles d'équations : $ax+by+cz+d =0$ et $a'x+b'y+c'z+d' =0$ respectivement. Soit $D=P\cap P'$ et $Q$ un plan contenant $D$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Une équation cartésienne de $Q$ est $ax+by+cz+d =0$.",
"Une équation cartésienne de $Q$ est $a'x+b'y+c'z+d' =0$.",
"Une équation cartésienne de $Q$ est de la forme : $\\alpha(ax+by+cz+d)+\\beta(a'x+b'y+c'z+d')=0,$ où $ \\alpha, \\beta \\in \\Rr$ tels que $(\\alpha a+ \\beta a', \\alpha b+ \\beta b', \\alpha c+ \\beta c', \\alpha d+ \\beta d') \\neq (0,0,0,0)$.",
"Si $Q\\neq P'$, une équation cartésienne de $Q$ est de la forme :"
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
$\vec{n}(a,b,c)$ est un vecteur normal à $P$ et $\vec{n'}(a',b',c')$ est un vecteur normal à $P'$, donc un vecteur normal à $Q$ est une combinaison linéaire de $\vec{n}$ et $\vec{n'}$. Par conséquent, une équation cartésienne de $Q$ est de la forme : $\alpha(ax+by+cz)+\beta(a'x+b'y+c'z) + \gamma =0.$ D'autre part, si $A(x_0,y_0,z_0) \in D$, $A \in Q$. On déduit que $\gamma = \alpha d + \beta d'$.
|
Géométrie_dans_l'espace_|_141
|
880
|
Soit $D$ la droite d'équations : $ \left\{\begin{array}{ccl}x+z&=&1\\x-y&=&-1 \end{array}\right.$ et $P$ le plan contenant $D$ et perpendiculaire au plan $Q$ d'équation : $x-z+3=0$. Une équation cartésienne de $P$ est :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$x+z=1$",
"$x+y=0$",
"$y+z=1$",
"$x-y=-1$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
$\vec{u}(1,0,-1)$ est un vecteur normal à $ Q$ qui n'appartient pas au plan vectoriel $x-y=0$. Donc $P$ est différent du plan d'équation : $x-y=-1$ et donc une équation cartésienne de $P$ est de la forme : $(x+z-1) + \alpha(x-y+1)=0, \, \alpha \in \Rr$. On calcule $\alpha$ de sorte que $\vec{u}(1,0,-1)$ soit un vecteur de $P$.
|
Géométrie_dans_l'espace_|_141
|
881
|
Soit $D$ la droite d'équations : $ \left\{\begin{array}{ccl}x-y&=&-1\\y-z&=&0 \end{array}\right.$ et $P$ le plan contenant $D$ et parallèle à la droite d'équations $D' : \left\{\begin{array}{ccl}x+z&=&0\\x-y&=&2 \end{array}\right.$.
Une équation cartésienne de $P$ est :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$x-z=1$",
"$x-y=0$",
"$y-z=0$",
"$x-y=-1$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
$\vec{u}(1,1,-1)$ est un vecteur directeur de la droite $D'$ qui n'appartient pas au plan $y-z=0$ . Donc $P$ est différent du plan d'équation : $y-z=0$ et donc une équation cartésienne de $P$ est de la forme : $(x-y+1) + \alpha(y-z)=0, \, \alpha \in \Rr$. On calcule $\alpha$ de sorte que $\vec{u}(1,1,-1)$ soit un vecteur de $P$.
|
Géométrie_dans_l'espace_|_141
|
882
|
Soit $(P_n), n\in \Nn$, la famille de plans d'équations : $n^2x+(2n-1)y+nz=3$. On note $E$ l'intersection de ces plans, c'est-à-dire $E= \{M(x,y,z) \in \Rr^3; \, M\in P_n, \forall n\in \Nn \}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [],
"labels": []
}
|
Soit $M(x,y,z) \in E$, alors $n^2x+(2n-1)y+nz=3, \, \forall n \in \Nn \Leftrightarrow xn^2+ (2y+z)n-y-3=0, \, \forall n \in \Nn \Leftrightarrow x=0, 2y+z=0$ et $y+3=0$.
|
Géométrie_dans_l'espace_|_141
|
883
|
On considère les droites $D_1 : \left\{\begin{array}{ccl}x&=&z-1\\y&=&2z+1 \end{array}\right.$ et
$D_2 : \left\{\begin{array}{ccl}y&=&3x\\z&=&1 \end{array}\right.$. Soit $P_1$ et $P_2$ des plans parallèles contenant $D_1$ et $D_2$ respectivement. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Une équation cartésienne de $P_1$ est $ 3x-y-z+4=0$.",
"Une équation cartésienne de $P_1$ est $ 4x-y-z+5=0$.",
"Une équation cartésienne de $P_2$ est $ 4x-y-z+1=0$.",
"Une équation cartésienne de $P_2$ est $ 3x-y-z+1=0$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
$D_1$ passe par le point $A_1(-1,1,0)$ et est dirigée par le vecteur $\vec{u_1}(1,2,1)$.
$D_2$ passe par le point $A_2(0,0,1)$ et est dirigée par le vecteur $\vec{u_2}(1,3,0)$. $P_1$ passe donc par $A_1$ est de vecteur normal $\vec{n}=\vec{u_1} \wedge \vec{u_2}$ et $P_2$ passe donc par $A_2$ est de vecteur normal $\vec{n}$.
|
Géométrie_dans_l'espace_|_141
|
884
|
Soit $D_1 : \left\{\begin{array}{ccl}y&=&x+2\\z&=&x \end{array}\right.$,
$D_2 : \left\{\begin{array}{ccl}y&=&2x+1\\z&=&2x-1 \end{array}\right.$ et $\Delta$ une droite parallèle au plan $(xOy)$ et rencontrant les droites $D_1$, $D_2$ et l'axe $(Oz)$.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [],
"labels": []
}
|
$\Delta$ est parallèle au plan $(xOy)$ et rencontre l'axe $(Oz)$, une représentation cartésienne de $\Delta$ est donc de la forme :
$ \left\{\begin{array}{ccl}ax+by&=&0\\z&=&c, \quad a,b,c \in \Rr \end{array}\right.$.
On peut supposer que $b$ est non nul, sinon, $\Delta$ ne rencontre pas $D_1$ ou $D_2$. Par conséquent, une représentation cartésienne de $\Delta$ est donc de la forme :
$ \left\{\begin{array}{ccl}ax+y&=&0\\z&=&b, \quad a,b \in \Rr \end{array}\right.$.
On calcule $a$ et $b$ pour que $\Delta$ rencontre $D_1$ et $D_2$.
|
Géométrie_dans_l'espace_|_141
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885
|
Soit $A(1,1,1)$ et $P$ le plan d'équation cartésienne : $x+y+z+1=0$. La distance de $A$ à $P$ est :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\sqrt 3$",
"$\\frac{4}{\\sqrt 3}$"
],
"labels": [
0,
1
]
}
|
Si $P$ est d'équation $ax+by+cz+d=0$ et $A(x_0,y_0,z_0)$, la distance de $A$ à $P$ est donnée par : $\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
|
Géométrie_dans_l'espace_|_141
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886
|
Soit $A(-1,1,0)$ et $P$ le plan passant par $B(1,0,1)$ et dirigé par les vecteurs $\vec{u}(1,1,1)$ et $\vec{v}(1,0,-1)$. La distance de $A$ à $P$ est :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\sqrt 6$",
"$\\frac{4}{\\sqrt 6}$"
],
"labels": [
0,
0
]
}
|
Si $P$ passe par un point $B$ et est dirigé par des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et $A$ un point, la distance de $A$ à $P$ est donnée par : $\frac{ \vert \det (\overrightarrow{BA}, \vec{u},\vec{v})\vert}{\Vert \vec{u} \wedge \vec{v}\Vert}$.
|
Géométrie_dans_l'espace_|_141
|
887
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Soit $A(2,0,1)$ et $D$ la droite d'équations :
$$\left\{\begin{array}{ccl}x+y-z&=&1\\x-y&=&-1 \end{array}\right.$$
La distance de $A$ à $D$ est :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\sqrt 3$",
"$\\sqrt 2$"
],
"labels": [
0,
0
]
}
|
Si $D$ est une droite qui passe par un point $B$ et dirigée par un vecteur $\vec{u}$ et $A$ un point, la distance de $A$ à $D$ est donnée par : $\frac{ \Vert \overrightarrow{BA} \wedge \vec{u} \Vert}{\Vert \vec{u} \Vert}$.
|
Géométrie_dans_l'espace_|_141
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888
|
On considère les droites $D_1 : \left\{\begin{array}{ccl}x&=&1+t\\y&=&-t\\ z&=&1+t,\quad (t \in \Rr) \end{array}\right.$ et
$D_2 : \left\{\begin{array}{ccl}y&=&2\\x-z&=&2 \end{array}\right.$
La distance entre $D_1$ et $D_2$ est :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\sqrt 2$",
"Les droites se rapprochent autant que l'on veut sans se toucher."
],
"labels": [
1,
0
]
}
|
Si $D_1$ passe par un point $A_1$ et est dirigée par un vecteur $\vec{u_1}$ et
$D_2$ passe par un point $A_2$ et est dirigée par un vecteur $\vec{u_2}$, la distance entre $D_1$ et $D_2$ est donnée par : $\frac{|\det(\overrightarrow{A_1A_2},\vec{u_1}, \vec{u_2})|}{\Vert \vec{u_1} \wedge \vec{u_2} \Vert }$.
|
Géométrie_dans_l'espace_|_141
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889
|
Soit $D$ la droite passant par le point $A(1,-1,0)$ et dirigée par le vecteur $\vec{u}(1,1,-1)$. Soit $M(1,-1,3)$ un point et $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $D$. Les coordonnées de $H$ sont :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [],
"labels": []
}
|
$H\in D$, donc il existe $t \in \Rr$ tel que $H(1+t,-1+t,-t)$. On calcule $t$ en utilisant l'égalité : $\overrightarrow{HM} \cdot \vec{u} = 0$.
|
Géométrie_dans_l'espace_|_141
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890
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On considère les droites $D_1 : \left\{\begin{array}{ccl}x+y-z&=&1\\x-y&=&-1 \end{array}\right.$,
$D_2 : \left\{\begin{array}{ccl}x-y+z&=&-1\\x-z&=&1 \end{array}\right.$
et $\Delta$ la perpendiculaire commune à $D_1$ et $D_2$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [],
"labels": []
}
|
Soit $D_1$ une droite passant par un point $A_1$ et dirigée par un vecteur $\vec{u_1}$ et
$D_2$ une droite passant par un point $A_2$ et dirigée par un vecteur $\vec{u_2}$, telles que $D_1$ et $D_2$ ne soient pas parallèles. Soit $P_1$ le plan passant par $A_1$ et dirigé par les vecteurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_1} \wedge \vec{u_2}$ et
$P_2$ le plan passant par $A_2$ et dirigé par les vecteurs $\vec{u_2}$ et $\vec{u_1} \wedge \vec{u_2}$. Alors, la perpendiculaire commune à $D_1$ et $D_2$ est l'intersection de $P_1$ et $P_2$.
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Géométrie_dans_l'espace_|_141
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891
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Soit $A(1,1,1)$ un point, $D$ la droite $ : \left\{\begin{array}{ccl}x&=&1+z\\y&=&z \end{array}\right.$ et $P$ un plan contenant $D$ et tel que la distance de $A$ à $P$ soit égale à $\frac{1}{\sqrt 2}$. Une équation cartésienne de $P$ est :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [],
"labels": []
}
|
$P$ est différent du plan d'équation $y-z=0$ et $D \subset P$, une équation cartésienne de $P$ est donc de la forme : $(x-z-1)+ \alpha (y-z)=0$. On calcule $\alpha$ pour que la distance de $A$ à $P$ soit égal à $\frac{1}{\sqrt 2}$.
|
Géométrie_dans_l'espace_|_141
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892
|
Soit $P_1 : z+3=0$ et $P_2 : 2x+y+2z-1=0$ des plans et $\pi$ un plan bissecteur de $P_1$ et $P_2$, c'est-à-dire : $M \in \pi$ si et seulement si $M$ est à la même distance de $P_1$ et de $P_2$. Une équation cartésienne de $\pi$ est :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [],
"labels": []
}
|
$M(x,y,z) \in \pi \Leftrightarrow |z+3|=\frac{|2x+y+2z-1|}{3}$.
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Géométrie_dans_l'espace_|_141
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893
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Soit $E$ l'ensemble des points situés à la même distance des axes de coordonnées. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"$E$ est une droite.",
"$E$ est une réunion de droites.",
"$M(x,y,z) \\in E \\Leftrightarrow x=y=z$",
"$M(x,y,z) \\in E \\Leftrightarrow |x|=|y|=|z|$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
$M(x,y,z) \in E \Leftrightarrow \Vert \overrightarrow {OM} \wedge \vec{i} \Vert
= \Vert \overrightarrow {OM} \wedge \vec{j} \Vert = \Vert \overrightarrow {OM} \wedge \vec{k} \Vert$.
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Géométrie_dans_l'espace_|_141
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894
|
Soit $D$ la droite : $\left\{\begin{array}{ccl}x&=&-1+3t\\y&=&1\\z&=&-1-t, \quad t\in \Rr \end{array}\right.$ et $P$ un plan contenant $D$ à une distance de $1$ de l'origine. Une équation cartésienne de $P$ est :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$y=1$",
"$y=1$ ou $4x+3y+12z+13=0$"
],
"labels": [
0,
1
]
}
|
Une représentation cartésienne de $D$ est : $\left\{\begin{array}{ccl}y&=&1\\x+3z+4&=&0 \end{array}\right.$. $P$ est différent du plan $x+3z+4=0$ et $P$ contient $D$, une équation cartésienne de $P$ est donc de la forme : $(y-1)+\alpha(x+3z+4)=0$. On calcule $\alpha$ de sorte que la distance de $P$ à l'origine soit égale à $1$.
|
Géométrie_dans_l'espace_|_141
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895
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On considère les points $A(3,0)$ et $B(0,4)$. Quelle est la distance $d$ entre $A$ et $B$ ?
|
{
"choices": [
"$d=3$",
"$d=4$",
"$d=5$",
"$d=3+4=7$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
D'abord, $\overrightarrow{AB}=(-3,4)$. Donc $d=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.
|
Géométrie_du_plan_|_140
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896
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On considère les vecteurs $\vec{u}=(2,-1)$ et $\vec{v}=(1,-4)$. Quelles sont les bonnes réponses ?
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{
"choices": [
"La norme de $\\vec{u}$ est $\\|\\vec{u}\\|=2-1=1$.",
"La norme de $\\vec{u}$ est $\\|\\vec{u}\\|=\\sqrt{5}$.",
"Le produit scalaire de $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ est $\\vec{u}\\cdot \\vec{v}=(2-1)+(1-4)=-3$.",
"Le produit scalaire de $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ est $\\vec{u}\\cdot \\vec{v}=6$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Penser aux définitions : si $\vec{u}=(x,y)$ et $\vec{v}=(x',y')$ alors
$\vec{u}\cdot \vec{v} = xx'+yy'$ et $\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u}\cdot \vec{u}}
= \sqrt{x^2+y^2}$.
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Géométrie_du_plan_|_140
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897
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On considère les points $A(1,1)$, $B(-1,1)$ et $C(1,-1)$. Quelles sont les bonnes réponses ?
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{
"choices": [
"Les vecteurs $\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{AC}$ sont égaux.",
"$\\overrightarrow{AB}=-\\overrightarrow{AC}$",
"Les vecteurs $\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.",
"Les vecteurs $\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux."
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
D'abord, $\overrightarrow{AB}=(-2,0)$ et $\overrightarrow{AC}=(0,-2)$, et puis le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ est nul. Donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux.
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Géométrie_du_plan_|_140
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898
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Dans un repère orthonormé direct, on considère le point $A$ de coordonnées polaires $r=2$ et $\displaystyle \theta =\frac{\pi}{6}$. Quelles sont les coordonnées cartésiennes $(x,y)$ de $A$ ?
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{
"choices": [
"$x=2$ et $y=2$",
"$x=\\sqrt{3}$ et $y=1$",
"$x=1$ et $y=\\sqrt{3}$",
"$x=1$ et $y=1$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
Les deux systèmes de coordonnées sont reliés par les relations $x=r\cos \theta$ et $y=r\sin \theta $.
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Géométrie_du_plan_|_140
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899
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Dans un repère orthonormé direct, on considère le point $A(1,1)$. Quelles sont les coordonnées polaires $(r,\theta)$ de $A$ ?
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{
"choices": [
"$r=1$ et $\\theta =1$",
"$r=2$ et $\\theta =0$",
"$r=\\sqrt{2}$ et $\\displaystyle \\theta =\\frac{\\pi}{4}+2k\\pi$, $k\\in \\Zz$",
"$r=\\sqrt{2}$ et $\\theta =0+2k\\pi$, $k\\in \\Zz$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
D'abord, $r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ et $\theta $ est solution du système :
$$\left\{\begin{array}{l}\displaystyle \cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ \displaystyle \sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}.\end{array}\right.$$
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Géométrie_du_plan_|_140
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900
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On considère les points $A(0,1)$, $B(2,3)$ et $C(1,1)$. Quelles sont les bonnes réponses ?
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{
"choices": [
"Les droites $(AB)$ et $(OC)$ sont confondues.",
"Les droites $(AB)$ et $(OC)$ sont perpendiculaires.",
"Les droites $(AB)$ et $(OC)$ sont parallèles.",
"Les droites $(AB)$ et $(OC)$ sont sécantes."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
On a $\overrightarrow{AB}=(2,2)=2\overrightarrow{OC}$. Les droites $(AB)$ et $(OC)$ sont parallèles.
|
Géométrie_du_plan_|_140
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901
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On considère les points $A(-1,-1)$, $B(-1,1)$, $C(1,2)$ et $D(1,0)$. Quelles sont les bonnes réponses ?
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{
"choices": [
"Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes.",
"Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.",
"Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.",
"$(ABCD)$ est un parallélogramme."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
On a $\overrightarrow{AB}=(0,2)=-\overrightarrow{CD}$, donc les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. De plus, $AB=CD$, donc $(ABCD)$ est un parallélogramme.
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Géométrie_du_plan_|_140
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Subsets and Splits
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