id
int64 0
954
| question
stringlengths 34
1.36k
| targets
dict | explanation
stringlengths 0
1.3k
⌀ | category
stringclasses 28
values |
|---|---|---|---|---|
601
|
Soit $P(X) = \sum_{k=0}^n a_k X^k$. On associe le polynôme dérivé :
$P'(X) = \sum_{k=1}^n ka_k X^{k-1}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $P$ est de degré $n\\ge1$ alors $P'$ est de degré $n-1$.",
"Si $P'(X) = nX^{n-1}$ alors $P(X) = X^n$.",
"Si $P'=P$ alors $P=0$.",
"Si $P'-Q'=0$ alors $P-Q=0$."
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
C'est comme pour les primitives, il ne faut pas oublier la constante :
Si $P'=Q'$ alors $P=Q +c$.
|
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
|
602
|
Soit $A(X) = \sum_{i=0}^n a_i X^i$.
Soit $B(X) = \sum_{j=0}^m b_j X^j$.
Soit $C(X) = A(X) \times B(X) = \sum_{k=0}^{m+n} c_k X^k$.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$c_k = a_k b_k$",
"$c_k = \\sum_{i+j=k} a_ib_j$",
"$c_k = \\sum_{i=0}^k a_ib_i$",
"$c_k = \\sum_{i=0}^k a_ib_{k-i}$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
La formule (à connaître) est
$$c_k = \sum_{i+j=k} a_ib_j = \sum_{i=0}^k a_ib_{k-i}.$$
|
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
|
603
|
Soient $A,B$ deux polynômes, avec $B$ non nul.
Soit $A = B \times Q + R$ la division euclidienne de $A$ par $B$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Un tel $Q$ existe toujours.",
"S'il existe, $Q$ est unique.",
"On a toujours $\\deg Q \\le \\deg A$.",
"On a toujours $\\deg Q \\le \\deg B$."
],
"labels": [
1,
1,
1,
0
]
}
|
La division euclidienne $A = B \times Q + R$ existe toujours, $Q$ et $R$ sont uniques et bien sûr $\deg Q \le \deg A$.
|
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
|
604
|
Soient $A,B$ deux polynômes, avec $B$ non nul.
Soit $A = B \times Q + R$ la division euclidienne de $A$ par $B$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Un tel $R$ existe toujours.",
"S'il existe, $R$ est unique.",
"On a toujours $\\deg R < \\deg A$ (ou bien $R$ est nul).",
"On a toujours $\\deg R < \\deg B$ (ou bien $R$ est nul)."
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
La division euclidienne $A = B \times Q + R$ existe toujours, $Q$ et $R$ sont uniques et par définition de la division euclidienne $R$ est nul ou bien
$\deg R < \deg B$.
|
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
|
605
|
Soient $A(X) = 2 X^4 + 3 X^3 - 8 X^2 - 2 X + 1$ et $B(X) = X^2+3X+1$. Soit $A = BQ+R$ la division euclidienne de $A$ par $B$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Le coefficient du monôme $X^2$ de $Q$ est $1$.",
"Le coefficient du monôme $X$ de $Q$ est $3$.",
"Le coefficient du monôme $X$ de $R$ est $2$.",
"Le coefficient constant de $R$ est $2$."
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
Faire le calcul !
$Q(X) = 2X^2-3X-1$, $R(X) = 4X+2$.
|
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
|
606
|
Soient $A(X) = X^6 - 7 X^5 + 10 X^4 + 5 X^3 - 23 X^2 + 5$ et $B(X) = X^3-5X^2+1$. Soit $A = BQ+R$ la division euclidienne de $A$ par $B$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Le coefficient du monôme $X^2$ de $Q$ est $0$.",
"Le coefficient du monôme $X$ de $Q$ est $0$.",
"Le coefficient du monôme $X$ de $R$ est $-1$.",
"Le coefficient constant de $R$ est $1$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Faire le calcul !
$Q(X) = X^3-2X^2+4$, $R(X) = -X^2+1$.
|
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
|
607
|
Soient $A(X) = X^4 - 2 X^3 - 4 X^2 + 2 X + 3$ et
$B(X) = X^4 - 2 X^3 - 3 X^2$ des polynômes de $\Rr[X]$.
Notons $D$ le pgcd de $A$ et $B$.
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"$X-1$ divise $D$.",
"$X+1$ divise $D$.",
"$D(X) = (X-3)(X+1)$.",
"$D(X) = (X-3)(X+1)^2$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
$A(X) = (X-3)(X+1)^2(X-1)$, $B(X) = X^2(X-3)(X+1)$,
le pgcd est $D = (X-3)(X+1)$.
|
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
|
608
|
Quelles sont les affirmations vraies pour des polynômes de $\Rr[X]$ ?
|
{
"choices": [
"Le pgcd de $(X-1)^2(X-3)^3(X^2+X+1)^3$ et",
"Le ppcm de $(X-1)^2(X-3)^3(X^2+X+1)^3$ et",
"Le pgcd de $(X-1)^2(X^2-1)^3$ et",
"Le ppcm de $(X-1)^2(X^2-1)^3$ et"
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
Le pgcd s'obtient en prenant le minimum entre les exposants, le ppcm en prenant le maximum. Attention $X^2-1=(X-1)(X+1)$.
|
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
|
609
|
Soit $A$ un polynôme de degré $n\ge1$. Soit $B$ un polynôme de degré $m\ge1$, avec $m \le n$.
Soit $A = B \times Q + R$ la division euclidienne de $A$ par $B$. On note
$q = \deg Q$ et $r = \deg R$ (avec $r=-\infty$ si $R=0$).
Quelles sont les assertions vraies (quelque soient $A$ et $B$) ?
|
{
"choices": [
"$q = n-m$",
"$r < m$",
"$r=0 \\implies A$ divise $B$.",
"$n = mq + r$"
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
On a $\deg R < \deg B$. Il ne faut pas confondre $R=0$ et $r=0$.
En plus $\deg(A) = \deg(B\times Q) = \deg(A) + \deg(Q)$.
|
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
|
610
|
Soit $n\ge2$. Soit $A(X) = X^{2n}+X^{2n-2}$. Soit $B(X) = X^{n}+X^{n-1}$. Soit $A = BQ + R$ la division euclidienne de $A$ par $B$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Le coefficient de $X^n$ de $Q$ est $1$.",
"Le coefficient de $X^{n-1}$ de $Q$ est $1$.",
"Le coefficient de $X^{n-2}$ de $Q$ est $2$.",
"$R$ est constitué d'un seul monôme."
],
"labels": [
1,
0,
1,
1
]
}
|
$Q(X) = X^n-X^{n-1}+2X^{n-2}-2X^{n-3}+\cdots$. $R(X) = \pm 2 X^{n-1}$.
|
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
|
611
|
Soit $A(X) = X^4-X^2$. Soit $B(X) = X^2+X-2$.
Soit $D$ le pgcd de $A$ et $B$ dans $\Rr[X]$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$D(X) = 1$",
"Il existe $U,V \\in \\Rr[X]$ tels que $AU+BV = X-1$.",
"Il existe $u \\in \\Rr$ et $V \\in \\Rr[X]$ tels que $Au+BV = X-1$.",
"Il existe $U\\in \\Rr[X]$ et $v \\in \\Rr$ tels que $AU+Bv = X-1$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
$A(X)=X^2(X-1)^2$, $B(X)=(X-1)(X+2)$, $D(X)=X-1$. $U(X)= -\frac14$, $V(X)=\frac14(X^2-X+2)$ donnent $AU+BV=D$.
|
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
|
612
|
Soit $P \in \Rr[X]$ un polynôme de degré $8$.
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"$P$ admet exactement $8$ racines réelles (comptées avec multiplicité).",
"$P$ admet au moins une racine réelle.",
"$P$ admet au plus $8$ racines réelles (comptées avec multiplicité).",
"$P$ admet au moins $8$ racines réelles (comptées avec multiplicité)."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Il y a au plus $\deg P$ racines réelles (comptées avec multiplicité).
|
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
|
613
|
Soit $P(X) = X^7 - 5 X^5 - 5 X^4 + 4 X^3 + 13 X^2 + 12 X + 4$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$-1$ est une racine de $P$.",
"$0$ est une racine de $P$.",
"$1$ est une racine de $P$.",
"$2$ est une racine de $P$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Calculer $P(\alpha)$. En fait $P(X) = (X-2)^2(X+1)^3(X^2+X+1)$.
|
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
|
614
|
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"$2X^2+3X+1$ est irréductible sur $\\Qq$.",
"$2X^2-3X+2$ est irréductible sur $\\Rr$.",
"$2X^2-X+3$ est irréductible sur $\\Cc$.",
"$X^3+X^2+X+4$ est irréductible sur $\\Rr$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
Sur $\Cc$ les irréductibles sont de degré $1$. Sur $\Rr$ ils sont de degré 1, ou bien de degré $2$ à discriminant strictement négatif.
|
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
|
615
|
Soit $P \in \Rr[X]$ un polynôme de degré $2n+1$ ($n\in\Nn^*$).
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"$P$ peut admettre une racine complexe, qui ne soit pas réelle.",
"$P$ admet au moins une racines réelle.",
"$P$ admet au moins deux racines réelles (comptées avec multiplicités).",
"$P$ peut avoir $2n+1$ racines réelles distinctes."
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
Il y a au plus $\deg P$ racines réelles (comptées avec multiplicité). Mais ici le degré est impair, donc $P$ admet au moins une racine réelle.
|
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
|
616
|
Soit $P(X) = X^6 + 4 X^5 + X^4 - 10 X^3 - 4 X^2 + 8 X$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$-1$ est une racine double.",
"$0$ est une racine double.",
"$1$ est une racine double.",
"$-2$ est une racine double."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Pour une racine double il faut $P(a)=0$, $P'(a)=0$ et $P''(a)\neq0$.
En fait $P(X) = X(X+2)^3(X-1)^2$.
|
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
|
617
|
Soit $P \in \Qq[X]$ un polynôme de degré $n$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$P$ peut avoir des racines dans $\\Rr$, mais pas dans $\\Qq$.",
"Si $z\\in \\Cc\\setminus\\Rr$ est une racine de $P$, alors $\\bar z$ aussi.",
"Les facteurs irréductibles de $P$ sur $\\Qq$ sont de degré $1$ ou $2$.",
"Les racines réelles de $P$ sont de la forme $\\alpha + \\beta\\sqrt{\\gamma}$, $\\alpha,\\beta,\\gamma \\in \\Qq$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
0
]
}
|
Sur $\Qq$ les facteurs irréductibles peuvent être de n'importe quel degré.
|
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
|
618
|
Soit $P \in \Kk[X]$ un polynôme de degré $n\ge1$.
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"$a$ racine de $P$ $\\iff$ $X-a$ divise $P$.",
"$a$ racine de $P$ de multiplicité $\\ge k$ $\\iff$ $(X-a)^k$ divise $P$.",
"$a$ racine de $P$ de multiplicité $\\ge k$ $\\iff$",
"La somme des multiplicités des racines est $\\le n$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
$a$ racine de $P$ de multiplicité $\ge k$ $\iff$ $(X-a)^k$ divise $P$ $\iff$ $P(a) = 0$, $P'(a)=0$, ..., $P^{(k-1)}(a)=0$.
|
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
|
619
|
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"Les éléments simples sur $\\Cc$ sont de la forme $\\frac{a}{X-\\alpha}$, $a,\\alpha \\in \\Cc$.",
"Les éléments simples sur $\\Cc$ sont de la forme $\\frac{a}{(X-\\alpha)^k}$, $a,\\alpha \\in \\Rr$, $k\\in\\Nn^*$.",
"Les éléments simples sur $\\Rr$ peuvent être de la forme $\\frac{a}{(X-\\alpha)^k}$, $a,\\alpha \\in \\Rr$.",
"Les éléments simples sur $\\Rr$ peuvent être de la forme $\\frac{aX+b}{X-\\alpha}$, $a,b,\\alpha \\in \\Rr$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Sur $\Cc$ les éléments simples sont de la forme $\frac{a}{(X-\alpha)^k}$, $a,\alpha \in \Cc$, $k\in\Nn^*$.
Sur $\Rr$ les éléments simples sont de la forme $\frac{a}{(X-\alpha)^k}$, $a,\alpha \in \Rr$, $k \in \Nn^*$ ou bien
$\frac{aX+b}{(X^2+\alpha X+\beta)^k}$, $a,b,\alpha,\beta \in \Rr$, $k \in \Nn^*$ avec
$X^2+\alpha X+\beta$ sans racines réelles.
|
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
|
620
|
Soient $P(X)=X-1$, $Q(X)=(X+1)^2(X^2+X+1)$. On décompose la fraction $F = \frac{P}{Q}$ sur $\Rr$.
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"La partie polynomiale est nulle.",
"Il peut y avoir un élément simple $\\frac{a}{X-1}$.",
"Il peut y avoir un élément simple $\\frac{a}{X+1}$ mais pas $\\frac{a}{(X+1)^2}$.",
"Il peut y avoir un élément simple $\\frac{aX+b}{X^2+X+1}$ mais pas $\\frac{aX+b}{(X^2+X+1)^2}$."
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
$\frac{P(X)}{Q(X)} = \frac{X-1}{(X+1)^2(X^2+X+1)}
= \frac{-1}{X+1}+\frac{-2}{(X+1)^2}+\frac{X+2}{X^2+X+1}$.
|
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
|
621
|
Soit $\frac{P(X)}{Q(X)}$ une fraction rationnelle. On note $E(X)$ sa partie polynomiale (appelée aussi partie entière).
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $\\deg P < \\deg Q$ alors $E(X) = 0$.",
"Si $\\deg P \\ge \\deg Q$ alors $\\deg E(X) = \\deg P - \\deg Q$.",
"Si $P(X) = X^3+X+2$ et $Q(X) = X^2-1$ alors $E(X) = X+1$.",
"Si $P(X) = X^5+X-2$ et $Q(X) = X^2-1$ alors $E(X) = X^3+X$."
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
La partie entière s'obtient comme le quotient de la division euclidienne de $P$ par $Q$.
|
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
|
622
|
Soit $P(X)=3X$ et $Q(X) = (X-2)(X-1)^2(X^2-X+1)$.
On écrit
$$\frac{P(X)}{Q(X)} = \frac{a}{X-2} + \frac{b}{X-1} + \frac{c}{(X-1)^2}
+ \frac{dX+e}{X^2-X+1}.$$
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"En multipliant par $X-2$, puis en évaluant en $X=2$, j'obtiens $a=1$.",
"En multipliant par $(X-1)^2$, puis en évaluant en $X=1$, j'obtiens $c=-3$.",
"En multipliant par $X$, puis en faisant tendre $X \\to +\\infty$, j'obtiens la relation $a+b+d=0$.",
"En évaluant en $X=0$, j'obtiens la relation $a+b+c+e=0$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
$\frac{P(X)}{Q(X)} = \frac{3X}{(X-2)(X-1)^2(X^2-X+1)}
=\frac{2}{X-2} + \frac{-3}{X-1} + \frac{-3}{(X-1)^2}
+ \frac{X+1}{X^2-X+1}$.
|
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
|
623
|
Soit $F(X) = \dfrac{1}{(X^2+1)X^3}$.
On écrit
$$F(X) = \frac{a}{X} + \frac{b}{X^2} + \frac{c}{X^3}
+ \frac{dX+e}{X^2+1}.$$
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"$c=1$",
"$b=1$",
"$a=1$",
"$e=0$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
On profite que $F$ est impaire pour déduire $b=0$, $e=0$.
$F(X) = \dfrac{1}{(X^2+1)X^3} = \frac{-1}{X} + \frac{1}{X^3}
+ \frac{X}{X^2+1}.$
|
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
|
624
|
Soit $F(X) = \dfrac{X-1}{X(X^2+1)^2}$.
On écrit
$$F(X) = \frac{a}{X} + \frac{bX+c}{X^2+1} + \frac{dX+e}{(X^2+1)^2}.$$
Quelles sont les affirmations vraies ?
|
{
"choices": [
"$a=-1$",
"$d=0$ et $e=0$",
"$b=0$ et $c=0$",
"$b=0$ et $d=0$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
$F(X) = \dfrac{1}{X(X^2+1)^2} = \frac{-1}{X} + \frac{X}{X^2+1} + \frac{X+1}{(X^2+1)^2}.$
|
Polynômes_--_Fractions_rationnelles_|_105
|
625
|
Soit $z=(1-2i)^2$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$z=5-4i$",
"$z=-3-4i$",
"Le conjugué de $z$ est : $\\overline{z}=3+4i$.",
"Le module de $z$ est $5$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
On développe $(1-2i)^2$. Si $z=a+ib, a,b \in \Rr, \overline{z}=a-ib$ et $|z|^2= a^2+b^2$.
|
Nombres_complexes_|_104
|
626
|
Soit $z=\frac{i+1}{1-i\sqrt 3}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$|z|=\\frac{1}{\\sqrt 2}$",
"$z\\overline{z} =\\frac{1}{2}$",
"Un argument de $z$ est : $\\frac{7\\pi}{12}$.",
"Le conjugué de $z$ est : $\\overline{z}=\\frac{i-1}{1+i\\sqrt 3}$."
],
"labels": [
1,
1,
1,
0
]
}
|
On applique les formules :
$|\frac{z_1}{z_2}|= \frac{|z_1|}{|z_2|}$, $|z|^2=z\overline{z}$ et $\arg(\frac{z_1}{z_2})= \arg z_1 - \arg z_2 \, [2\pi]$.
|
Nombres_complexes_|_104
|
627
|
Soit $z$ un nombre complexe de module $2$ et d'argument $\frac{\pi}{4}$. L'écriture algébrique de $z$ est :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$z= \\sqrt 2-i\\sqrt 2$",
"$z= \\sqrt 2+i\\sqrt 2$",
"$z= 2+2i$",
"$z= 2-2i$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
$z=2(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}) =\sqrt 2+i\sqrt 2 $.
|
Nombres_complexes_|_104
|
628
|
Soit $\theta \in \Rr$. $e^{i\theta}\in \Rr$ si et seulement si :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\theta =0$",
"$\\theta =2\\pi$",
"$\\theta = 2k\\pi$, $k \\in \\Zz$",
"$\\theta =k\\pi$, $k \\in \\Zz$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
$e^{i\theta}= \cos \theta + i \sin \theta $ et $\sin \theta = 0 $ si et seulement si $\theta =k\pi$, $k \in \Zz$.
|
Nombres_complexes_|_104
|
629
|
Soit $\theta$ un réel. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\cos^2\\theta= \\frac{1+\\cos(2\\theta)}{2}$",
"$\\cos^2\\theta= \\frac{1-\\cos(2\\theta)}{2}$",
"$\\sin^2\\theta= \\frac{1-\\cos(2\\theta)}{2}$",
"$\\sin^2\\theta= \\frac{1+\\cos(2\\theta)}{2}$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
On peut appliquer les formules d'Euler, ou utiliser la formule d'addition du cosinus.
|
Nombres_complexes_|_104
|
630
|
Soit $\theta$ un réel. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\cos(2\\theta)= 2\\cos\\theta \\sin \\theta$",
"$\\cos(2\\theta)= \\cos^2\\theta -\\sin^2 \\theta$",
"$\\sin(2\\theta)= 2\\cos\\theta \\sin \\theta$",
"$\\sin(2\\theta)= \\cos^2\\theta -\\sin^2 \\theta$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
On peut appliquer la formule de Moivre, ou utiliser les formules d'addition du cosinus et du sinus.
|
Nombres_complexes_|_104
|
631
|
Soit $z=\frac{(1-i)^{10}}{(1+i\sqrt 3)^4}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$|z|=2$",
"$|z|=\\frac{1}{2}$",
"$\\arg z = \\frac{\\pi}{6} \\, [2\\pi]$",
"$\\arg z = -\\frac{\\pi}{6} \\, [2\\pi]$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
On applique les formules :
$|\frac{z_1^n}{z_2^m}|= \frac{|z_1|^n}{|z_2|^m}$ et $\arg(\frac{z_1^n}{z_2^m})= n\arg z_1 - m\arg z_2 \, [2\pi]$.
|
Nombres_complexes_|_104
|
632
|
Soit $z=\frac{\cos \theta + i \sin \theta}{\cos \phi - i \sin \phi}$, $\theta, \phi \in \Rr$.
Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$|z|=2$",
"$\\arg z = \\theta + \\phi \\, [2\\pi]$",
"$z = \\cos (\\theta+\\phi) + i \\sin (\\theta + \\phi)$",
"$|z|=1$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
1
]
}
|
Utiliser l'écrire trigonométrique et la formule : $\frac{e^{i\theta}}{e^{-i\phi}}= e^{i(\theta + \phi)} $.
|
Nombres_complexes_|_104
|
633
|
Soit $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes. Alors, $|z_1+z_2|^2 + |z_1-z_2|^2$ est égal à :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$|z_1|^2+|z_2|^2$",
"$|z_1|^2-|z_2|^2$",
"$ 2|z_1|^2 +2|z_2|^2$",
"$ 2|z_1|^2 -2|z_2|^2$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Utiliser : $|z|^2= z\overline{z}$.
|
Nombres_complexes_|_104
|
634
|
Soit $\theta$ un réel. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\cos^3\\theta= \\frac{1}{8}(\\cos(3\\theta) +3\\cos \\theta)$",
"$\\cos^3\\theta= \\frac{1}{4}(\\cos(3\\theta) + 3\\cos \\theta)$",
"$\\sin^3\\theta= \\frac{1}{4}(3\\sin \\theta - \\sin(3\\theta))$",
"$\\sin^3\\theta= \\frac{1}{4}(3\\sin \\theta + \\sin(3\\theta))$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
On peut appliquer les formules d'Euler.
|
Nombres_complexes_|_104
|
635
|
Soit $\theta$ un réel. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\cos(5\\theta)= \\cos^5\\theta -10\\cos^3\\theta \\sin^2\\theta + 5\\cos \\theta\\sin^4 \\theta$",
"$\\cos(5\\theta)= \\cos^5\\theta +10\\cos^3\\theta \\sin^2\\theta + 5\\cos \\theta\\sin^4 \\theta$",
"$\\sin(5\\theta)= 5\\cos^4\\theta \\sin\\theta+10\\cos^2\\theta \\sin^3\\theta + \\sin^5\\theta$",
"$\\sin(5\\theta)= 5\\cos^4\\theta \\sin\\theta-10\\cos^2\\theta \\sin^3\\theta + \\sin^5\\theta$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
On peut appliquer la formule de Moivre.
|
Nombres_complexes_|_104
|
636
|
Par définition, si $x,y \in \Rr, \, e^{x+iy} = e^x \cdot e^{iy}= e^x (\cos y +i \sin y)$.
Soit $z=e^{e^{i\theta}}$, où $\theta$ est un réel. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$|z|=1 $",
"$|z|=e^{\\cos \\theta} $",
"$\\arg z = \\theta \\, [2\\pi]$",
"$\\arg z = \\sin \\theta \\, [2\\pi]$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
$z= e^{\cos \theta + i \sin \theta}= e^{\cos\theta}\cdot e^{i \sin \theta}. $ Donc $|z|=e^{\cos \theta} $ et $\arg z = \sin \theta \, [2\pi]$.
|
Nombres_complexes_|_104
|
637
|
Soit $z=1+ e^{i\theta},\theta \in ]-\pi,\pi[$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$|z|=2 $",
"$|z|=2\\cos(\\frac{\\theta}{2}) $",
"$\\arg z = \\frac{\\theta}{2} \\, [2\\pi]$",
"$\\arg z = \\theta \\, [2\\pi]$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
$z=e^{i\frac{\theta}{2}} (e^{i\frac{\theta}{2}} + e^{-i\frac{\theta}{2}}) = 2 \cos (\frac{\theta}{2}) e^{i\frac{\theta}{2}}$. Comme $\theta \in ]-\pi,\pi[$ , $\cos (\frac{\theta}{2})>0$. On déduit que : $|z|=2\cos (\frac{\theta}{2})$ et $\arg z = \frac{\theta}{2} \, [2\pi]$.
|
Nombres_complexes_|_104
|
638
|
Soit $z=e^{i\theta} + e^{i\phi} ,\theta, \phi \in \Rr$ tels que $-\pi < \theta - \phi < \pi$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$|z|=2 $",
"$|z|=2\\cos (\\frac{ \\theta -\\phi}{2}) $",
"$\\arg z = \\theta +\\phi \\, [2\\pi]$",
"$\\arg z = \\frac{\\theta+ \\phi}{2} \\, [2\\pi]$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
$ z=e^{i\frac{\theta+\phi}{2}} (e^{i\frac{\theta-\phi}{2}} + e^{i\frac{\phi - \theta}{2}}) = 2 \cos (\frac{\theta-\phi}{2}) e^{i\frac{\theta+\phi}{2}}$. Comme $\theta-\phi \in ]-\pi,\pi[$, $\cos (\frac{\theta-\phi}{2})>0$. On déduit que : $|z|=2\cos (\frac{\theta-\phi}{2})$ et $\arg z = \frac{\theta+\phi}{2} \, [2\pi]$.
|
Nombres_complexes_|_104
|
639
|
Soit $x\in \Rr\backslash \{2k\pi, k \in \Zz\}$, $n \in \Nn^*$,
$S_1= \sum_{k=0}^{n} \cos(kx)$ et $S_2= \sum_{k=0}^{n} \sin(kx)$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$S_1= \\cos (\\frac{nx}{2})\\cdot \\frac{\\sin (\\frac{n+1}{2})x}{\\sin (\\frac{x}{2})}$",
"$S_1= \\sin (\\frac{nx}{2}) \\cdot \\frac{\\sin (\\frac{n+1}{2})x}{\\sin (\\frac{x}{2})}$",
"$S_2=\\sin (\\frac{nx}{2}) \\cdot \\frac{\\sin (\\frac{n+1}{2})x}{\\sin (\\frac{x}{2})}$",
"$S_2= \\cos (\\frac{nx}{2}) \\cdot \\frac{\\sin (\\frac{n+1}{2})x}{\\sin (\\frac{x}{2})}$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
On calcule la somme géométrique $\sum_{k=0}^{n} e^{ikx}= \sum_{k=0}^{n} (e^{ix})^k = \frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}=\frac{e^{i\frac{(n+1)x}{2}}(e^{-i\frac{(n+1)x}{2}}-e^{i\frac{(n+1)x}{2}})}{e^{i\frac{x}{2}}(e^{-i\frac{x}{2}}-e^{i\frac{x}{2}})}= e^{i\frac{nx}{2}}\cdot \frac{\sin (\frac{n+1}{2})x}{\sin (\frac{x}{2})}$; puis, la partie réelle
et imaginaire de cette somme.
|
Nombres_complexes_|_104
|
640
|
Les racines carrées de $i$ sont :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\frac{1+i}{2}$ et $-\\frac{1+i}{2}$",
"$\\frac{1+i}{\\sqrt 2}$ et $-\\frac{1+i}{\\sqrt 2}$",
"$e^{\\frac{i\\pi}{4}}$ et $e^{\\frac{-i\\pi}{4}}$",
"$e^{\\frac{i\\pi}{4}}$ et $-e^{\\frac{i\\pi}{4}}$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
On résoud dans $\Cc$ l'équation : $z^2=i=e^{i\frac{\pi}{2}}$.
|
Nombres_complexes_|_104
|
641
|
On considère l'équation : $(E) : \, z^2+z+1=0$, $z\in \Cc$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Les solutions de $(E)$ sont : $z_1= \\frac{-1+\\sqrt5}{2}$ et $z_2= -\\frac{1+\\sqrt5}{2}$.",
"Les solutions de $(E)$ sont : $z_1= \\frac{-1+i\\sqrt3}{2}$ et $z_2= -\\frac{1+i\\sqrt3}{2}$.",
"Les solutions de $(E)$ sont : $z_1= e^{\\frac{2i\\pi}{3}}$ et $z_2=e^{\\frac{-2i\\pi}{3}}$.",
"Si $z$ est une solution de $(E)$, alors $|z|=1$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
1
]
}
|
Les solutions complexes d'une équation du second degré $az^2+bz+c=0$ sont $z_1=\frac{-b+\delta}{2a}$ et
$z_1=\frac{-b-\delta}{2a}$, où $\delta$ est une racine carrée de $\Delta=b^2-4ac$.
|
Nombres_complexes_|_104
|
642
|
Les racines cubiques de $1+i$ sont :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$z_k=\\sqrt[3]{2}e^{i(\\frac{\\pi}{12}+\\frac{2k\\pi}{3})}, k=0,1,2$",
"$z_k=\\sqrt[6]{2}e^{i(\\frac{\\pi}{12}+\\frac{2k\\pi}{3})}, k=0,1,2$",
"$z_k=\\sqrt[6]{2}e^{i(\\frac{\\pi}{12}-\\frac{2k\\pi}{3})}, k=0,1,2$",
"$z_k=\\sqrt[3]{2}e^{i(\\frac{\\pi}{12}-\\frac{2k\\pi}{3})}, k=0,1,2$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
On résoud l'équation : $z^3=1+i= \sqrt 2e^{i\frac{\pi}{4}}$.
|
Nombres_complexes_|_104
|
643
|
Soit $z\in \Cc$ tel que $|z-2|=1$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$z=3$",
"$z=1$",
"$z=2+e^{i\\theta}$, $\\theta \\in \\Rr$",
"Le point du plan d'affixe $z$ appartient au cercle de rayon $1$ et de centre le point d'affixe $2$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
$|z-2|=1$, donc $z-2=e^{i\theta}$, $\theta \in \Rr$.
|
Nombres_complexes_|_104
|
644
|
On considère l'équation : $(E) : \, z^2-2iz-1-i=0$, $z\in \Cc$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Le discriminant de l'équation est : $\\Delta = 8+4i$.",
"Le discriminant de l'équation est : $\\Delta = 4i$.",
"les solutions de $(E)$ sont : $z_1=\\frac{\\sqrt 2+ (1+\\sqrt 2)i}{2}$ et $z_2=\\frac{\\sqrt 2+ (1-\\sqrt 2)i}{2}$.",
"les solutions de $(E)$ sont : $z_1=\\frac{\\sqrt 2+ (2+\\sqrt 2)i}{2}$ et $z_2=\\frac{-\\sqrt 2+ (2-\\sqrt 2)i}{2}$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Utiliser la méthode de résolution d'une équation du second degré.
|
Nombres_complexes_|_104
|
645
|
On considère l'équation : $(E) : \, z^2 = \frac{1+i}{\sqrt 2}$, $z\in \Cc$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $z$ est une solution de $(E)$, $\\arg z = \\frac{\\pi}{8} [2\\pi]$.",
"Les solutions de $(E)$ sont : $z=e^{i\\frac{\\pi}{8}}$ et $z=-e^{i\\frac{\\pi}{8}}$.",
"$\\cos(\\frac{\\pi}{8})= \\frac{1}{2}\\sqrt{2+\\sqrt2}$ et",
"$\\cos(\\frac{\\pi}{8})= \\frac{1}{2}\\sqrt{2-\\sqrt2}$ et"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Utiliser l'écriture géométrique et algébrique pour résoudre l'équation et identifier la partie réelle et la partie imaginaire.
|
Nombres_complexes_|_104
|
646
|
Les racines cubiques de $-8$ sont :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$z_k= 2e^{i\\frac{(2k+1)\\pi}{3}}$, $k=1,2,3$",
"$z_k= 2e^{i\\frac{(2k-1)\\pi}{3}}$, $k=0,1,2$",
"$z_k= -2e^{i\\frac{(2k+1)\\pi}{3}}$, $k=0,1,2$",
"$z_1= -2, z_2=2e^{i\\frac{\\pi}{3}}$ et $z_3=2e^{-i\\frac{\\pi}{3}}$"
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
On résout l'équation $z^3=-8 = 2^3e^{i\pi}$, en utilisant l'écriture géométrique.
|
Nombres_complexes_|_104
|
647
|
On considère l'équation : $(E) : \, z^5= \frac{1+i}{\sqrt 3-i}$, $z\in \Cc$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $z$ est une solution de $(E)$, $|z|=\\frac{1}{\\sqrt[5]{ 2}}$.",
"Si $z$ est une solution de $(E)$, $|z|=\\frac{1}{\\sqrt[10] 2}$.",
"Si $z$ est une solution de $(E)$, $\\arg z=\\frac{\\pi}{12} \\, [2\\pi]$.",
"Si $z$ est une solution de $(E)$, $\\arg z=\\frac{\\pi}{12} + \\frac{2k\\pi}{5} \\, [2\\pi], \\, k \\in \\Zz$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Résoudre $ z^5= \frac{1+i}{\sqrt 3-i}= \frac{1}{\sqrt 2} e^{i\frac{5\pi}{12}}$, en utilisant l'écriture géométrique.
|
Nombres_complexes_|_104
|
648
|
Soit $z\in \Cc$ tel que $|z-1|=|z+1|$ . Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$z=0$",
"$z=ia$, $a\\in \\Rr$",
"Le point du plan d'affixe $z$ appartient au cercle de rayon $1$ et de centre le point d'affixe $0$.",
"Le point du plan d'affixe $z$ appartient à la médiatrice du segment $[A,B]$, où $A$ et $B$ sont les points d'affixe $-1$ et $1$ respectivement."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Soit $z$ tel que $|z-1|=|z+1|$, $M$ le point du plan d'affixe $z$, $A$ et $B$ les points d'affixe $-1$ et $1$
respectivement. Alors, $M$ est équidistant de $A$ et $B$.
|
Nombres_complexes_|_104
|
649
|
On considère l'équation $(E) : \, (z^2+1)^2+z^2=0, \, z\in \Cc$. L'ensemble des solutions de $(E)$ est :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\{ \\pm \\frac{1+\\sqrt5}{2}i \\, ,\\, \\pm \\frac{1-\\sqrt5}{2}i\\}$",
"$\\{\\pm \\frac{1+\\sqrt5}{2} \\, , \\, \\pm \\frac{1-\\sqrt5}{2}\\}$",
"$\\{\\pm \\frac{1+\\sqrt3}{2}i \\, , \\, \\pm \\frac{1-\\sqrt3}{2}i\\}$",
"$\\{\\pm \\frac{1+\\sqrt3}{2} \\, , \\, \\pm \\frac{1-\\sqrt3}{2}\\}$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
Remarquer que $(z^2+1)^2+z^2= (z^2+1)^2 - (iz)^2= (z^2-iz+1)(z^2+iz+1)$. On peut aussi poser $Z=z^2$ et se ramener à une équation du second degré.
|
Nombres_complexes_|_104
|
650
|
On considère l'équation $(E) : \, z^8= \overline{z}, \, z\in \Cc$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"Si $z$ est une solution de $(E)$, alors $z=0$.",
"Si $z$ est une solution de $(E)$, alors $z=0$ ou $|z|=1$.",
"L'équation $(E)$ admet $8$ solutions distinctes.",
"Les solutions non nulles de $(E)$ sont les racines $9$-ièmes de l'unité."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Remarquer que si $z$ est une solution de $(E)$, $|z|^8=|\overline{z}|=|z|$, donc si $z$ n'est pas nul, $|z|=1$.
Par conséquent, $z$ est une solution non nulle de $(E)$ si et seulement si $z^9=z\overline{z}=1$.
|
Nombres_complexes_|_104
|
651
|
Soit $n$ un entier $\ge 2$, $z_1,z_2, \dots, z_n$ les racines $n$-ièmes de l'unité. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$z^n-1=(z-z_1)(z-z_2)\\dots (z-z_n)$",
"$z_1.z_2, \\dots z_n = (-1)^{n-1}$",
"$z_1+z_2+ \\dots + z_n = 1$",
"$z_1+z_2+ \\dots + z_n = 0$"
],
"labels": [
1,
1,
0,
1
]
}
|
$z_1,z_2, \dots, z_n$ sont les racines dans $\Cc$ du polynôme $P(X) =X^n-1$, donc $P(X)=(X-z_1)(X-z_2)\dots (X-z_n)$.
On examine le coefficient de $X^{n-1}$ et le coefficient constant.
|
Nombres_complexes_|_104
|
652
|
Soit $E$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que : $|\frac{z-1}{1+iz}|=\sqrt 2$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$E$ est une droite.",
"$E$ est un cercle.",
"$E=\\emptyset$",
"$E$ est le cercle de rayon $2$ et de centre le point d'affixe $-1+2i$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Soit $z \neq i$. On a : $|\frac{z-1}{1+iz}|=\sqrt 2 \Leftrightarrow |z-1|^2=2|1+iz|^2 \Leftrightarrow
(z-1)(\overline{z}-1)=2 (1+iz)(1-i\overline{z})$. On développe cette dernière égalité.
|
Nombres_complexes_|_104
|
653
|
Soit $E$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que : $z+\frac{1}{z} \in \Rr$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$E = \\Rr^*$",
"$E$ est le cercle unité.",
"$ E = \\Rr^* \\cup \\{z\\in \\Cc; \\, |z|=1\\}$",
"$E$ contient le cercle unité."
],
"labels": [
0,
0,
1,
1
]
}
|
Soit $z \neq 0$. On a : $z+\frac{1}{z} \in \Rr \Leftrightarrow z+\frac{1}{z} = \overline{z}+\frac{1}{\overline{z}}$. On multiplie par $z\overline{z}$ et on simplifie cette égalité.
|
Nombres_complexes_|_104
|
654
|
Soit $E$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $M$ et les points $A$ et $B$ d'affixe $i$ et $iz$ respectivement
soient alignés. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$E$ est la droite passant par les points d'affixe $i$ et $-1+i$ respectivement.",
"$E$ est le cercle de rayon $\\frac{1}{\\sqrt 2}$ et de centre le point d'affixe $\\frac{1}{2}(1+i)$.",
"$E$ est le cercle de rayon $\\frac{1}{2}$ et de centre le point d'affixe $1+i$.",
"$E$ est la droite passant par les points d'affixe $-i$ et $1-i$ respectivement."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
$M(z), A(i)$ et $B(iz)$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$
sont colinéaires. On pose $z=x+iy, \, x,y\in \Rr$. Les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont de coordonnées $(x,y-1)$ et $(-y,x-1)$ respectivement. $M(x+iy) \in E$ si et seulement si $\det(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AB})=0$.
|
Nombres_complexes_|_104
|
655
|
Soit $f(x)= \frac{x^2+2x+1}{x^2-x-1}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\lim_{x\\to +\\infty} f(x)=-1$",
"$\\lim_{x\\to +\\infty} f(x)=1$",
"$\\lim_{x\\to -\\infty} f(x)=1$",
"$\\lim_{x\\to -\\infty} f(x)=-1$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
| null |
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
656
|
Soit $f(x)= \frac{x^2-1}{2x^2-x-1}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\lim_{x\\to 1} f(x)=0$",
"$\\lim_{x\\to 1} f(x)=\\frac{2}{3}$",
"$\\lim_{x\\to -\\frac{1}{2}} f(x) = +\\infty$",
"$\\lim_{x\\to (-\\frac{1}{2})^+} f(x)=+\\infty$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
$f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(2x+1)}= \frac{x+1}{2x+1}$.
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
657
|
Soit $f(x)= \frac{1}{x+1}+ \frac{3x}{(x+1)(x^2-x+1)}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\lim_{x\\to -1^+} f(x)=+\\infty$",
"$\\lim_{x\\to -1^-} f(x)=-\\infty$",
"$\\lim_{x\\to -1} f(x)=0$",
"$\\lim_{x\\to -1} f(x)=-2$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
En réduisant au même dénominateur, on obtient : $f(x)= \frac{x+1}{x^2-x+1}$.
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
658
|
Soit $f(x)= \frac{\sqrt {x+1}-\sqrt {2x}}{x-1}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\lim_{x\\to +\\infty} f(x)=+\\infty$",
"$\\lim_{x\\to +\\infty} f(x)=0$",
"$\\lim_{x\\to 1} f(x)=-\\frac{1}{2\\sqrt 2}$",
"$f$ n'admet pas de limite en $1$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
On multiplie le numérateur et le dénominateur de $f$ par l'expression conjuguée de $\sqrt {x+1}-\sqrt {2x}$, c'est-à-dire par $\sqrt {x+1}+\sqrt {2x}$. On obtient :
$f(x)= -\frac{1}{\sqrt {x+1}+\sqrt {2x}}$.
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
659
|
Soit $f(x)= \sqrt{x^2+x+1}+x$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\lim_{x\\to -\\infty} f(x)=+\\infty$",
"$\\lim_{x\\to -\\infty} f(x)=-\\infty$",
"$\\lim_{x\\to -\\infty} f(x)=-\\frac{1}{2}$",
"$f$ n'admet pas de limite en $-\\infty$."
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
On multiplie le numérateur et le dénominateur de $f$ par l'expression conjuguée de $\sqrt{x^2+x+1}+x$, c'est-à-dire par $\sqrt{x^2+x+1}-x$. On obtient :
$f(x)= \frac{x+1}{\sqrt {x^2+x+1}-x}$. Attention ! $\sqrt {x^2+x+1}=|x|\sqrt {1+\frac{1}{x}+ \frac{1}{x^2}}= -x\sqrt {1+\frac{1}{x}+ \frac{1}{x^2}}, $ pour $x<0$.
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
660
|
Soit $f(x)= x\ln x -x^2+1$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\lim_{x\\to +\\infty} f(x)=+\\infty$",
"$\\lim_{x\\to +\\infty} f(x)=-\\infty$",
"$\\lim_{x\\to 0^+} f(x)=0$",
"$\\lim_{x\\to 0^+} f(x)=1$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Si $\alpha$ et $ \beta$ sont des réels $>0$, alors en $+\infty$, on a :
$(\ln x)^{\alpha} \ll x^{\beta}$, où la notation $f\ll g$ signifie : $\lim_{x \to + \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=0. $
On a aussi $\lim_{x\to 0^+} x^{\beta} |\ln x|^{\alpha} = 0$.
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
661
|
Soit $f(x)= e^{2x}-x^7+x^2-1$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\lim_{x\\to +\\infty} f(x)=-\\infty$",
"$\\lim_{x\\to +\\infty} f(x)=+\\infty$",
"$\\lim_{x\\to -\\infty} f(x)=+\\infty$",
"$\\lim_{x\\to -\\infty} f(x)=-\\infty$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Si $\alpha$ et $ \beta$ sont des réels $>0$,
alors en $+\infty$, on a :
$ x^{\alpha}\ll e^{\beta x}$, où la notation $f\ll g$ signifie : $\lim_{x \to + \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=0 $.
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
662
|
Soit $f(x)= (x^5-x^3+1)e^{-x}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\lim_{x\\to +\\infty} f(x)=0$",
"$\\lim_{x\\to +\\infty} f(x)=+\\infty$",
"$\\lim_{x\\to -\\infty} f(x)=-\\infty$",
"$\\lim_{x\\to -\\infty} f(x)=+\\infty$"
],
"labels": [
1,
0,
1,
0
]
}
|
Si $\alpha$ et $ \beta$ sont des réels $>0$,
alors en $+\infty$, on a :
$ x^{\alpha}\ll e^{\beta x}$, où la notation $f\ll g$ signifie : $\lim_{x \to + \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=0 $.
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
663
|
Soit $f(x)= \sin x \cdot \sin\frac{1}{x}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$f$ n'admet pas de limite en $0$.",
"$\\lim_{x\\to 0} f(x)=0$",
"$\\lim_{x\\to +\\infty} f(x)=0$",
"$f$ n'admet pas de limite en $+\\infty$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Encadrer $\sin\frac{1}{x}$ pour la limite en $0$ et encadrer $\sin x$ pour la limite en $+\infty$.
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
664
|
Soit $f(x)= e^{-x}\cos(e^{2x})$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\lim_{x\\to +\\infty} f(x)=0$",
"$f$ n'admet pas de limite en $+\\infty$.",
"$f$ n'admet pas de limite en $-\\infty$.",
"$\\lim_{x\\to -\\infty} f(x)=+\\infty$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Encadrer $\cos(e^{2x})$ pour la limite en $+\infty$.
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
665
|
Soit $a\in \Rr$, $I$ un intervalle contenant $a$ et $f$ une fonction définie sur $I \setminus\{a\}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\lim_{x\\to a} f(x)=l \\, (l\\in \\Rr)$ si et seulement si $\\forall \\epsilon >0, \\exists \\alpha > 0, \\forall x \\in I\\setminus\\{a\\}, |x-a| < \\alpha \\Rightarrow |f(x)-l|<\\epsilon$",
"$\\lim_{x\\to a} f(x)=l \\, (l\\in \\Rr)$ si et seulement si $\\forall \\epsilon >0, \\exists \\alpha > 0, \\forall x \\in I\\setminus\\{a\\}, |x-a|<\\epsilon \\Rightarrow |f(x)-l|<\\alpha $",
"$\\lim_{x\\to a} f(x)=+\\infty$ si et seulement si $\\forall A > 0, \\exists \\alpha > 0, \\forall x \\in I\\setminus\\{a\\}, f(x) > A \\Rightarrow |x-a| < \\alpha$",
"$\\lim_{x\\to a} f(x)=-\\infty$ si et seulement si $\\forall A < 0, \\exists \\alpha > 0, \\forall x \\in I\\setminus\\{a\\}, |x-a| < \\alpha \\Rightarrow f(x) < A$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Voir la définition d'une limite finie ou infinie en un point $a\in\Rr$ :
$\lim_{x\to a} f(x)=l$ si et seulement si $\forall \epsilon >0, \exists \alpha > 0, \forall x \in I\setminus\{a\}, |x-a| < \alpha \Rightarrow |f(x)-l|<\epsilon$
$\lim_{x\to a} f(x)=-\infty$ si et seulement si $\forall A < 0, \exists \alpha > 0, \forall x \in I\setminus\{a\}, |x-a| < \alpha \Rightarrow f(x) < A$
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
666
|
Soit $f$ une fonction définie sur $\Rr$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\lim_{x\\to +\\infty} f(x)=l \\, (l\\in \\Rr)$ si et seulement si $ \\forall \\epsilon >0, \\exists A >0, \\forall x \\in \\Rr, |f(x)-l|<\\epsilon \\Rightarrow x>A$",
"$\\lim_{x\\to +\\infty} f(x)=l \\, (l\\in \\Rr)$ si et seulement si $\\forall \\epsilon >0, \\exists A >0, \\forall x \\in \\Rr, x\\ge A \\Rightarrow |f(x)-l|\\le \\epsilon$",
"$\\lim_{x\\to -\\infty} f(x)=+\\infty$ si et seulement si $ \\forall A >0, \\exists B <0, \\forall x \\in \\Rr, x\\le B \\Rightarrow f(x)\\ge A$",
"$\\lim_{x\\to -\\infty} f(x)=-\\infty$ si et seulement si $ \\exists B<0, \\forall A < 0, \\forall x \\in \\Rr, x < B \\Rightarrow f(x) < A$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
Voir la définition d'une limite en $+\infty$ ou $-\infty$ vers une valeur finie ou infinie :
$\lim_{x\to +\infty} f(x)=l \, (l\in \Rr)$ si et seulement si $\forall \epsilon >0, \exists A >0, \forall x \in \Rr, x\ge A \Rightarrow |f(x)-l|\le \epsilon$
$\lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$ si et seulement si $ \forall A >0, \exists B <0, \forall x \in \Rr, x\le B \Rightarrow f(x)\ge A$
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
667
|
Soit $f(x)= \frac{\sqrt x}{\sqrt{x+\sqrt{x}}}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\lim_{x\\to 0^+} f(x)=0$",
"$\\lim_{x\\to 0^+} f(x)=+\\infty$",
"$f$ n'admet pas de limite en $+\\infty$.",
"$\\lim_{x\\to +\\infty} f(x)=1$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
$f(x)= \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}}.$
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
668
|
Soit $f(x)= x-\frac{|x|}{x}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\lim_{x\\to 0} f(x)=0$",
"$\\lim_{x\\to +\\infty} f(x)=0$",
"$f$ n'admet pas de limite en $0$.",
"$\\lim_{x\\to -\\infty} f(x)=+\\infty$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
En utilisant la définition de la valeur absolue, $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x-1,& \mbox{si} \, \, x >0 \\ x+1,& \mbox{si} \, x <0 \end{array}\right.$.
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
669
|
Soit $f(x)= \frac{x}{|x-1|}-\frac{3x-1}{|x^2-1|}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\lim_{x\\to 1} f(x)=0$",
"$\\lim_{x\\to 1} f(x)=1$",
"$f$ n'admet pas de limite en $-1$.",
"$\\lim_{x\\to -1} f(x)=+\\infty$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
En utilisant la définition de la valeur absolue,
$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{x^2+4x-1}{1-x^2},& \mbox{si} \, x \le -1 \\
\frac{1-x}{1+x} ,& \mbox{si} \, -1\le x \le 1\\
\frac{x-1}{1+x} ,& \mbox{si} \, x \ge 1 \end{array}\right.$
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
670
|
Soit $f(x)= \sin x$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\lim_{x\\to +\\infty} f(x)=1$",
"$f$ n'admet pas de limite en $+\\infty$.",
"$\\lim_{x\\to -\\infty} f(x)=-1$",
"$f$ n'admet pas de limite en $-\\infty$."
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Toute fonction périodique non constante n'admet pas de limite en l'infini.
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
671
|
Soit $f(x)= \frac{\ln(1+x)}{x}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\lim_{x\\to 0} f(x)=0$",
"$\\lim_{x\\to 0} f(x)=+\\infty$",
"$f$ n'admet pas de limite en $0$.",
"$\\lim_{x\\to 0} f(x)=1$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
La fonction $g: x\to \ln(1+x)$ est dérivable sur $]-1,+\infty[$ et $g'(x)= \frac{1}{1+x}$, pour tout $x>-1$. Donc $\lim_{x\to 0}f(x)= \lim_{x\to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0} = g'(0)=1$.
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
672
|
Soit $f(x)= \frac{\sin x}{x}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$f$ n'admet pas de limite en $0$.",
"$\\lim_{x\\to 0} f(x)=1$",
"$\\lim_{x\\to 0} f(x)=0$",
"$\\lim_{x\\to 0} f(x)=+\\infty$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
La fonction $g: x\to \sin x$ est dérivable sur $\Rr$ et $g'(x)= \cos x$, pour tout $x\in \Rr$. Donc $\lim_{x\to 0}f(x)= \lim_{x\to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0} = g'(0)=1$.
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
673
|
Soit $f(x)= \frac{\sin(3x)}{\sin(4x)}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$f$ n'admet pas de limite en $0$",
"$\\lim_{x\\to 0} f(x)=\\frac{3}{4}$",
"$\\lim_{x\\to 0} f(x)= \\frac{4}{3}$",
"$\\lim_{x\\to 0} f(x)=0$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1,$ donc $\lim_{x\to 0} f(x)= \lim_{x\to 0}\frac{3x}{4x} \cdot \frac{\sin (3x)}{3x}\cdot \frac{4x}{\sin(4x)} = \frac{3}{4}$.
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
674
|
Soit $f(x)= \frac{\cos x-1}{x^2}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$f$ n'admet pas de limite en $0$.",
"$\\lim_{x\\to 0} f(x)=+\\infty$",
"$\\lim_{x\\to 0} f(x)=-\\frac{1}{2}$",
"$\\lim_{x\\to 0} f(x)=\\frac{1}{2}$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
On a : $\cos x = \cos^2 (\frac{x}{2}) - \sin^2 (\frac{x}{2})$ et $1= \cos^2 (\frac{x}{2}) + \sin^2 (\frac{x}{2})$, donc $\cos x - 1 = -2 \sin ^2 (\frac{x}{2})$. D'autre part, $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$. On déduit que $\lim_{x\to 0} f(x) = \lim_{x\to 0} -\frac{1}{2} \big(\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}}\big)^2 = -\frac{1}{2}$.
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
675
|
Soit $f(x)= xE(\frac{1}{x})$, où $E$ désigne la partie entière. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\lim_{x\\to 0} f(x)=0$",
"$\\lim_{x\\to 0} f(x)=+\\infty$",
"$f$ n'admet pas de limite en $0$.",
"$\\lim_{x\\to 0} f(x)=1$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
Pour tout $x\in \Rr$, on a : $x-1<E(x)\le x$. Donc $1-x < f(x) \le 1$, pour $x>0$ et
$1 \le f(x) < 1-x$, pour $x<0$. On déduit que $\lim_{x\to 0} f(x) =1$.
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
676
|
Soit $f(x)= xE(\frac{1}{x})$, où $E$ désigne la partie entière. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\lim_{x\\to +\\infty} f(x)=0$",
"$\\lim_{x\\to +\\infty} f(x)=+\\infty$",
"$\\lim_{x\\to -\\infty} f(x)=0$",
"$\\lim_{x\\to -\\infty} f(x)=+\\infty$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
Pour $x>1$, $E(\frac{1}{x})=0$, donc $f(x)=0$ et donc $\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$.
Pour $x<-1$, $E(\frac{1}{x})=-1$, donc $f(x)=-x$ et donc $\lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$.
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
677
|
Soit $f$ une fonction définie sur $[0,1]$ par : $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x-1,& \mbox{si} \, x \in \Rr \setminus \Qq\\ 1,& \mbox{si} \, x \in \Qq \end{array}\right.$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\lim_{x\\to 0} f(x)=1$",
"$\\lim_{x\\to 0} f(x)=0$",
"$\\lim_{x\\to 0} f(x)=-1$",
"$f$ n'admet pas de limite en $0$."
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
L'ensemble des rationnels est dense dans $\Rr$. Donc il existe une suite de rationnels $(u_n)$ qui tend vers $0$ et donc $\lim_{n\to +\infty} f(u_n)=1$. D'autre part, l'ensemble des irrationnels est dense dans $\Rr$. Donc il existe une suite d'irrationnels $(v_n)$ qui tend vers $0$ et donc $\lim_{n\to +\infty} f(v_n)=\lim_{n\to +\infty} (v_n-1) = -1 $. On en déduit que $f$ n'admet pas de limite en $0$.
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
678
|
Soit $f$ une fonction définie sur $]0,1[$ par :
$f(x)=1$, si $x \in \Rr \setminus \Qq$ et $f(x)=\frac{1}{m},$ si $x= \frac{n}{m},$ où $n, m \in \Nn^*$ tels que $ \frac{n}{m}$ soit une fraction irréductible. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\lim_{x\\to 1^-} f(x)=0$",
"$f$ n'admet pas de limite en $1^-$.",
"$\\lim_{x\\to 1^-} f(x)=1$",
"$\\lim_{x\\to 1^-} f(x)=+\\infty$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
L'ensemble des irrationnels est dense dans $\Rr$. Donc il existe une suite d'irrationnels $(u_n)$ qui tend vers $1^-$ et donc $\lim_{n\to +\infty} f(u_n)=1$. D'autre part, la suite $(\frac{n}{n+1})$ tend vers $1^-$ et $\lim_{n\to +\infty} f(\frac{n}{n+1})=\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n+1} = 0 $. On déduit que $f$ n'admet pas de limite en $1^-$.
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
679
|
Soit $f:\Rr \to \Rr$ une fonction croissante. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$f$ n'admet pas de limite en $+\\infty$.",
"$f$ admet une limite en $+\\infty$.",
"Si $f$ est majorée, $f$ admet une limite finie en $+\\infty$.",
"Si $f$ est non majorée, $\\lim_{x\\to +\\infty } f(x)=+\\infty$."
],
"labels": [
0,
1,
1,
1
]
}
|
(a) On suppose que $f$ est majorée et on pose $M=\sup_{x\in \Rr} f(x)$ (le plus petit des majorants de $f$). Alors, $ \lim_{x\to +\infty } f(x)=M$. En effet,
soit $\epsilon >0$, alors il existe $a>0$ tel que : $M-\epsilon < f(a)\le M $. Comme $f$ est croissante, si $x\ge a$, alors $M-\epsilon < f(a)\le f(x)\le M $. D'où le résultat, d'après la définition d'une limite.
(b) On suppose que $f$ n'est pas majorée. Alors, $ \lim_{x\to +\infty } f(x)=+\infty$. En effet, soit $A>0$, alors il existe $a>0$ tel que $f(a)>A$. Comme $f$ est croissante, si $x\ge a$, alors $f(x)\ge f(a)>A$. D'où le résultat, d'après la définition d'une limite.
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
680
|
Soit $f(x)= \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt[3]{x+1}-1}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\lim_{x\\to 0} f(x)=0$",
"$\\lim_{x\\to 0} f(x)=\\frac{3}{2}$",
"$f$ n'admet pas de limite en $0$.",
"$\\lim_{x\\to 0} f(x)=+\\infty$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
On pourra multiplier $f$ par $\sqrt{x+1}+1$ et $(\sqrt[3]{x+1})^2+\sqrt[3]{x+1}+1$ les expressions conjuguées de $\sqrt{x+1}-1$ et de $\sqrt[3]{x+1}-1$ respectivement. On obtient :
$f(x)=\frac{(\sqrt[3]{x+1})^2+\sqrt[3]{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}$.
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
681
|
Soit $f(x)=x+\sqrt[5]{1-x^5}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\lim_{x\\to +\\infty} f(x)=0$",
"$\\lim_{x\\to +\\infty } f(x)=+\\infty$",
"$\\lim_{x\\to -\\infty } f(x)=-\\infty$",
"$\\lim_{x\\to -\\infty} f(x)=0$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
1
]
}
|
En utilisant l'égalité : $a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)$, on pourra multiplier $f$ par l'expression conjuguée de $x+\sqrt[5]{1-x^5}$. On obtient :
$f(x)=\big[x^4-x^3\sqrt[5]{1-x^5} +x^2(\sqrt[5]{1-x^5})^2-x(\sqrt[5]{1-x^5})^3+(\sqrt[5]{1-x^5})^4\big]^{-1}$.
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
682
|
Soit $f(x)=\sqrt{x^3+2x^2+3}-ax\sqrt{x+b}, \, a,b \in \Rr$. $f$ admet une limite finie en $+\infty$ si et seulement si :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$ a>0 $ et $b>0$",
"$a=1$ et $b>0$",
"$a=1$ et $b=2$",
"$a=1$ et $b=0$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Si $a\le 0$, $\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$. On suppose donc que $a>0$ et on multiplie $f$ par son expression conjuguée. on obtient :
$f(x)= \frac{(1-a^2)x^3+(2-a^2b)x^2+3}{\sqrt{x^3+2x^2+3}+ax\sqrt{x+b}}$. On déduit que $f$ admet une limite finie en $+\infty$ si et seulement si $a=1$ et $b=2$.
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
683
|
Soit $f$ la fonction définie sur $]\frac{3}{2}, +\infty[ \setminus \{2\}$ par : $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}a\frac{\sqrt{x-1}-1}{x-2},& \mbox{si} \, x<2 \\ \frac{\sqrt{2x-3}-b}{x-2},& \mbox{si} \, x >2 \end{array}\right.$. $f$ admet une limite finie quand $x$ tend vers $2$ si et seulement si :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$a=2$ et $b=1$",
"$a>0$ et $b >0$",
"$a=2$ et $b >0$",
"$a=0$ et $b=1$"
],
"labels": [
1,
0,
0,
0
]
}
|
Si $b\neq 1$, $f$ admet une limite infinie quand $x$ tend vers $2^+$. On suppose que $b=1$ et on multiplie $f$ par l'expression conjuguée selon les cas. On obtient :
$f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{a}{\sqrt{x-1}+1}& \mbox{si} \, x<2 \\ \frac{2}{\sqrt{2x-3}+1}& \mbox{si} \, x >2 \end{array}\right.$. On déduit que $f$ admet une limite finie quand $x$ tend vers $2$ si et seulement si $a=2$.
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
684
|
%Soit $f(x)=\frac{(x^x)^x}{x^{(x^x)}}$.
Soit $f(x)=\frac{(2x)^x}{x^{(2x)}}$. Quelles sont les assertions vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\lim_{x\\to +\\infty} f(x)=+\\infty$",
"$\\lim_{x\\to +\\infty } f(x)=0$",
"$f$ n'admet pas de limite en $+\\infty$.",
"$\\lim_{x\\to +\\infty} f(x)=1$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
Par définition, si $u$ et $v$ sont deux fonctions telles que $u>0$, $u^v=e^{v\ln u}$. On en déduit que $f(x)=\exp[ x\ln (2x )- 2x\ln x] = \exp[ x\ln 2 - x\ln x]$. Donc $\lim_{x\to +\infty } f(x)=0$.
|
Limites_des_fonctions_réelles_|_123
|
685
|
Soit $A=\{x\in \Rr\mid (x+8)^2=9^2\}$. Sous quelle forme peut-on encore écrire l'ensemble $A$ ?
|
{
"choices": [
"$A=\\{1\\}$",
"$A=\\varnothing$",
"$A=\\{-17\\}$",
"$A=\\{1,-17\\}$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
Les éléments de $A$ sont les solutions de l'équation $(x+8)^2=9^2$, c'est-à-dire $1$ et $-17$.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
|
686
|
Soit $E=\{a,b,c\}$. Quelle écriture est correcte ?
|
{
"choices": [
"$\\{a\\}\\in E$",
"$a\\subset E$",
"$a\\in E$",
"$\\{a,b\\}\\in E$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Le symbole "$\in$" traduit l'appartenance d'un élément à un ensemble et le symbole "$\subset$" traduit l'inclusion d'un ensemble dans un autre.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
|
687
|
Soit $A=\{1,2\}$, $B=\left\{\{1\},\{2\}\right\}$ et $C=\left\{\{1\},\{1,2\}\right\}$. Cochez la bonne réponse :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$A=B$",
"$A\\subset B$",
"$A\\in C$",
"$A\\subset C$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Le symbole "$\in$" traduit l'appartenance d'un élément à un ensemble et le symbole "$\subset$" traduit l'inclusion d'un ensemble dans un autre.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
|
688
|
Soit $A=[1,3]$ et $B=[2,4]$. Quelle est l'intersection de $A$ et $B$ ?
|
{
"choices": [
"$A\\cap B=\\varnothing$",
"$A\\cap B=[2,3]$",
"$A\\cap B=[1,4]$",
"$A\\cap B=A$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
L'ensemble $A\cap B$ est formé des éléments qui sont à la fois dans $A$ et dans $B$.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
|
689
|
Soit $A=[-1,3]$ et $B=[0,4]$. Cochez la bonne réponse :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$A\\cup B=\\varnothing$",
"$A\\cup B=[0,3]$",
"$A\\cup B=[-1,0]$",
"$A\\cup B=[-1,4]$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
L'ensemble $A\cup B$ est formé des éléments qui sont dans $A$ ou dans $B$.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
|
690
|
Soit $A=\{a,b,c\}$ et $B=\{1,2\}$. Cochez la bonne réponse :
Les assertions suivantes sont-elles vraies ?
|
{
"choices": [
"$\\{a,1\\}\\in A\\times B$",
"$\\{(a,1)\\}\\in A\\times B$",
"$(a,1)\\in A\\times B$",
"$\\{a,1\\}\\subset A\\times B$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Les éléments de l'ensemble $A\times B$ sont les couples dont la première composante est dans $A$ et la seconde est dans $B$.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
|
691
|
On désigne par $\mathrm{C}^k_n$ le nombre de choix de $k$ éléments parmi $n$. Combien fait $\displaystyle \sum _{k=0}^{100}(-1)^k\mathrm{C}^k_{100}$ ?
|
{
"choices": [
"$100$",
"$0$",
"$101$",
"$5000$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
Le binôme de Newton donne $\displaystyle 0=(1-1)^{100}=\sum _{k=0}^{100}(-1)^k\mathrm{C}^k_{100}$.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
|
692
|
On désigne par $\mathrm{C}^k_n$ le nombre de choix de $k$ éléments parmi $n$. Combien fait $\displaystyle \sum _{k=0}^{10}\mathrm{C}^k_{10}$ ?
|
{
"choices": [
"$10$",
"$100$",
"$1024$",
"$50$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
Le binôme de Newton donne $\displaystyle \sum _{k=0}^{10}\mathrm{C}^k_{10}=(1+1)^{10}=2^{10}=1024$.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
|
693
|
On considère l'application $f:\{1,2,3,4\}\to \{1,2,3,4\}$ définie par
$$f(1)=2,\quad f(2)=3,\quad f(3)=4,\quad f(4)=2.$$
Quelle est la bonne réponse ?
|
{
"choices": [
"$f^{-1}(\\{2\\})=\\{1\\}$",
"$f^{-1}(\\{2\\})=\\{3\\}$",
"$f^{-1}(\\{2\\})=\\{4\\}$",
"$f^{-1}(\\{2\\})=\\{1,4\\}$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
L'ensemble $f^{-1}(\{2\})$ est formé des éléments qui ont une image égale à $2$.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
|
694
|
On considère l'application $f:\Nn\to \Nn$ définie par
$$\forall n\in \Nn,\; f(n)=n+1.$$
Quelle est la bonne réponse ?
|
{
"choices": [
"$f$ est surjective et non injective.",
"$f$ est injective et non surjective.",
"$f$ est bijective.",
"$f$ n'est ni injective ni surjective."
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
Si $f(n_1)=f(n_2)$ alors $n_1=n_2$, donc $f$ est injective. Par contre, $f(n)=0$ n'a pas de solution dans $\Nn$. Donc $f$ n'est pas surjective.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
|
695
|
Soit $A$ et $B$ deux ensembles. L'écriture $A\varsubsetneq B$ signifie que $A$ est inclus dans $B$ et que $A\neq B$. On suppose que $A\cap B=A\cup B$. Que peut-on dire de $A$ et $B$ ?
|
{
"choices": [
"$A\\varsubsetneq B$",
"$B\\varsubsetneq A$",
"$A\\neq B$",
"$A=B$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
Si $A\cap B=A\cup B$ alors $A\subset A\cup B=A \cap B\subset B$, c'est-à-dire $A\subset B$. On vérifie de même que $B\subset A$. Donc $A=B$.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
|
696
|
Soit $A$ une partie d'un ensemble $E$ telle que $A\neq E$. On note $\overline{A}$ le complémentaire de $A$ dans $E$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$A\\cap \\overline{A}=E$",
"$A\\cap \\overline{A}=\\varnothing$",
"$A\\cup\\overline{A}=E$",
"$A\\cup \\overline{A}=A$"
],
"labels": [
0,
1,
1,
0
]
}
|
S'il existe $x\in E$ tel que $x\in A\cap \overline{A}$ alors $(x\in A$ et $x\notin A)$. Ceci est absurde. Donc $A\cap \overline{A}=\varnothing$. De même $x\in E\Rightarrow (x\in A$ ou $x\notin A)$. Donc que $E\subset A\cup\overline{A}\subset E$.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
|
697
|
Soient $A,B$ deux parties d'un ensemble $E$. On note $\overline{A}$ le complémentaire de $A$ dans $E$. Quelle est la bonne réponse ?
|
{
"choices": [
"$\\overline{A\\cup B}=\\overline{A}\\cup \\overline{B}$",
"$\\overline{A\\cup B}=\\overline{A}\\cap \\overline{B}$",
"$\\overline{A\\cup B}=A\\cap B$",
"$\\overline{A\\cup B}=\\overline{A}\\cup B$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
0
]
}
|
D'abord $x\in A\cup B \Leftrightarrow (x\in A$ ou $x\in B$). Les lois de De Morgan donnent donc que $(x\notin A\cup B)\Leftrightarrow (x\notin A$ et $x\notin B$), c'est-à-dire $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
|
698
|
Soient $A,B$ deux parties d'un ensemble $E$. On note $\overline{A}$ le complémentaire de $A$ dans $E$. Quelle est la bonne réponse ?
|
{
"choices": [
"$\\overline{A\\cap B}=\\overline{A}\\cap \\overline{B}$",
"$\\overline{A\\cap B}=\\overline{A}\\cap B$",
"$\\overline{A\\cap B}=\\overline{A}\\cup \\overline{B}$",
"$\\overline{A\\cap B}=\\overline{A}\\cap B$"
],
"labels": [
0,
0,
1,
0
]
}
|
D'abord $x\in A\cap B \Leftrightarrow (x\in A$ et $x\in B$). Les lois de De Morgan donnent donc que $(x\notin A\cap B)\Leftrightarrow (x\notin A$ ou $x\notin B$), c'est-à-dire $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
|
699
|
Pour tout $n\in \Nn ^*$, on pose $E_n=\{1,2,\dots ,n\}$. On note $\mathcal{P}(E_n)$ l'ensemble des parties de $E_n$. Quelles sont les bonnes réponses ?
|
{
"choices": [
"$\\mathcal{P}(E_2)=\\{\\{1\\},\\{2\\}\\}$",
"$\\mathcal{P}(E_2)=\\{\\varnothing ,\\{1\\},\\{2\\},E_2\\}$",
"$\\mathrm{Card}(\\mathcal{P}(E_n))=n$",
"$\\mathrm{Card}(\\mathcal{P}(E_n))=2^n$"
],
"labels": [
0,
1,
0,
1
]
}
|
Le nombre de parties à $k$ éléments de $E_n$ est $\mathrm{C}^k_n$ et le nombre de toutes les parties de $E_n$ est $\displaystyle \sum _{k=0}^n\mathrm{C}^k_n=(1+1)^n=2^n$.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
|
700
|
On considère l'application $f:\Rr\to \Rr$ définie par
$$\forall x\in \Rr,\; f(x)=x^2+1.$$
Quelle est la bonne réponse ?
|
{
"choices": [
"$f(\\Rr)=\\Rr$",
"$f(\\Rr)=[0,+\\infty [$",
"$f(\\Rr)=]1,+\\infty [$",
"$f(\\Rr)=[1,+\\infty [$"
],
"labels": [
0,
0,
0,
1
]
}
|
Pour tout $x\in \Rr$, $f(x)\geq 1$. Donc $f(\Rr)\subset [1,+\infty[$. Réciproquement, tout $y\in [1,\infty [$ admet un antécédent. Donc $[1,+\infty[ \subset f(\Rr)$.
|
Ensembles,_applications_|_100,_101,_102
|
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.