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int64 0
954
| question
stringlengths 34
1.36k
| targets
dict | explanation
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1.3k
⌀ | category
stringclasses 28
values |
|---|---|---|---|---|
701
|
On considère l'application $f:\Rr\to \Rr$ définie par
$$\forall x\in \Rr,\; f(x)=x^2+1.$$
Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$f^{-1}([1,5])=[-2,2]$",
"$f^{-1}([0,5])=[-2,2]$",
"$f^{-1}([1,5])=[0,2]$",
"$f^{-1}([0,5])=[0,2]$"
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
D'une part, $x\in f^{-1}([1,5])\Leftrightarrow f(x)\in [1,5]\Leftrightarrow x^2\leq 4$. D'autre part, $x\in f^{-1}([0,5])\Leftrightarrow f(x)\in [0,5]\Leftrightarrow x^2\leq 4$. Donc $f^{-1}([1,5])=f^{-1}([0,5])=[-2,2]$.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
|
702
|
On considère l'application $f:\Rr\to \Rr$ définie par
$$\forall x\in \Rr,\; f(x)=\cos (\pi x).$$
Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$f(\\{0,2\\})=\\{1\\}$",
"$f(\\{0,2\\})=\\{0\\}$",
"$f([0,2])=[1,1]$",
"$f([0,2])=[-1,1]$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
D'abord, $f(0)=f(2)=1$. Mais, $f$ est décroissante sur $[0,1]$ et est croissante sur $[1,2]$ avec $f(1)=-1$. Dessiner le graphe de $f$ !
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
|
703
|
On considère l'application $f:\Rr\times \Rr\to \Rr$ définie par
$$f(x,y)=x^2+y^2.$$
Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$f^{-1}(\\{0\\})=\\{(0,0)\\}$",
"$f^{-1}(\\{1\\})=\\{(1,0)\\}$",
"$f^{-1}(\\{0\\})=\\{(0,1)\\}$",
"$f^{-1}(\\{1\\})$ est le cercle de centre $(0,0)$ et de rayon $1$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
D'abord, $x^2+y^2=0\Leftrightarrow (x,y)=(0,0)$. Par ailleurs, l'ensemble des solutions $(x,y)$ de $x^2+y^2=1$ est le cercle de centre $(0,0)$ et de rayon $1$.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
|
704
|
On considère l'application $f:\Rr\setminus\{2\}\to \Rr\setminus \{1\}$ définie par
$$\forall x\in \Rr\setminus\{2\},\; f(x)=\frac{x+1}{x-2}.$$
Quelle est la bonne réponse ?
|
{
"choices": [
"$f$ n'est pas bijective.",
"$f$ est bijective et $\\displaystyle f^{-1}(x)=\\frac{x-2}{x+1}$.",
"$f$ est bijective et $\\displaystyle f^{-1}(x)=\\frac{2x+1}{x-1}$.",
"$f$ est bijective et $\\displaystyle f^{-1}(x)=\\frac{-x+1}{-x-2}$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Tout $y\neq 1$ admet un unique antécédent qui s'écrit $\displaystyle x=\frac{2y+1}{y-1}\in \Rr\setminus\{2\}$. Donc $f$ est bijective et $\displaystyle f^{-1}(y)=\frac{2y+1}{y-1}$.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
|
705
|
Soit $A=\{(x,y)\in \Rr^2\mid 2x-y=1\}$ et $B=\{(t+1,2t+1)\mid t\in \Rr\}$. Que peut-on dire de $A$ et $B$ ?
|
{
"choices": [
"$A\\varsubsetneq B$",
"$B\\varsubsetneq A$",
"$A\\neq B$",
"$A=B$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
D'abord, $2(t+1)-(2t+1)=1$. Donc $B\subset A$. Réciproquement, pour tout $(x,y)\in A$, il existe $t\in \Rr$ tel que $x=t+1$ et donc $y=2t+1$. D'où $(x,y)\in B$.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
|
706
|
Soient $E$ et $F$ deux ensembles non vides et $f$ une application de $E$ dans $F$. Soient $A,B$ deux sous-ensembles de $E$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$f(A\\cup B)=f(A)\\cup f(B)$",
"$f(A\\cup B)\\varsubsetneq f(A)\\cup f(B)$",
"$f(A\\cap B)=f(A)\\cap f(B)$",
"$f(A\\cap B)\\subset f(A)\\cap f(B)$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
On a : $y\in f(A\cup B)\Leftrightarrow \exists x\in A\cup B,\; y=f(x)\Leftrightarrow (\exists x\in A,\; y=f(x))\mbox{ ou }(\exists x\in B,\; y=f(x))\Leftrightarrow (y\in f(A)\mbox{ ou }y\in f(B))$. Par ailleurs, si $y\in f(A\cap B)$, il existe $x\in A\cap B$ tel que $y=f(x)$. Donc $y\in f(A)$ et $y\in f(B)$, c'est-à-dire $y\in f(A)\cap f(B)$.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
|
707
|
Soient $E$ et $F$ deux ensembles non vides et $f$ une application de $E$ dans $F$. Soit $A$ un sous-ensemble de $E$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$A=f^{-1}(f(A))$",
"$A\\subset f^{-1}(f(A))$",
"$f^{-1}(f(A))\\subset A$",
"$f^{-1}(f(A))=E\\setminus A$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
Pour tout $x\in A$, on a $f(x)\in f(A)$, donc $x\in f^{-1}(f(A))$.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
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708
|
Soient $E$ et $F$ deux ensembles non vides et $f$ une application de $E$ dans $F$. Soit $B$ un sous-ensemble de $F$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$B=f(f^{-1}(B))$",
"$B\\subset f(f^{-1}(B))$",
"$f(f^{-1}(B))\\subset B$",
"$f(f^{-1}(B))=F\\setminus B$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Soit $y\in f(f^{-1}(B))$. Donc il existe $x\in f^{-1}(B)$ tel que $y=f(x)$. Mais, $x\in f^{-1}(B)\Leftrightarrow f(x)\in B$. Donc $y=f(x)\in B$.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
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709
|
Soit $E$ un ensemble et $A\subset E$ avec $A\neq E$. Comment choisir $X\subset E$ de sorte que
$$A\cap X=A\quad \mbox{et}\quad A\cup X=E \; ?$$
|
{
"choices": [
"$X=A$",
"$X=E$",
"$X=\\varnothing$",
"$X$ n'existe pas"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
Par définition $A\cap X=A\Rightarrow A\subset X$ et $A\cup X=E\Rightarrow \overline{A}\subset X$. C'est-à-dire $A\cup \overline{A}\subset X$.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
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710
|
Soit $E$ un ensemble et $A\subset E$ avec $A\neq E$. On note $\overline{A}$ le complémentaire de $A$ dans $E$. Comment choisir $X\subset E$ de sorte que
$$A\cap X=\varnothing \quad \mbox{et}\quad A\cup X=E \; ?$$
|
{
"choices": [
"$X=A$",
"$X=E$",
"$X=\\varnothing$",
"$X=\\overline{A}$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
$\{A,X\}$ est une partition de $E$, donc $X=\overline{A}$.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
|
711
|
Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments et $a\in E$. On note $\mathcal{P}_a(E)$ l'ensemble des parties de $E$ qui contiennent $a$. Quel est le cardinal de $\mathcal{P}_a(E)$ ?
|
{
"choices": [
"$\\mathrm{Card}(\\mathcal{P}_a(E))=n-1$",
"$\\mathrm{Card}(\\mathcal{P}_a(E))=n$",
"$\\mathrm{Card}(\\mathcal{P}_a(E))=2^{n-1}$",
"$\\mathrm{Card}(\\mathcal{P}_a(E))=2^n$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Les éléments de $\mathcal{P}_a(E)$ sont de la forme $\{a\}\cup A$ où $A\subset E\setminus \{a\}$. Donc $\mathrm{Card}(\mathcal{P}_a(E))=\mathrm{Card}(\mathcal{P}(E\setminus \{a\}))=2^{n-1}$.
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Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
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712
|
On note $\mathrm{C}^k_n$ le nombre de choix de $k$ éléments parmi $n$. Combien fait $\displaystyle \sum _{k=0}^{100}(-1)^k2^{-k}\mathrm{C}^k_{100}$ ?
|
{
"choices": [
"$0$",
"$2^{-100}$",
"$2^{100}$",
"$100$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
Utiliser le binôme de Newton, $\displaystyle \sum _{k=0}^{100}\mathrm{C}^k_{100}\left(-\frac{1}{2}\right)^k=\left(1-\frac{1}{2}\right)^{100}=\frac{1}{2^{100}}$.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
|
713
|
Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments et $A\subset E$ une partie à $p < n$ éléments. On note $\mathcal{H}(E)$ l'ensemble des parties de $E$ qui contiennent un et un seul élément de $A$. Quel est le cardinal de $\mathcal{H}(E)$ ?
|
{
"choices": [
"$\\mathrm{Card}(\\mathcal{H}(E))=p2^{n-p}$",
"$\\mathrm{Card}(\\mathcal{H}(E))=p$",
"$\\mathrm{Card}(\\mathcal{H}(E))=p2^p$",
"$\\mathrm{Card}(\\mathcal{H}(E))=p2^n$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
Si $A=\{a_1,\dots ,a_p\}$, les éléments de $\mathcal{H}(E)$ sont de la forme $\{a_i\}\cup B$, où $a_i\in A$ et $B\subset E\setminus A$. Donc $\mathrm{Card}(\mathcal{H}(E))=\mathrm{Card}(A)\times \mathrm{Card}(\mathcal{P}(E\setminus A))=p2^{n-p}$.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
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714
|
Soit $f:[-1,1]\to [-1,1]$ l'application définie par
$$\forall x\in [-1,1],\; f(x)=\frac{2x}{1+x^2}.$$
Quelle sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$f$ est injective mais non surjective.",
"$f$ est surjective mais non injective.",
"$f$ n'est ni injective ni surjective.",
"$f$ est bijective et $\\displaystyle f^{-1}(x)=\\frac{x}{1+\\sqrt{1-x^2}}$."
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
Soit $y\in [-1,1]$. On a $\displaystyle f(x)=y\Leftrightarrow yx^2-2x+y=0$. On résout dans $[-1,1]$ cette équation, d'inconnue $x$. Si $y=0$, on aura $x=0$ et si $y\neq 0$, on calcule $\Delta =4(1-y^2)\geq 0$ et donc
$$x=\frac{1-\sqrt{1-y^2}}{y}=\frac{y}{1+\sqrt{1-y^2}}\in [-1,1]\mbox{ car }\frac{1+\sqrt{1-y^2}}{y}\notin [-1,1].$$
Ainsi tout $y\in [-1,1]$ admet un unique antécédent $\displaystyle x=\frac{y}{1+\sqrt{1-y^2}}\in [-1,1]$. Donc $f$ est bijective et $\displaystyle f^{-1}(y)=\frac{y}{1+\sqrt{1-y^2}}$.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
|
715
|
Soit $f(x)= \frac{x^2+3x+2}{x^2-2x-1}$ et $ g(x)= \sqrt{x^2-1}$. On notera $D_f$ et $D_g$ le domaine de définition de $f$ et de $g$ respectivement. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$D_f=]1-\\sqrt 2, 1+\\sqrt 2[$",
"$D_f=\\Rr \\backslash \\{ 1-\\sqrt 2, 1+\\sqrt 2\\}$",
"$D_g=[-1,1]$",
"$D_g=]-\\infty, -1]\\cup [1, +\\infty[$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
$f$ est définie si et seulement si $x^2-2x-1 \neq 0$, c'est-à-dire $x\neq 1-\sqrt 2$ et $x\neq 1+\sqrt 2$.
$g$ est définie si et seulement si $x^2-1 \ge 0$, c'est-à-dire $x\ge 1$ ou $x\le -1$.
|
Fonctions_usuelles_|_126
|
716
|
Soit $ f(x)= \sqrt{\frac{1-x}{2-x}} $ et $g(x)=\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{2-x}}$. On notera $D_f$ et $D_g$ le domaine de définition de $f$ et $g$ respectivement. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$D_f=]-\\infty, 1] \\cup ]2,+\\infty[$",
"$D_f= [1,2[$",
"$D_g=]-\\infty, 1]$",
"$D_g=]-\\infty, 2[$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
$f$ est définie si $x\neq 2$ et $\frac{1-x}{2-x}\ge 0$. On déduit que
$D_f=]-\infty, 1] \cup ]2,+\infty[$. $g$ est définie si $1-x \ge 0$ et $2-x > 0$, c'est-à-dire $x\le 1$.
|
Fonctions_usuelles_|_126
|
717
|
Soit $ f(x)= \ln(\frac{2+x}{2-x}) $ et $g(x)=x^x$. On notera $D_f$ et $D_g$ le domaine de définition des fonctions $f$ et $g$ respectivement. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$D_f=\\Rr\\backslash\\{2\\}$",
"$D_f=]-2,2[$",
"$D_g=\\Rr$",
"$D_g=]0,+\\infty[$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
$f$ est définie si $x\neq 2$ et $\frac{2+x}{2-x}\ge 0$. On déduit que
$D_f=]-2,2[$. Par définition, $g(x)=e^{x\ln x}$. Donc $g$ est définie si $x>0$.
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Fonctions_usuelles_|_126
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718
|
Soit $f(x)= \arcsin (2x), \, g(x)= \arccos (x^2-1) $ et $h(x)= \arctan \sqrt{x}$. On notera $D_f,D_g$ et $D_h$ le domaine de définition de $f, g$ et $h$ respectivement. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$D_f=[-1,1]$",
"$D_g=[-1,1]$",
"$D_g=[-\\sqrt 2, \\sqrt 2]$",
"$D_h=[0,+\\infty[$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
Les fonctions $x\mapsto \arcsin x$ et $x \mapsto \arccos x$ sont définies sur $[-1,1]$ et la fonction $x \mapsto \arctan x$ est définie sur $\Rr$. On déduit que :
$f$ est définie si $-1\le 2x\le 1$, c'est-à-dire $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$,
$g$ est définie si $-1 \le x^2-1 \le 1$, c'est-à-dire $x\in [-\sqrt 2, \sqrt 2]$ et $h$ est définie si $x\ge 0$.
|
Fonctions_usuelles_|_126
|
719
|
Soit $A=\arcsin (\sin \frac{15\pi}{7})$, $B=\arccos (\cos \frac{21\pi}{11})$ et $C=\arctan (\tan \frac{17\pi}{13})$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$A=\\frac{15\\pi}{7}$",
"$A=\\frac{\\pi}{7}$",
"$B=-\\frac{\\pi}{11}$",
"$C=\\frac{4\\pi}{13}$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
On a : $\arcsin x \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}], \forall x \in [-1,1]$, $\arccos x \in [0,\pi], \forall x\in [-1,1]$ et $\arctan x \in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[, \forall x \in \Rr$. En utilisant la périodicité des fonctions sinus, cosinus et tangente, on obtient : $A=\frac{\pi}{7}$, $B=\frac{\pi}{11}$ et $C=\frac{ 4\pi}{13}$.
|
Fonctions_usuelles_|_126
|
720
|
Soit $f(x)= \arcsin (\cos x)$ et $ g(x)= \arccos (\sin x) $. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$f$ est périodique de période $\\pi$.",
"$g$ est périodique de période $2\\pi$.",
"$f$ est une fonction paire.",
"$g$ est une fonction impaire."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Les fonctions $x\ \mapsto \sin x$ et $x \mapsto \cos x$ sont périodiques de période $2\pi$, donc $f$ et $g$ sont de période $2\pi$. La fonction $x \mapsto \cos x$ est paire, donc $f$ l'est aussi. La fonction $x \mapsto \sin x$ est impaire, mais la fonction $x \mapsto \arccos x$ n'est ni paire ni impaire, donc $g$ n'est ni paire ni impaire.
|
Fonctions_usuelles_|_126
|
721
|
Soit $(E)$ l'équation : $\ln (x^2-1) = \ln (x-1) + \ln 2$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(E)$ est définie sur $]-\\infty, -1[ \\cup ]1,+\\infty[$.",
"$(E)$ est définie sur $]1,+\\infty[$.",
"$(E)$ n'admet pas de solution.",
"$(E)$ admet une unique solution $x=1$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
$(E)$ est définie si $x^2-1>0$ et $x-1>0$, c'est-à-dire $x>1$.
Soit $x>1$, alors $(E) \Leftrightarrow \ln (x-1) + \ln (x+1)= \ln (x-1) + \ln 2 \Leftrightarrow \ln (x+1)= \ln 2 \Leftrightarrow x=1$.
|
Fonctions_usuelles_|_126
|
722
|
Soit $(E)$ l'équation : $e^{2x}+e^x-2=0$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(E)$ est définie sur $\\Rr$.",
"Le domaine de définition de $(E)$ est $\\Rr^+$.",
"$(E)$ admet deux solutions distinctes.",
"$(E)$ admet une unique solution $x=0$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
La fonction exponentielle est définie sur $\Rr$, donc $(E)$ est définie sur $\Rr$.
En posant $y=e^x$, on se ramène à résoudre l'équation du second degré $y^2+y-2=0$. En résolvant cette équation, on obtient $y=1$ ou $y=-2$. Par conséquent, $x=0$.
|
Fonctions_usuelles_|_126
|
723
|
Soit $f(x)=\sqrt[3]{1-x^3}$. Quelles sont les assertions vraies ?
%$g(x)=\ln (\frac{x-1}{x+1})$.
|
{
"choices": [
"$f$ est définie sur $\\Rr$.",
"$f$ est croissante.",
"$f$ est une bijection de $\\Rr$ dans $\\Rr$.",
"L'application réciproque de $f$ est $f$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
|
La fonction $x\to \sqrt[3]{x}$ est définie sue $\Rr$, elle est strictement croissante et établit une bijection de $\Rr$ dans $\Rr$. On déduit que $f$ est définie sur $\Rr$, elle est strictement décroissante et établit une bijection de $\Rr$ dans $\Rr$. Soit $y\in \Rr$, on a : $y=\sqrt[3]{1-x^3} \Leftrightarrow 1-x^3=y^3 \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{1-y^3}$. Donc l'application réciproque de $f$ est $f$.
|
Fonctions_usuelles_|_126
|
724
|
Soit $f(x)=\frac{\ln x}{x}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$f$ est définie sur $]0,+\\infty[$.",
"$f$ est croissante sur $]0,+\\infty[$.",
"$f$ est une bijection de $]0,e]$ dans $]-\\infty, \\frac{1}{e}]$.",
"$f$ est une bijection de $[e,+\\infty[$ dans $]0, \\frac{1}{e}]$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
|
$f$ est définie sur $]0,+\infty[$. En étudiant les variations de $f$, $f$ est strictement croissante sur $]0,e]$ et strictement décroissante sur $[e,+\infty[$. D'autre part, $f(]0,e])=]-\infty, \frac{1}{e}]$ et $f([e,+\infty[)=]0, \frac{1}{e}] $. On déduit que $f$ établit une bijection de $]0,e]$ dans $]-\infty, \frac{1}{e}]$ et de $[e,+\infty[$ dans $]0, \frac{1}{e}]$.
|
Fonctions_usuelles_|_126
|
725
|
Soit $f(x)= \sqrt[3]{1-x^2}$ et $ g(x)= e^{\frac{1}{x}}\sqrt[4]{1-|x|} $. On notera $D_f$ et $D_g$ le domaine de définition de $f$ et $g$ respectivement. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$D_f=\\Rr$",
"$D_f=[-1,1]$",
"$D_g= \\Rr^*$",
"$D_g=[-1,0[\\cup ]0,1]$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
la fonction $x\to \sqrt[3]{x}$ est définie sur $\Rr$, donc $D_f=\Rr$. La fonction $x\mapsto \sqrt[4]{x}$ est définie sur $[0,+\infty[$. On déduit que $D_g=[-1,0[\cup ]0,1]$.
|
Fonctions_usuelles_|_126
|
726
|
Soit $(E)$ l'équation : $ 4^x-3^x=3^{x+1}- 2^{2x+1}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$(E)$ est définie sur $\\Rr$.",
"$(E)$ admet une unique solution $x=1$.",
"$(E)$ admet deux solutions distinctes.",
"$(E)$ n'admet pas de solution."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
On a : $(E) \Leftrightarrow 2^{2x}+ 2^{2x+1} = 3^{x+1}+3^x \Leftrightarrow (1+2)2^{2x}=(1+3)3^{x} \Leftrightarrow 2^{2x-2} =3^{x-1} \Leftrightarrow (2x-2)\ln 2=(x-1) \ln 3 \Leftrightarrow x=1$.
|
Fonctions_usuelles_|_126
|
727
|
Soit $(E)$ l'inéquation : $ \ln |1+x|-\ln |2x+1| \le \ln 2$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Le domaine de définition de $(E)$ est $]-\\frac{1}{2}, +\\infty[$.",
"L'ensemble des solutions de $(E)$ est : $ ]-1,-\\frac{3}{5}] \\cup ]-\\frac{1}{3}, + \\infty[$.",
"L'ensemble des solutions de $(E)$ est $]-\\infty, -1[ \\cup ]-1,-\\frac{3}{5}] $.",
"L'ensemble des solutions de $(E)$ est : $]-\\infty, -1[ \\cup ]-1,-\\frac{3}{5}] \\cup [-\\frac{1}{3}, + \\infty[$."
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
Soit $x \in \Rr \backslash \{-1, -\frac{1}{2}\}$. $(E) \Leftrightarrow \ln \vert \frac{x+1}{4x+2} \vert \le 0 \Leftrightarrow \, (E') : \, \vert \frac{x+1}{4x+2} \vert \le 1 $.
%\Leftrightarrow x\ge -\frac{1}{3} \, \mbox{ou} \, x< -\frac{1}{2} $.
Si $x>-\frac{1}{2}$, $(E')\Leftrightarrow -4x-2 \le x+1\le 4x+2 \Leftrightarrow x \ge -\frac{1}{3}$.
Si $x<-\frac{1}{2}$, $(E')\Leftrightarrow -4x-2 \ge x+1 \ge 4x+2 \Leftrightarrow x \le -\frac{3}{5}$.
Par conséquent, l'ensemble des solutions de $(E)$ est $]-\infty, -1[ \cup ]-1,-\frac{3}{5}] \cup [-\frac{1}{3}, + \infty[$.
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Fonctions_usuelles_|_126
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728
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Soit $f(x)= \sin x -x$ et $g(x)= e^x-1-x$ Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"$f(x) \\le 0, \\, \\forall x \\in \\Rr$",
"$f(x) \\le 0, \\, \\forall x\\ge 0$",
"$g(x) \\ge 0, \\, \\forall x\\ge 0$",
"$g(x) \\ge 0, \\, \\forall x \\in \\Rr$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
1
]
}
|
On pourra étudier les variations des fonctions $f$ et $g$. On obtient : $\sin x \le x, \, \forall x\ge 0$ et $e^x \ge 1+x, \, \forall x\in \Rr$.
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Fonctions_usuelles_|_126
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729
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Soit $f(x)=\arcsin x + \arccos x$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Le domaine de définition de $f$ est $[-1,1]$.",
"$\\forall x\\in [-1,1], \\, f(x)=\\frac{\\pi}{2}$",
"$\\forall x\\in [-1,1], \\, f(x)= x$",
"$f$ est une fonction constante."
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
$f$ est définie sur $[-1,1]$, dérivable sur $]-1,1[$ et $f'(x)=0$, $\forall x \in ]-1,1[$. Puisque $]-1,1[$ est un intervalle, on déduit que $f$ est constante sur $]-1,1[$ et comme $f$ est continue sur $[-1,1]$, $f$ est constante sur $[-1,1]$. Or $f(0)=\frac{\pi}{2}$, donc $f(x)=\frac{\pi}{2}, \, \forall x \in [-1,1]$.
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Fonctions_usuelles_|_126
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730
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Soit $f(x)= \arctan x + \arctan (\frac{1}{x})$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"Le domaine de définition de $f$ est $\\Rr^*$.",
"$f$ est une fonction constante.",
"$\\forall x\\in \\Rr^*, \\, f(x)=\\frac{\\pi}{2}$",
"$\\forall x>0, \\, f(x)= \\frac{\\pi}{2}$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
$f$ est définie sur $\Rr^*$, dérivable sur $\Rr^*$ et $f'(x)=0$, $\forall x \in \Rr^*$. Puisque $\Rr^* =]-\infty,0[\cup ]0,+\infty[$, $f$ est constante sur chaque intervalle. Or $f(1)=\frac{\pi}{2}$ et $f(-1)=-\frac{\pi}{2}$, on déduit que $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\pi}{2},& \mbox{si} \, \, x >0 \\ -\frac{\pi}{2},& \mbox{si} \, x <0 \end{array}\right.$.
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Fonctions_usuelles_|_126
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731
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Soit $ f(x)= \frac{2x+1}{x-1}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$y=2$ est une asymptote à la courbe de $f$ en $+\\infty$.",
"La courbe de $f$ admet une asymptote verticale $(x=1)$.",
"Le point de coordonnées $(1,1)$ est un centre de symétrie du graphe de $f$.",
"Le point de coordonnées $(1,2)$ est un centre de symétrie du graphe de $f$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
$\lim_{x\to +\infty}f(x)=2$, donc $y=2$ est une asymptote à la courbe de $f$ en $+\infty$.
$\lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to 1^-}f(x)=-\infty$, donc la droite $x=1$ est une asymptote (verticale) à la courbe de $f$ en $1$.
Le graphe de $f$ admet un centre de symétrie d'abscisse $1$ si et seulement si la fonction $x\to f(1+x)+f(1-x)$ est constante, pour tout $x\neq 0$. Ce qui revient à ce que la fonction $x\to f(x)+f(2-x)$ soit constante, pour tout $x\neq 1$. Or $f(x)+f(2-x)=4=2\times 2, \, \forall x \neq 1$. Donc le point de coordonnées $(1,2)$ est un centre de symétrie du graphe de $f$.
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Fonctions_usuelles_|_126
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732
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Soit $f(x)= (-1)^{E(x)}$, où $E(x)$ est la partie entière de $x$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"$f$ est périodique de période $1$.",
"$f$ est périodique de période $2$.",
"$f$ est une fonction paire.",
"$f$ est bornée."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
$|f(x)|=1$, donc $f$ est bornée.
$\forall x \in \Rr, n\in \Zz, \, E(x+n)= E(x)+n$. On déduit que $f(x+1)=-f(x)$ et $f(x+2)=f(x)$, donc $f$ est de période $2$.
On a : $ \forall x \in \Rr, \, E(x)\le x< E(x)+1$, donc $\forall x \in \Rr, \, -E(x)-1< -x\le - E(x)$, on déduit que : $E(-x)=\left\{\begin{array}{cc}-x,& \mbox{si} \, \, x \in \Zz \\ -E(x)-1,& \mbox{si} \, x \notin \Zz \end{array}\right.$. Il en découle : $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}f(x),& \mbox{si} \, \, x \in \Zz \\ -f(x),& \mbox{si} \, x \notin \Zz \end{array}\right.$. Donc $f$ n'est ni paire ni impaire.
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Fonctions_usuelles_|_126
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733
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Soit $f(x)=\sqrt{\frac{x^3}{x-1}}$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"Le domaine de définition de $f$ est $]-\\infty, 0]\\cup ]1,+\\infty[$.",
"$y=x-\\frac{1}{2}$ est une asymptote à la courbe de $f$ en $+\\infty$.",
"$y=x+\\frac{1}{2}$ est une asymptote à la courbe de $f$ en $+\\infty$.",
"$y=-x-\\frac{1}{2}$ est une asymptote en $-\\infty$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
|
$f$ est définie si $x\neq 1$ et $\frac{x}{x-1}\ge 0$. On déduit que le domaine de définition de $f$ est $]-\infty, 0]\cup ]1,+\infty[$.
$\lim_{x \to \pm \infty}f(x) = + \infty$, $\lim_{x \to + \infty}\frac{f(x)}{x} = 1$, $\lim_{x \to + \infty}(f(x)-x) = \lim_{x \to + \infty}x(\sqrt{\frac{x}{x-1}}-1)= \lim_{x \to + \infty} \frac{x}{(x-1)(\sqrt{\frac{x}{x-1}}+1)}= \frac{1}{2}$. Donc $y=x+\frac{1}{2}$ est une asymptote à la courbe de $f$ en $+\infty$.
$\lim_{x \to - \infty}\frac{f(x)}{x} = -1$, $\lim_{x \to - \infty}(f(x)+x) = \lim_{x \to - \infty}x(1-\sqrt{\frac{x}{x-1}})= -\frac{1}{2}$. Donc $y=-x- \frac{1}{2}$ est une asymptote à la courbe de $f$ en $-\infty$.
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Fonctions_usuelles_|_126
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734
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Soit $f(x)=x+ \sqrt{ 1-x^2}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Le domaine de définition de $f$ est $[-1,1]$.",
"$f$ est croissante sur $[-1,1]$.",
"$f$ établit une bijection de $[0,1]$ dans $[1,\\sqrt 2]$.",
"$f$ établit une bijection de $[-1,\\frac{1}{\\sqrt 2}]$ dans $[-1,\\sqrt 2]$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
$f$ est définie sur $[-1,1]$, dérivable sur $]-1,1[$ et $f'(x)= 1-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$. En étudiant les variations de $f$, on déduit que $f$ établit une bijection de $[-1,\frac{1}{\sqrt 2}]$ dans $[-1,\sqrt 2]$ et de $[\frac{1}{\sqrt 2}, 1]$ dans $[1,\sqrt 2]$.
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Fonctions_usuelles_|_126
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735
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Soit $(E)$ l'équation : $ x^x=(\sqrt x)^{x+1}$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"Le domaine de définition de $(E)$ est $]0,+\\infty[$.",
"$(E)$ n'admet pas de solution.",
"$(E)$ admet deux solutions distinctes.",
"$(E)$ admet une unique solution."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
$(E)$ est définie si $x>0$.
Soit $x>0$, alors $(E) \Leftrightarrow x \ln x = \frac{1}{2}(x+1)\ln x \Leftrightarrow (x-1) \ln x = 0 \Leftrightarrow x=1.$
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Fonctions_usuelles_|_126
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736
|
Soit $(S)$ le système d'équations : $\left\{\begin{array}{ccl}2^x&=&y^2\\2^{x+1}&=&y^{2+x} \end{array}\right.$. On note $E$ l'ensemble des $(x,y)$ qui vérifient $(S)$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Le cardinal de $E$ est $1$.",
"Le cardinal de $E$ est $2$.",
"Le cardinal de $E$ est $4$."
],
"labels": [
0,
1,
0
]
}
|
$(S)$ est défini pour tout $x\in \Rr$ et $y>0$.
Soit $x\in \Rr$ et $y>0$, $(S) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccl}y&=&2^{\frac{x}{2}} \\2^{x+1}&=&2^{x+\frac{x^2}{2}} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccl}y&=&2^{\frac{x}{2}} \\x^2&=&2 \end{array}\right. $.
Donc $E = \{ (\sqrt 2, \sqrt 2^{\sqrt 2})\, ; (-\sqrt 2, \sqrt 2^{-\sqrt 2})\}$ et donc le cardinal de $E$ est $2$.
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Fonctions_usuelles_|_126
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737
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Soit $(E)$ l'équation : $ \cos 2x = \sin x $. on note $\cal{S}$ l'ensemble des solutions de $(E)$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"Le domaine de définition de $(E)$ est $\\Rr$.",
"${\\cal{S}} = \\{\\frac{\\pi}{6} +\\frac{ 2k\\pi}{3}, \\, k\\in \\Zz \\} $",
"${\\cal{S}} = \\{ -\\frac{\\pi}{2} +2k\\pi, \\, k\\in \\Zz \\} $",
"${\\cal{S}} = \\{ \\frac{\\pi}{6} +2k\\pi, \\, k\\in \\Zz \\}$"
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
$(E) \Leftrightarrow \cos 2x = \cos ( \frac{\pi}{2} -x) \Leftrightarrow \exists k\in \Zz; \, 2x = \frac{\pi}{2} -x +2k\pi \, \mbox {ou} \, 2x = -\frac{\pi}{2} +x +2k\pi \Leftrightarrow \exists k\in \Zz;\, x = \frac{\pi}{6} +\frac{ 2k\pi}{3} \, \mbox {ou} \, x = -\frac{\pi}{2} +2k\pi$.
Mais un $x$ de la forme $x = -\frac{\pi}{2} +2k\pi$ peut s'écrire sous la forme
$x = \frac{\pi}{6} +\frac{ 2k'\pi}{3}$.
Donc ${\cal{S}} = \{\frac{\pi}{6} +\frac{ 2k\pi}{3}, \, k\in \Zz \}$.
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Fonctions_usuelles_|_126
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738
|
Soit $f$ une fonction définie par l'équation $(E)$ : $ \arcsin f(x) + \arcsin x = \frac{\pi}{2}$. on notera $D_f$ le domaine de définition de $f$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"$D_f= [-1,1]$",
"$\\forall x \\in [-1,1], \\, f(x)= -\\sqrt{1-x^2}$",
"$\\forall x \\in [0,1], \\, f(x)= \\sqrt{1-x^2}$",
"$f$ est une bijection de $[0,1]$ dans $[0,1]$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
la fonction $x \to \arcsin x$ est définie sur $[-1,1]$ et prend ses valeurs dans $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Si $-1\le x <0$, $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x <0$ et si $0\le x \le 1$, $0\le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$. On déduit que $f$ n'est pas définie si $-1\le x <0$.
Soit $x \in [0,1]$, on a : $(E) \Rightarrow f(x)= \sin (\frac{\pi}{2} - \arcsin x) = \cos (\arcsin x) = \pm \sqrt{1-x^2} $. Or $\arcsin x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $ et la fonction cosinus est positive sur $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, donc $(E) \Rightarrow f(x)= \sqrt{1-x^2}$.
Réciproquement, on considère la fonction $g$ définie sur $[0,1]$ par : $g(x) = \arcsin \sqrt{1-x^2} + \arcsin x$. $g$ est dérivable sur $]0,1[$ et $g'(x)= 0$. Comme $g$ est continue sur $[0,1]$, $g$ est constante sur cet intervalle et en identifiant en $0$, on obtient $g(x)= \frac{\pi}{2},$ pour tout $x \in [0,1]$. On déduit que $f(x) = \sqrt{1-x^2}$, pour tout $x \in [0,1]$.
Soit $x, y \in [0,1]$, on a : $y=\sqrt{1-x^2} \Leftrightarrow x = \sqrt{1-y^2}$. Donc $f$ est une bijection de $[0,1]$ dans $[0,1]$ et $f^{-1} = f$.
|
Fonctions_usuelles_|_126
|
739
|
Soit $f(x)= \arcsin (\frac{2x}{1+x^2})$. On notera $D_f$ le domaine de définition de $f$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"$D_f=[-1,1]$",
"$D_f=\\Rr$",
"Si $x \\in [-1,1] $, $f(x) = 2 \\arctan x$",
"Si $x \\ge 1 $, $f(x) = -2 \\arctan x+\\pi$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
1
]
}
|
$f$ est définie si $-1\le \frac{2x}{1+x^2} \le 1 $, c'est-à-dire $-1-x^2 \le 2x \le 1+x^2$, ce qui revient à : $(x+1)^2\ge 0$ et $(x-1)^2\ge 0$, ce qui est le cas pour tout $x \in \Rr$.
$f$ est dérivable sur $\Rr \backslash \{-1,1\}$ et
$f'(x) = \frac{2(1-x^2)}{|1-x^2|(1+x^2)} = \left\{\begin{array}{cc}\frac{2}{1+x^2},& \mbox{si} \, -1 < x < 1 \\ -\frac{2}{1+x^2},& \mbox{si} \, x > 1 \, \mbox{ou} \, x < -1 \end{array}\right. $. Comme $f$ est continue sur $\Rr$, on déduit que :
$f(x)= \left\{\begin{array}{ccc}2\arctan x + c_1, & \mbox{si} \, -1\le x\le 1 \\ -2\arctan x + c_2, & \mbox{si} \, x\le -1 \\ -2\arctan x + c_3, & \mbox{si} \, x\ge 1 \end{array}\right.$, où $c_1, c_2$ et $c_3$ sont des constantes.
En identifiant en $0$, en $-\infty$ et en $+\infty$, on obtient :
$f(x)= \left\{\begin{array}{ccc}2\arctan x, & \mbox{si} \, -1\le x\le 1 \\ -2\arctan x -\pi, & \mbox{si} \, x\le -1 \\ -2\arctan x +\pi, & \mbox{si} \, x\ge 1 \end{array}\right.$.
|
Fonctions_usuelles_|_126
|
740
|
Soit $f(x)= \arccos (\frac{1-x^2}{1+x^2})$. On notera $D_f$ le domaine de définition de $f$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"$D_f= \\Rr$",
"$D_f=[-1,1]$",
"$ f(x)= 2\\arctan x, \\, \\forall x\\ge 0$",
"$f(x) = 2\\arctan |x|, \\, \\forall x \\in \\Rr$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
|
$f$ est définie si $-1\le \frac{1-x^2}{1+x^2} \le 1 $, ce qui est le cas pour tout $x \in \Rr$.
$f$ est dérivable sur $\Rr^*$ et $f'(x) = \frac{2x}{|x|(1+x^2)} =\left\{\begin{array}{cc}\frac{2}{1+x^2},& \mbox{si} \, x>0 \\ -\frac{2}{1+x^2},& \mbox{si} \, x<0 \end{array}\right. $.
On déduit que
$f(x)= \left\{\begin{array}{cc}2\arctan x + c_1, & \mbox{si} \, x\ge 0 \\ -2\arctan x + c_2, & \mbox{si} \, x\le 0 \end{array}\right. $, où $c_1$ et $ c_2$ sont des constantes.
Comme $f$ est continue en $0$ (ou par identification en $+\infty$ et en $-\infty$), on obtient $c_1=c_2=0$. Ainsi
$f(x)= \left\{\begin{array}{cc}2\arctan x, & \mbox{si} \, x\ge 0 \\ -2\arctan x, & \mbox{si} \, x\le 0 \end{array}\right.$. Donc $f(x) = 2\arctan |x|, \, \forall x \in \Rr$.
|
Fonctions_usuelles_|_126
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741
|
Soit $f(x)= \arcsin (\sin x) + \arccos (\cos x)$. On notera $D_f$ le domaine de définition de $f$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"$D_f=[-1,1]$",
"$\\forall x \\in \\Rr, \\, f(x)=2x$",
"$\\forall x \\in [-\\frac{\\pi}{2}, 0], \\, f(x) = 0$",
"$\\forall x \\in [-\\pi, -\\frac{\\pi}{2}], \\, f(x) = -\\pi -2x$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
$D_f=\Rr$. $f$ est périodique de période $2\pi$. En simplifiant $f$ sur $[-\pi, \pi]$, on obtient :
$f(x) = \left\{\begin{array}{cccc}2x,& \mbox{si} \, 0\le x \le \frac{\pi}{2} \\ \pi ,& \mbox{si} \,\frac{\pi}{2} \le x \le \pi \\ 0 ,& \mbox{si} \,-\frac{\pi}{2} \le x \le 0 \\ -\pi-2x ,& \mbox{si} \, -\pi \le x \le - \frac{\pi}{2} \end{array}\right.$.
|
Fonctions_usuelles_|_126
|
742
|
Soit $f(x)= \exp ( \frac{\ln^2 |x|}{\ln^2 |x|+1})$. On notera $D_f$ le domaine de définition de $f$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"$D_f=]0,+\\infty[$",
"$f$ est paire.",
"$f$ est croissante sur $]0,+\\infty[$.",
"$f$ est une bijection de $]0,1]$ dans $[1,e[$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
$D_f= \Rr^*$. Pour tout $x\in \Rr^*$, $f(-x)=f(x)$, donc $f$ est paire.
$f$ est dérivable sur $\Rr^*$. Si $x>0$, $f'(x)= \frac{2\ln x}{x(\ln^2x+1)^2}f(x)$. En étudiant les variations de $f$, on déduit que $f$ est n'est pas monotone sur $]0,+\infty[$ et qu'elle établit une bijection de $]0,1]$ dans $[1,e[$ et de $[1,+\infty[$ dans $[1,e[$.
|
Fonctions_usuelles_|_126
|
743
|
Soit $f(x)= x^x(1-x)^{1-x}$. On notera $D_f$ le domaine de définition de $f$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"$D_f=]0,1[$",
"L'ensemble des valeurs de $f$ est $[\\frac{1}{2},1[$.",
"$f$ est croissante $]0,1[$.",
"$f$ est une bijection de $[\\frac{1}{2},1[ $ dans $[\\frac{1}{2},1[$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
Par définition, $f(x)= \exp [x\ln x + (1-x)\ln (1-x)]$, on déduit que $D_f=]0,1[$. $f$ est dérivable sur $]0,1[$ et $f'(x)= \ln (\frac{x}{1-x}) f(x)$. En étudiant les variations de $f$, $f$ n'est pas monotone sur $]0,1[$. Elle établit une bijection de $]0,\frac{1}{2}]$ dans $[\frac{1}{2},1[$ et de $[\frac{1}{2},1[ $ dans $[\frac{1}{2},1[$.
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Fonctions_usuelles_|_126
|
744
|
Soit $f(x)= (1+\frac{1}{x})^x$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$D_f=]0,+\\infty[$",
"$\\forall x >0, 1 < f(x) < e$",
"$\\forall x >0, f(x) > e$",
"$\\forall x <-1, f(x) > e$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Par définition, $f(x)= \exp [x\ln (1+\frac{1}{x})]$, on déduit que $f$ est définie si $x\in ]-\infty, -1[\cup ]0,+\infty[$.
$f$ est dérivable sur son domaine de définition et $f'(x)= [\ln (1+\frac{1}{x}) - \frac{1}{x+1}] f(x)$. En étudiant les variations de la fonction $x \mapsto \ln (1+\frac{1}{x}) - \frac{1}{x+1}$, on déduit les variations de $f$. En particulier, $f$ est croissante sur $]-\infty, -1[$ et sur $]0,+\infty[$, $f(]-\infty, -1[)= ]e,+\infty[$ et $f(]0, +\infty[)= ]1,e[$.
|
Fonctions_usuelles_|_126
|
745
|
Soit $(u_n)$ une suite réelle et $\ell \in \Rr$. Comment traduire $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=\ell$ ?
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{
"choices": [
"$\\forall \\varepsilon >0,\\; \\forall n\\in \\Nn,\\; |u_n-\\ell|<\\varepsilon$",
"$\\forall \\varepsilon >0,\\; \\exists n\\in \\Nn,\\; |u_n-\\ell|<\\varepsilon$",
"$\\forall \\varepsilon >0,\\; \\exists n_0\\in \\Nn,\\; \\forall n\\in \\Nn,\\; n>n_0\\Rightarrow |u_n-\\ell|<\\varepsilon$",
"$\\exists \\varepsilon >0,\\; \\exists n_0\\in \\Nn,\\; \\forall n\\in \\Nn,\\; n>n_0\\Rightarrow |u_n-\\ell|<\\varepsilon$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
C'est la définition de $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=\ell$ : $\forall \varepsilon >0,\; \exists n_0\in \Nn,\; \forall n\in \Nn,\; n>n_0\Rightarrow |u_n-\ell|<\varepsilon$.
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Suites_réelles_|_121
|
746
|
Soit $(u_n)$ une suite réelle. Comment traduire $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=+\infty$ ?
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{
"choices": [
"$\\forall A>0,\\; \\forall n\\in \\Nn,\\; u_n>A$",
"$\\forall A>0,\\; \\exists n\\in \\Nn,\\; u_n>A$",
"$\\exists A>0,\\; \\exists n_0\\in \\Nn,\\; \\forall n\\in \\Nn,\\; n>n_0\\Rightarrow u_n>A$",
"$\\forall A>0,\\; \\exists n_0\\in \\Nn,\\; \\forall n\\in \\Nn,\\; n>n_0\\Rightarrow u_n>A$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
C'est la définition $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=+\infty$ : $\forall A>0,\; \exists n_0\in \Nn,\; \forall n\in \Nn,\; n>n_0\Rightarrow u_n>A$.
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Suites_réelles_|_121
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747
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Soit $\displaystyle u_n=\frac{n^2+1}{2n^2-1}$ et $\displaystyle v_n=\frac{2n+1}{n^2-1}$. Quelles sont les bonnes réponses ?
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{
"choices": [
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=\\frac{1}{2}$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=0$",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=2$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=0$",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=\\frac{1}{2}$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=2$",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=2$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=+\\infty$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
D'abord, $\displaystyle u_n=\frac{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(2-\frac{1}{n^2}\right)}=\frac{1+\frac{1}{n^2}}{2-\frac{1}{n^2}}$. Or, $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}\frac{1}{n^2}=0$. Donc $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=\frac{1+0}{2-0}=\frac{1}{2}$. De même, $\displaystyle v_n=\frac{n\left(2+\frac{1}{n}\right)}{n^2\left(1-\frac{1}{n^2}\right)}=\frac{1}{n}\times\frac{2+\frac{1}{n}}{1-\frac{1}{n^2}}$ et donc $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n=0$.
|
Suites_réelles_|_121
|
748
|
Soit $\displaystyle u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ et $\displaystyle v_n=\cos\left(\frac{n^2+1}{n^2-1}\pi\right)$. Quelles sont les bonnes réponses ?
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{
"choices": [
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=1$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=-1$",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=0$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=-1$",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=1$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=1$",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=0$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n$ n'existe pas"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
D'abord, $\displaystyle u_n=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ et donc $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=0$ car $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)=+\infty$. Par ailleurs,
$$\displaystyle \frac{n^2+1}{n^2-1}\pi=\frac{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(1-\frac{1}{n^2}\right)}\pi=\frac{1+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{1}{n^2}}\pi.$$
Donc $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}\frac{n^2+1}{n^2-1}\pi=\pi$, et par suite, $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n=\cos (\pi)=-1$.
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Suites_réelles_|_121
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749
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Soit $\displaystyle u_n=3^n-2^n$ et $\displaystyle v_n=3^n-(-3)^n$. Quelles sont les bonnes réponses ?
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{
"choices": [
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=+\\infty$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=+\\infty$",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=0$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=0$",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=0$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=-\\infty$",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=+\\infty$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n$ n'existe pas"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
D'abord, $\displaystyle u_n=3^n\times \left[1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right]$. Or $\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^n$ est le terme général d'une suite géométrique de limite $0$, donc $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=+\infty\times (1-0)=+\infty$. Par ailleurs, $\displaystyle v_{2n}=0$ et $v_{2n+1}=2\times 3^{2n+1}$. Donc $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_{2n}=0$ et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_{2n+1}=+\infty$. Le théorème des suites extraites implique que $(v_n)$ n'a pas de limite.
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Suites_réelles_|_121
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750
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Soit $\displaystyle u_n=n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$ et $\displaystyle v_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$. Quelles sont les bonnes réponses ?
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{
"choices": [
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=+\\infty$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=1$",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=0$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=1$",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=1$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=1$",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=1$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=\\mathrm{e}$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
On utilise le fait que si $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}a_n=0$, alors les suites $(a_n)$ et $\ln (1+a_n)$ sont équivalentes. Ainsi le terme $u_n$ est équivalent, en $+\infty$, à $\displaystyle n\times \frac{1}{n}=1$. Donc $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=1$ et, puisque $v_n=\mathrm{e}^{u_n}$, $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n=\mathrm{e}$.
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Suites_réelles_|_121
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751
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Soit $\displaystyle u_n=\frac{\cos n}{2n+1}$ et $\displaystyle v_n=\frac{2n+\cos n}{2n+1}$. Quelles sont les bonnes réponses ?
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{
"choices": [
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n$ n'existent pas",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=0$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=+\\infty$",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=0$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=1$",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=1$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=1$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
On utilise le théorème d'encadrement, $\displaystyle 0\leq \left|\frac{\cos n}{2n+1}\right|\leq \frac{1}{2n+1}\underset{+\infty}{\longrightarrow }0$. Donc $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=0$ et, puisque $\displaystyle v_n=\frac{2n}{2n+1}+u_n$, $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n=\lim _{n\to +\infty}\frac{2n}{2n+1}+\lim _{n\to +\infty}u_n=1$.
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Suites_réelles_|_121
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752
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Soit $\displaystyle u_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots +\frac{1}{2^n}$. Quelles sont les bonnes réponses ?
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{
"choices": [
"La suite $(u_n)$ est divergente.",
"La suite $(u_n)$ est strictement croissante.",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=+\\infty$",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=2$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Le terme $u_n$ est la somme des premiers termes de la suite géométrique de raison $\displaystyle \frac{1}{2}$. Donc $(u_n)$ est strictement croissante et
$$u_n=\frac{1-\frac{1}{2^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}=2-\frac{1}{2^n}\underset{+\infty}{\longrightarrow }2.$$
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Suites_réelles_|_121
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753
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Soit $\displaystyle u_n=\ln \left(1+n\mathrm{e}^{-n}\right)$. Quelles sont les bonnes réponses ?
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{
"choices": [
"La suite $(u_n)$ est bornée.",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=+\\infty$",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=0$",
"La suite $(u_n)$ est divergente."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
Par croissances comparées, $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}n\mathrm{e}^{-n}=0$ et, par continuité de la fonction logarithme
$$\lim _{n\to +\infty}u_n=\ln \left[\lim _{n\to +\infty}\left(1+n\mathrm{e}^{-n}\right)\right]=\ln (1)=0.$$
Donc, $(u_n)$ converge et sa limite est $0$. En outre, elle est bornée comme toute suite convergente.
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Suites_réelles_|_121
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754
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Soit $\displaystyle u_n=\sqrt[n]{3+\cos n}$. Quelles sont les bonnes réponses ?
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{
"choices": [
"La suite $(u_n)$ est bornée.",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=1$",
"La suite $(u_n)$ est croissante.",
"La suite $(u_n)$ est divergente."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
On a : $\displaystyle \sqrt[n]{2}\leq u_n\leq \sqrt[n]{4}$. Or
$$\lim _{n\to +\infty}\sqrt[n]{2}=1=\lim _{n\to +\infty}\sqrt[n]{4}.$$
Donc, le théorème d'encadrement implique que $(u_n)$ converge et que sa limite est $1$.
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Suites_réelles_|_121
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755
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Soit $\displaystyle u_n=\frac{2^{n+1}-3^{n+1}}{2^n+3^n}$ et $\displaystyle v_n=\frac{n2^{2n}-3^n}{n2^{2n}+3^n}$. Quelles sont les bonnes réponses ?
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{
"choices": [
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=-3$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=1$",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=+\\infty$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=+ \\infty$",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=-3$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=+\\infty$",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=-\\infty$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=1$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
D'abord, $\displaystyle u_n=\frac{3^{n+1}\times \left[\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}-1\right]}{3^n\times \left[\left(\frac{2}{3}\right)^{n}+1\right]}=3\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}-1}{\left(\frac{2}{3}\right)^n+1}$. Or $\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^n$ est le terme général d'une suite géométrique de limite $0$, donc $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=3\frac{0-1}{0+1}=-3$. De même,
$$\displaystyle v_n=\frac{n(2^2)^n-3^n}{n(2^2)^n+3^n}=\frac{n4^n-3^n}{n4^n+3^n}=\frac{n4^n\times \left[1-\frac{1}{n}\left(\frac{3}{4}\right)^{n}\right]}{n4^n\times \left[1+\frac{1}{n}\left(\frac{3}{4}\right)^{n}\right]}=\frac{1-\frac{1}{n}\left(\frac{3}{4}\right)^{n}}{1+\frac{1}{n}\left(\frac{3}{4}\right)^{n}}.$$
Donc $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n=1$ car $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}\frac{1}{n}=0$ et$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{n}=0$.
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Suites_réelles_|_121
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756
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Soit $\displaystyle u_n=\left(1-\frac{1}{n}\right)^n$ et $\displaystyle v_n=\left(1+\frac{(-1)^{n}}{n}\right)^n$. Quelles sont les bonnes réponses ?
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{
"choices": [
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=\\mathrm{e}^{-1}$",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=\\mathrm{e}^{-1}$",
"La suite $(u_n)$ est divergente.",
"La suite $(v_n)$ est divergente."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
On utilise le fait que si $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}a_n=0$, alors les suites $(a_n)$ et $\ln (1+a_n)$ sont équivalentes. Ainsi
$$\ln (u_n)=n\ln \left(1-\frac{1}{n}\right)\sim n\times \frac{-1}{n}=-1.$$
Donc $(u_n)$ est convergente et sa limite est $\mathrm{e}^{-1}$. On vérifie, de même, que
$$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_{2n}=\mathrm{e}\mbox{ et }\lim _{n\to +\infty}v_{2n+1}=\mathrm{e}^{-1}.$$
Donc, d'après le théorème des suites extraites, $(v_n)$ est divergente.
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Suites_réelles_|_121
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757
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Soit $\displaystyle u_n=\frac{2n^2+1}{n^2+1}$. Quelles sont les bonnes réponses ?
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{
"choices": [
"$\\forall \\varepsilon >0,\\; \\forall n\\in \\Nn,\\; |u_n-2|<\\varepsilon$",
"$\\exists \\varepsilon >0,\\; \\forall n\\in \\Nn,\\; |u_n-2|<\\varepsilon$",
"$\\forall n\\in \\Nn,\\; n>10\\Rightarrow |u_n-2|<10^{-2}$",
"$\\forall \\varepsilon >0,\\; \\exists n_0\\in \\Nn,\\; \\forall n\\in \\Nn,\\; n>n_0\\Rightarrow |u_n-2|<\\varepsilon$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
1
]
}
|
D'abord, $\displaystyle u_n-2=\frac{-1}{n^2+1}$. D'une part, $\displaystyle |u_n-2|\leq 1$ pour tout $n\in \Nn$. D'autre part, si $n>10$ alors $\displaystyle n^2+1>10^2+1>10^2$. C'est-à-dire
$$|u_n-2|=\frac{1}{n^2+1}<10^{-2}.$$
De même, pour tout $\varepsilon >0$, si $n>n_0=E\left(\sqrt{\varepsilon ^{-1}}\right)+1$ alors $\displaystyle |u_n-2|=\frac{1}{n^2+1}<\varepsilon$.
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Suites_réelles_|_121
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758
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Soient $\displaystyle u_n=\sqrt{n^2+4n-1}-n$ et $\displaystyle v_n=\frac{4n-1}{\sqrt{n^2+4n-1}+n}$. Quelles sont les bonnes réponses ?
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{
"choices": [
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=+\\infty$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=0$",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=0$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=2$",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=2$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=2$",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=+\\infty$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=0$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
On multiplie par le terme conjugué, on obtient $\displaystyle u_n=\frac{4n-1}{\sqrt{n^2+4n-1}+n}=v_n$. Ensuite,
$$\frac{4n-1}{\sqrt{n^2+4n-1}+n}=\frac{4n\left(1-\frac{1}{4n}\right)}{n\left(\sqrt{1+\frac{4}{n}-\frac{1}{n^2}}+1\right)}=4\frac{1-\frac{1}{4n}}{\sqrt{1+\frac{4}{n}-\frac{1}{n^2}}+1}\underset{+\infty}{\longrightarrow}2.$$
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Suites_réelles_|_121
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759
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Soit $\displaystyle u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}$. Quelles sont les bonnes réponses ?
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{
"choices": [
"Pour tout $n\\geq 1$, on a $\\displaystyle u_n\\leq 2-\\frac{1}{n}$.",
"La suite $(u_n)$ est divergente.",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=+\\infty$",
"La suite $(u_n)$ est convergente et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n\\leq 2$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
On vérifie par récurrence que $\displaystyle u_n\leq 2-\frac{1}{n}$, donc $(u_n)$ est majorée par $2$. Par ailleurs, il est clair que $(u_n)$ est croissante. Le théorème des suites monotones implique que $(u_n)$ est convergente et que $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n\leq 2$.
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Suites_réelles_|_121
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760
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Soit $\displaystyle u_n=\sin\left(\frac{2n\pi}{3}\right)$ et $\displaystyle v_n=\sin\left(\frac{3}{2n\pi}\right)$. Quelles sont les bonnes réponses ?
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{
"choices": [
"La suite $(u_n)$ diverge et la suite $(v_n)$ converge.",
"Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont divergentes.",
"La suite $(u_n)$ n'a pas de limite et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=0$.",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=0$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=0$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
Par continuité de la fonction sinus, on a :
$$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}\frac{3}{2n\pi}=0\mbox{ donc }\displaystyle \lim _{n\to +\infty}\sin\left(\frac{2n\pi}{3}\right)=\sin\left(\lim _{n\to +\infty}\frac{3}{2n\pi}\right)=\sin 0=0.$$
Ainsi, $(v_n)$ converge et sa limite est $0$. Par ailleurs, $$u_{3n}=\sin (2n\pi)=0\mbox{ et }u_{3n+1}=\sin \left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Donc, d'après le théorème des suites extraites, $(u_n)$ diverge ; elle n'a pas de limite.
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Suites_réelles_|_121
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761
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Soit $\displaystyle u_n=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots+\frac{1}{n^2}$ et $\displaystyle v_n=u_n+\frac{1}{n}$. Quelles sont les bonnes réponses ?
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{
"choices": [
"Si les limites existent, alors $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n<\\lim _{n\\to +\\infty}v_n$.",
"Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont divergentes.",
"Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.",
"Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite finie."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
On vérifie que $(u_n)$ est croissante, $(v_n)$ est décroissante et que
$$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}(u_n-v_n)=0.$$
Donc $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes. En conséquence, elles convergent vers la même limite finie.
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Suites_réelles_|_121
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762
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Soit $(u_n)$ une suite réelle. On suppose que $\displaystyle |u_{n+1}-1|\leq \frac{1}{2}|u_n-1|$ pour tout $n\geq 0$. Que peut-on en déduire ?
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{
"choices": [
"La suite $(u_n)$ est convergente et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=0$.",
"La suite $(u_n)$ est divergente.",
"Pour tout $n\\geq 1$, $\\displaystyle |u_n-1|\\leq \\frac{1}{2^n}|u_0-1|$.",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=1$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
On vérifie par récurrence que $\displaystyle |u_n-1|\leq \frac{1}{2^n}|u_0-1|$, et donc, par passage à la limite, $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}(u_n-1)=0$. C'est-à-dire, $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=1$.
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Suites_réelles_|_121
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763
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Soit $(u_n)$ une suite réelle. On suppose que $\displaystyle u_n\geq \sqrt{n}$ pour tout $n\geq 0$. Que peut-on en déduire ?
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{
"choices": [
"La suite $(u_n)$ n'est pas majorée.",
"La suite $(u_n)$ est croissante.",
"La suite $(u_n)$ est convergente.",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=+\\infty$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Si $(u_n)$ était majorée, il en serait de même pour $\sqrt{n}$ ce qui est absurde. Donc $(u_n)$ est une suite non majorée. Par passage à la limite, on a :
$$\lim _{n\to +\infty}u_n\geq \lim _{n\to +\infty}\sqrt{n}=+\infty\Rightarrow \displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=+\infty.$$
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Suites_réelles_|_121
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764
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Soit $\displaystyle u_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}$. Quelles sont les bonnes réponses ?
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{
"choices": [
"La suite $(u_n)$ est croissante non majorée.",
"La suite $(u_n)$ est divergente.",
"Pour tout $n\\geq 1$, $\\displaystyle u_n=1-\\frac{1}{n+1}$.",
"$(u_n)$ est convergente et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=1$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
Le terme $u_n$ est une somme télescopique. En effet, on vérifie que, pour tout $k\geq 1$,
$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\Rightarrow u_n=1-\frac{1}{n+1}.$$
Donc $(u_n)$ est convergente et sa même limite est $1$.
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Suites_réelles_|_121
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765
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Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a>b>0$. On pose $\displaystyle u_n=\frac{a^n-b^n}{a^n+b^n}$ et $\displaystyle v_n=\frac{na^{2n}-b^{2n}}{a^{2n}+b^{2n}}$. Quelles sont les bonnes réponses ?
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{
"choices": [
"Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont divergentes.",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=1$ et $(v_n)$ est divergente.",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=1$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=+\\infty$",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=0$ et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n=+\\infty$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
D'abord, $\displaystyle u_n=\frac{a^n\times \left[1-\left(\frac{b}{a}\right)^n\right]}{a^n\times \left[1+\left(\frac{b}{a}\right)^n\right]}=\frac{1-\left(\frac{b}{a}\right)^n}{1+\left(\frac{b}{a}\right)^n}$. Or $\displaystyle \left(\frac{b}{a}\right)^n$ est le terme général d'une suite géométrique de limite $0$, donc $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=1$. De même,
$$\displaystyle v_n=\frac{na^{2n}\times \left[1-\frac{1}{n}\left(\frac{b}{a}\right)^{2n}\right]}{a^{2n}\times \left[1+\left(\frac{b}{a}\right)^{2n}\right]}=n\frac{1-\frac{1}{n}\left(\frac{b}{a}\right)^{2n}}{1+\left(\frac{b}{a}\right)^{2n}}.$$
Donc $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n=+\infty$ car $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}\frac{1-\frac{1}{n}\left(\frac{b}{a}\right)^{2n}}{1+\frac{1}{n}\left(\frac{b}{a}\right)^{2n}}=1$.
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Suites_réelles_|_121
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766
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Soit $\displaystyle u_n=\left|\frac{1}{n}-\frac{2}{n}+\frac{3}{n}-\dots+\frac{(-1)^{n-1}n}{n}\right|$. Quelles sont les bonnes réponses ?
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{
"choices": [
"La suite $(u_n)$ est monotone.",
"Les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite.",
"La suite $(u_n)$ est divergente.",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=\\frac{1}{2}$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
On vérifie que, pour tout $n\geq 1$,
$$u_{2n}=\frac{1}{2}\mbox{ et }u_{2n+1}=\frac{n+1}{2n+1}.$$
Donc les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite, à savoir $\displaystyle \frac{1}{2}$. D'après le théorème des suites extraites, la suite $(u_n)$ converge aussi vers $\displaystyle \frac{1}{2}$.
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Suites_réelles_|_121
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767
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On considère les suites de termes généraux $\displaystyle u_n=\sum _{k=1}^n\frac{(-1)^k}{k}$, $\displaystyle v_n=\sum _{k=1}^{2n}\frac{(-1)^k}{k}$ et $\displaystyle w_n=\sum _{k=1}^{2n+1}\frac{(-1)^k}{k}$. Quelles sont les bonnes réponses ?
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{
"choices": [
"Les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ sont convergentes.",
"La suite $(u_n)$ est convergente.",
"La suite $(u_n)$ est divergente.",
"L'une au moins des suites $(v_n)$ ou $(w_n)$ est divergente."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
On vérifie que $(v_n)$ est décroissante, $(w_n)$ est croissante et que $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}(v_n-w_n)=0$. Donc ces deux suites sont adjacentes. En particulier, elles convergent et elles ont la même limite $\ell \in \Rr$. Or $v_n=u_{2n}$ et $w_n=u_{2n+1}$, donc, d'après le théorème des suites extraites, la suite $(u_n)$ converge aussi vers $\displaystyle \ell$.
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Suites_réelles_|_121
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768
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Soit $a>0$. On définit par récurrence une suite $(u_n)_{n\geq 0}$ par $u_0>0$ et, pour $n\geq 0$, $\displaystyle u_{n+1}= \frac{u_n^2+a^2}{2u_n}$. Que peut-on en déduire ?
|
{
"choices": [
"Le terme $u_n$ n'est pas défini pour tout $n\\in \\Nn$.",
"$\\forall n\\in \\Nn^*$, $u_n \\geq a$, et $(u_n)_{n\\geq 1}$ est décroissante.",
"Pour tout $n\\in \\Nn$, $\\displaystyle \\left|u_{n+1}-a\\right|\\leq \\frac{\\left|u_1-a\\right|}{2^n}$.",
"La suite $(u_n)$ est divergente."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Par récurrence, $u_n>0$ pour tout $n\in \Nn$. Donc $(u_n)$ est bien définie. D'autre part,
$$\displaystyle 0\leq (u_n-a)^2=u_n^2+a^2-2au_n \Rightarrow a\leq \frac{u_n^2+a^2}{2u_n}.$$
Donc $u_{n+1}\geq a>0$ pour tout $n\in \Nn$. On en déduit que
$$\displaystyle u_{n+1}-u_n=\frac{a^2-u_n^2}{2u_n}\leq 0,\mbox{ pour }n\geq 1,$$
donc $(u_n)_{n\geq 1}$ est décroissante. On vérifie aussi par récurrence que $\displaystyle \left|u_{n+1}-a\right|\leq \frac{\left|u_1-a\right|}{2^n}$, et donc, par passage à la limite, $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}(u_n-a)=0$. C'est-à-dire, $(u_n)$ est convergente et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=a$.
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Suites_réelles_|_121
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769
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Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles. On suppose que $(v_n)$ est croissante non majorée et que $\displaystyle v_n < u_n$ pour tout $n\geq 0$. Que peut-on en déduire ?
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{
"choices": [
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n<\\lim _{n\\to +\\infty}u_n$",
"La suite $(u_n)$ est divergente.",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}v_n\\leq u_0$",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=+\\infty$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
La suite $(v_n)$ est croissante non majorée, donc sa limite est $+\infty$. Il en est de même pour la limite de $(u_n)$, c'est-à-dire $(u_n)$ est divergente et sa limite est $+\infty$.
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Suites_réelles_|_121
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770
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Soit $(u_n)$ une suite croissante. On suppose que $\displaystyle u_{n+1}-u_n\leq \frac{1}{2^n}$ pour tout $n\geq 0$. Que peut-on en déduire ?
|
{
"choices": [
"$(u_n)$ est divergente.",
"$(u_n)$ est bornée et $u_0\\leq u_n\\leq u_0+2$.",
"$(u_n)$ est convergente et $\\displaystyle u_0\\leq \\lim _{n\\to +\\infty}u_n\\leq u_0+2$.",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=+\\infty$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
On vérifie par récurrence que
$$\displaystyle u_0\leq u_n\leq u_0+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}=u_0+2-\frac{1}{2^{n-1}}.$$
Donc, $u_0\leq u_n\leq u_0+2$. Étant à la fois croissante est majorée, la suite $(u_n)$ est convergente et, par passage à la limite, $\displaystyle u_0\leq \lim _{n\to +\infty}u_n\leq u_0+2$.
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Suites_réelles_|_121
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771
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Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ la suite définie par $u_0\geq 0$ et $\displaystyle u_{n+1}= \ln(1+u_n)$. Que peut-on en déduire ?
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{
"choices": [
"Une telle suite $(u_n)$ n'existe pas.",
"$\\forall n\\in \\Nn^*$, $u_n \\geq 0$, et $(u_n)$ est décroissante",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=+\\infty$",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=0$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
On vérifie par récurrence que $\displaystyle 0\leq u_n$ pour tout $n\geq 0$. Donc la suite $(u_n)$ est bien définie. On vérifie aussi que $\ln (1+x)\leq x$ pour tout réel $x\geq 0$. En particulier,
$$u_{n+1}=\ln (1+u_n)\leq u_n.$$
Donc $(u_n)$ est décroissante. Étant à la fois décroissante est minorée, la suite $(u_n)$ est convergente et sa limite est l'unique solution de l'équation $x=\ln (1+x)$. Soit $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=0$.
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Suites_réelles_|_121
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772
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Soit $(u_n)$ une suite croissante. On suppose que $\displaystyle 0\leq u_{n+1}\leq \frac{1}{2}u_n+\frac{1}{2^n}$ pour tout $n\geq 0$. Quelles sont les bonnes réponses ?
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{
"choices": [
"$(u_n)$ est majorée.",
"$(u_n)$ est divergente.",
"$(u_n)$ est convergente et $\\displaystyle 0\\leq \\lim _{n\\to +\\infty}u_n\\leq 2$.",
"$u_n=0$ pour tout $n\\geq 1$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
|
On vérifie par récurrence que, pour tout $n\geq 1$,
$$\displaystyle 0\leq u_n\leq \frac{1}{2^n}u_0+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{1}{2^n}u_0+2-\frac{1}{2^{n-1}}.$$
Donc, $(u_n)$ est majorée car $\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}\underset{+\infty}{\longrightarrow}0$. \'Etant à la fois croissante est majorée, la suite $(u_n)$ converge vers $\ell \in \Rr$ et, par passage à la limite, $\displaystyle 0\leq \ell\leq 2$. Par ailleurs, l'hypothèse faite sur $u_n$ donne
$$0\leq \ell \leq \frac{\ell}{2} \Rightarrow \ell =0$$
et comme $(u_n)_{n\geq 1}$ est croissante positive, $u_n=0$ pour tout $n\geq 1$.
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Suites_réelles_|_121
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773
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Soit $(u_n)$ une suite croissante. On suppose que $\displaystyle u_n+\frac{1}{n+1}\leq u_{n+1}$ pour tout $n\geq 0$. Quelles sont les bonnes réponses ?
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{
"choices": [
"$(u_n)$ est majorée.",
"$(u_n)$ est divergente.",
"$(u_n)$ est convergente et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n\\geq 0$.",
"$u_n=0$ pour tout $n\\geq 1$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
On vérifie par récurrence que, pour tout $n\geq 1$,
$$\displaystyle u_0+1+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{n}\leq u_n.$$
Donc, $(u_n)$ n'est pas majorée car sinon, il en serait de même pour la suite de terme général $\displaystyle v_n=1+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{n}$ et on sait que $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n=+\infty$.
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Suites_réelles_|_121
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774
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On admet que $\forall x \in [0,1[$, $\ln (1+x)\leq x\leq -\ln (1-x)$. Soit $\displaystyle u_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}$, $n\geq 1$. Quelles sont les bonnes réponses ?
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{
"choices": [
"La suite $(u_n)$ est croissante non majorée.",
"Pour tout $n\\geq 1$, $\\displaystyle \\ln \\left(\\frac{2n+1}{n+1}\\right)\\leq u_n\\leq \\ln (2)$.",
"$(u_n)$ est convergente et $\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=\\ln (2)$.",
"$\\displaystyle \\lim _{n\\to +\\infty}u_n=+\\infty$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Avec $\displaystyle x=\frac{1}{n+k}$, on aura :
$$\ln(n+k+1)-\ln (n+k)\leq \frac{1}{n+k}\leq \ln(n+k)-\ln (n+k-1).$$
On somme sur $k$ de $1$ à $n$, on obtient :
$$\ln \left(\frac{2n+1}{n+1}\right)\leq u_n\leq \ln (2n)-\ln (n)=\ln (2).$$
Le théorème d'encadrement implique que $(u_n)$ converge et que sa limite est $\ln (2)$.
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Suites_réelles_|_121
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775
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Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"$\\frac{4}{16}+\\frac{4}{20} = \\frac{9}{16}$",
"$\\frac{14}{12}+\\frac{12}{14} = \\frac{85}{42}$",
"$\\frac{36}{5} - 3 = \\frac{21}{5}$",
"$\\frac{14}{15}/\\frac{21}{35} = \\frac{14}{9}$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
1
]
}
|
Pour additionner deux fractions rationnels, il faut d'abord les réduire au même dénominateur.
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Réels_|_120
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776
|
Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"$\\frac{1}{7} = 0,142142142\\ldots$",
"Le nombre dont l'écriture décimale est $0,090909\\ldots$ est un nombre rationnel.",
"$9,99999\\ldots = 10$",
"$\\frac{1}{5} = 0,202020\\ldots$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
On trouve l'écriture décimale d'un rationnel en calculant la division !
Si on a une écriture décimale finie ou périodique alors c'est un nombre rationnel.
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Réels_|_120
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777
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Soient $x$ et $y$ deux nombres rationnels strictement positifs.
Parmi les nombres réels suivants, lesquels sont aussi des nombres rationnels ?
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{
"choices": [
"$\\frac{x-y}{x+y}$",
"$\\frac{\\sqrt{x}}{\\sqrt{y}}$",
"$x-y^2$",
"$(\\sqrt{x}-\\sqrt{y})(\\sqrt{x}+\\sqrt{y})$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
|
La somme, le produit, le quotient de deux nombres rationnels reste un nombre rationnel. La racine carrée d'un nombre rationnel n'est pas toujours un nombre rationnel (par exemple la racine carrée de $2$). Par contre, par identité remarquable, on a $(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}) = x^2-y^2$ qui est un nombre rationnel.
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Réels_|_120
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778
|
Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"La somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel.",
"Le produit de deux nombres rationnels est un nombre rationnel.",
"La somme de deux nombres irrationnels est un nombre irrationnel.",
"Le produit de deux nombres irrationnels est un nombre irrationnel."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
La somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel. Le produit aussi.
C'est en général faux pour les nombres irrationnels !
|
Réels_|_120
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779
|
Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"L'écriture décimale de $\\sqrt{3}$ est finie ou périodique.",
"L'écriture décimale de $\\frac{n}{n+1}$ est finie ou périodique (quelque soit $n\\in\\Nn$).",
"Un nombre réel qui admet une écriture décimale infinie est un nombre irrationnel.",
"Un nombre réel qui admet une écriture décimale finie est un nombre rationnel."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Les nombre rationnels sont exactement les nombres qui admettent une écriture décimale finie ou périodique.
|
Réels_|_120
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780
|
Je veux montrer que $\log 13$, est un nombre irrationnel. On rappelle que $\log 13$ est le réel tel que $10^{\log 13} = 13$. Quelle démarche puis-je adopter ?
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{
"choices": [
"Par division je calcule l'écriture décimale de $\\log 13$ et je montre qu'elle est périodique.",
"Je prouve par récurrence que $\\log n$ est irrationnel pour $n\\ge2$.",
"Je suppose par l'absurde que $\\log 13 = \\frac pq$, avec $p,q \\in \\Nn^*$ et je cherche une contradiction après avoir écrit $13^q = 10^p$.",
"Il est faux que $\\log 3$ soit un nombre irrationnel."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
On raisonne par l'absurde en écrivant $\log 13 = \frac pq$, où $p,q$ sont des entiers strictement positifs. On en déduit que $13^q = 10^p$. Comme $13$ et $10$ sont premiers entre eux, alors on obtient $p=q=0$ et donc une contradiction.
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Réels_|_120
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781
|
Comment s'appelle les propriétés suivantes de $\Rr$ ?
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{
"choices": [
"$(a+b)+c=a+(b+c)$ est l'associativité de l'addition.",
"$(a \\times b) \\times c=a \\times (b \\times c)$ est la distributivité de la multiplication.",
"$a \\times b = b\\times a$ est la commutativité de la multiplication.",
"$a \\times (b+c) = a\\times b + a \\times c$ est l'intégrité."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
$(a+b)+c=a+(b+c)$ est l'associativité de l'addition.
$(a \times b)\times c=a \times (b \times c)$ est l'associativité de la multiplication.
$a \times b = b\times a$ est la commutativité de la multiplication.
$a \times (b+c) = a\times b + a \times c$ est la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition.
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Réels_|_120
|
782
|
Soient $x,y \in \Rr$ tels que $x \le 2y$.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$x^2 \\le 2xy$",
"$y\\le \\frac{x}{2}$",
"$2x \\le x+2y$",
"$-2y \\le -x$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
Lorsque l'on multiplie par un nombre négatif alors le sens de l'inégalité change. Il faut faire attention lorsque l'on multiplie par $x$, car le sens de l'inégalité est changé ou pas selon que $x$ soit négatif ou positif !
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Réels_|_120
|
783
|
Notation : $E(x)$ désigne la partie entière du réel $x$.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$E(7,9) = 8$",
"$E(-3,33) = -4$",
"$E(\\frac{5}{3}) = 5$",
"$E(x)=0 \\implies x=0$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
La partie entière de $x$ est le plus grand entier, inférieur ou égal à $x$.
|
Réels_|_120
|
784
|
Pour $x\in\Rr$, on définit $f(x)= x - |x|$.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\forall x \\in \\Rr \\quad f(x)\\ge0$",
"$\\forall x \\in \\Rr \\quad f(x)\\le0$",
"$\\forall x >0 \\quad f(x) = 0$",
"$\\forall x < 0 \\quad f(x) = -2x$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Si $x \ge 0$, alors $f(x)=0$. Si $x<0$ alors $-|x|=x$ et donc $f(x)=2x<0$.
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Réels_|_120
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785
|
Quelles sont les assertions vraies concernant le maximum de nombres réels ?
|
{
"choices": [
"$\\max(a,b) \\ge a$ et $\\max(a,b) \\ge b$",
"$\\max(a,b) > a$ ou $\\max(a,b) > b$",
"$\\max( \\max(a,b), c ) = \\max(a,b,c)$",
"$\\min(a, \\max(a,b)) = a$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
|
$\max(a,b) \ge a$ et $\max(a,b) \ge b$ et $\max( \max(a,b), c ) = \max(a,b,c)$. L'assertion "$\max(a,b) > a$ ou $\max(a,b) > b$" est fausse (prendre $a=b$). Cherchez une preuve pour l'assertion restante !
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Réels_|_120
|
786
|
Notation : $E(x)$ désigne la partie entière du réel $x$.
Quelles sont les assertions qui caractérisent la partie entière ?
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{
"choices": [
"$E(x)$ est le plus petit entier supérieur ou égal à $x$.",
"$E(x)$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$.",
"$E(x)$ est l'entier tel que $x \\le E(x) < x+1$",
"$E(x)$ est l'entier tel que $E(x) \\le x < E(x)+1$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
$E(x)$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$, ce qui se caractérise aussi par $E(x) \le x < E(x)+1$.
|
Réels_|_120
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787
|
Pour $x\in \Rr$, on définit $G(x) = E(10x)$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$G(\\frac23) = 66$",
"$\\forall x>0 \\quad G(x) \\ge 1$",
"$G(x)=10 \\iff x \\in\\{10,11,12,\\ldots,19\\}$",
"$G(x)=G(y) \\implies |x-y| \\le \\frac{1}{10}$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
La fonction $G$ est très similaire à la fonction partie entière.
|
Réels_|_120
|
788
|
Quelles sont les assertions vraies pour $x\in\Rr$ ?
|
{
"choices": [
"$x\\neq 0 \\iff |x|>0$",
"$|x|>1 \\iff x \\ge 1$",
"$\\sqrt{x^2} = |x|$",
"$x+|x|=0 \\iff x \\le 0$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
|
L'assertion $|x|>1 \iff x \ge 1$ est fausse, car "$|x| >1$" est en fait équivalent à "$x>1$ ou $x<-1$".
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Réels_|_120
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789
|
Quelles propriétés découlent de la propriété d’Archimède des réels (c'est-à-dire $\Rr$ est archimédien) ?
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{
"choices": [
"$\\exists x>0 \\quad \\forall n \\in\\Nn \\quad x>n$",
"$\\forall x>0 \\quad \\exists n \\in\\Nn \\quad n>x$",
"$\\forall \\epsilon >0 \\quad \\exists n \\in \\Nn \\quad 0 < \\frac 1n < \\epsilon$",
"$\\forall x>0 \\quad \\forall y>0 \\quad \\exists n \\in \\Nn \\quad nx >y$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
1
]
}
|
La définition de la propriété d'Archimède est $\forall x>0 \quad \exists n \in\Nn \quad n>x$. Cela implique les deux autres assertions vraies.
|
Réels_|_120
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790
|
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\max(x,y) = \\frac{x+y-|x|-|y|}{2}$",
"$\\max(x,y) = \\frac{x+y-|x+y|}{2}$",
"$\\max(x,y) = \\frac{|x+y|-x-y}{2}$",
"$\\max(x,y) = \\frac{x+y + |x-y|}{2}$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
On prouve la formule $\max(x,y) = \frac{x+y + |x-y|}{2}$ en distinguant le cas $x-y \ge0$ puis $x-y<0$.
|
Réels_|_120
|
791
|
Quelles sont les assertions vraies, pour tout $x,y\in\Rr$ ?
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{
"choices": [
"$|x-y| \\le |x|-|y|$",
"$|x| \\le |x-y|+|y|$",
"$|x+y| \\ge |x| + |y|$",
"$|x-y| \\le |x| + |y|$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
L'inégalité triangulaire est $|x+y| \le |x| + |y|$. Les assertions vraies en découlent.
|
Réels_|_120
|
792
|
On définit la partie fractionnaire d'un réel $x$, par $F(x) = x -E(x)$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
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{
"choices": [
"$F(x) = 0 \\iff 0 \\le x <1$",
"Si $7 \\le x <8$ alors $F(x) = 7$.",
"Si $x=-0,2$ alors $F(x) = -0,2$.",
"Si $F(x)=F(y)$ alors $x-y \\in \\Zz$."
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
La partie fractionnaire est égale à la partie "après la virgule".
Par exemple $F(12,3456) = 0,3456$.
|
Réels_|_120
|
793
|
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$x \\in ]5;7[ \\iff |x-6|<1$",
"$x \\in ]5;7[ \\iff |x-1|<6$",
"$x \\in [0,999 \\, ; \\, 1,001] \\iff |x+1|<0,001$",
"$x \\in [0,999 \\, ; \\, 1,001] \\iff |x+1|\\le 0,001$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
$|x-a| \le \epsilon \iff x \in [a-\epsilon,a+\epsilon]$
|
Réels_|_120
|
794
|
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$[3,7] \\cup [8,10] = [3,10]$",
"$[-3,5] \\cap [2,7] = [-3,7]$",
"$[a,b[\\cup ]a,b] = ]a,b[$",
"$[a,b[\\cap ]a,b] = ]a,b[$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
Tracer les intervalles sur la droite réelle pour mieux comprendre.
|
Réels_|_120
|
795
|
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$x \\in [x_0,x_0+\\epsilon] \\implies |x-x_0| \\le \\epsilon$",
"$x-x_0 \\le \\epsilon \\implies x \\in [x_0,x_0+\\epsilon]$",
"$|x-y|=1 \\iff y=x+1$ ou $y=x-1$",
"$|x| > A \\iff x > A$ ou $x < A$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
$|x-a| \le \epsilon \iff x \in [a-\epsilon,a+\epsilon]$
|
Réels_|_120
|
796
|
Soient $x,y \in \Rr$ avec $x<y$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Il existe $c\\in\\Zz$ tel que $x < c < y$.",
"Il existe $c\\in\\Qq$ tel que $x < c < y$.",
"Il existe $c\\in\\Rr\\setminus\\Qq$ tel que $x < c <y$.",
"Il existe une infinité de $c\\in\\Qq$ tels que $x < c < y$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
1
]
}
|
Entre deux nombres réels, il existe une infinité de rationnels et aussi une infinité de nombres irrationnels.
|
Réels_|_120
|
797
|
Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"Il existe $x\\in\\Qq$ tel que $x-\\sqrt2 < 10^{-10}$.",
"Il existe $x\\in\\Rr\\setminus\\Qq$ tel que $x-\\frac43 < 10^{-10}$.",
"Il existe une suite de nombres rationnels dont la limite est $\\sqrt 2$.",
"Il existe une suite de nombres irrationnels dont la limite est $\\frac43$."
],
"labels": [
1,
1,
1,
1
]
}
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Tout est vrai ! Ce sont des conséquences de la densité de $\Qq$ dans $\Rr$ et de la densité de $\Rr \setminus \Qq$ dans $\Rr$.
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Réels_|_120
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798
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Pour $n\ge 1$ on définit l'intervalle $I_n = [0,\frac1n]$.
Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"Pour tout $n\\ge 1$, $I_n \\subset I_{n+1}$.",
"Si $x \\in I_n$ pour tout $n\\ge1$, alors $x=0$.",
"L'union de tous les $I_n$ (pour $n$ parcourant $\\Nn^*$) est $[0,+\\infty[$.",
"Pour $n < m$ alors $I_n \\cap I_{n+1} \\cap \\ldots \\cap I_m = I_n$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
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On a $[0,1] = I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots$.
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Réels_|_120
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799
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Pour $n\ge 1$ on définit l'intervalle $I_n = [0,n]$.
Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"Pour tout $n\\ge 1$, $I_n \\subset I_{n+1}$.",
"Si $x \\in I_n$ pour tout $n\\ge1$, alors $x=0$.",
"L'union de tous les $I_n$ (pour $n$ parcourant $\\Nn^*$) est $[0,+\\infty[$.",
"Pour $n < m$ alors $I_n \\cap I_{n+1} \\cap \\ldots \\cap I_m = I_n$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
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On a $[0,1] = I_1 \subset I_2 \subset I_3 \subset \cdots$.
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Réels_|_120
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800
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Soient $I$ et $J$ deux intervalles de $\Rr$. Quelles sont les assertions vraies ?
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{
"choices": [
"$I \\cup J$ est un intervalle.",
"$I \\cap J$ est un intervalle (éventuellement réduit à un point ou vide).",
"Si $I \\cap J \\neq \\varnothing$ alors $I \\cup J$ est un intervalle.",
"Si $I \\subset J$ alors $I \\cup J$ est un intervalle."
],
"labels": [
0,
1,
1,
1
]
}
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Tracer les intervalles sur la droite réelle pour mieux comprendre.
Une union d'intervalles n'est en général pas un intervalle !
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Réels_|_120
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Subsets and Splits
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